高中数学知识点大全

新教材！高中生必看！学霸笔记整理分享，一张思维导图整理了高中数学全部知识点，涵盖了与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、函数概念与性质、指数函数、三角函数、平面向量及其应用、复数、立体几何初步、统计和概率

高中数学知识点大全

• 集合与常用逻辑用语
  • 集合的有关概念
    • 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称 集)
    • 构成两个集合的元素是一样的，则称这两个集合是相等的
  • 集合元素的特性
    • 确定性：集合确定，则一个元素是否属于这个集合是确定的
    • 互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复
    • 无序性：集合中元素的位置是可以改变的，改变位置不影响集合
  • 集合的表示方法
    • 列举法
      • 将集合中的元素一一列举出来{a,b,c.....}
    • 描述法
      • 将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x|x=5n+2，n∈Z}
  • 集合的分类
    • 有限集
      • 有限个元素的集合
    • 无限集
      • 无限个元素的集合
    • 空集
      • 不含任何元素的集合
  • 集合中特殊数集的表示方法
    • 正整数集：N+
    • 整数集：Z
    • 有理数集：Q
    • 实数集：R
    • 自然数集：N
  • 集合间的基本关系
    • 包含关系”子集“
      • 对于两个集合A与B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A） ，读作“A含于B”（“或B包含A”）
    • 相等关系
      • 集合A是集合B的子集，且B是A的子集，此时A和B的元素是一样的，集合A=集合B，记作A=B
    • 真子集
      • 对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且 A不等于B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B
    • 空集
      • 不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅
  • 集合的基本运算
    • 交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。
    • 并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
    • 相对补集：若A和B 是集合，则A 在B 中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A = { x| x∈B且x∉A}。
    • 绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集）
    • 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，若a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
  • 必要条件与充分条件
    • 必要条件与充分条件
      • 一般地，”若P，则q“，是真命题时，称q是p的必要条件，p是q的充分条件
    • 充要条件
      • 如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件
  • 全称量词与存在量词
    • 短语”所有的“”任意一个“在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示
    • 短语”存在一个“”至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示
• 一元二次函数、方程和不等式
  • 等式性质与不等式性质
    • 比较两个实数的大小
      • 作差法
        • 
      • 作商法
        • 
    • 比较两个代数式的大小
      • 作差
      • 变形
      • 判断差的符号
      • 作出结论
    • 不等式的性质
      • 对称性
        • 
      • 传递性
        • 
      • 可加性
        • 
      • 可乘性
        • 
      • 同向可加性
        • 
      • 同向可乘性
        • 
      • 可乘方性
        • 
  • 一元二次不等式
    • 概念
      • 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，例如
        • 
    • 二次函数的零点
      • 
    • 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
      • 
    • 一元二次方程的解法步骤
      • 
      • 求出相应的一元二次方程的根
      • 利用二次函数的图像与X轴的交点确定一元二次不等式的解集
  • 基本不等式
    • 若a>0,b>0
      • 
    • 最值定理
      • 如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
      • 如果积xy等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
    • 利用基本不等式求最大（小）值
      • 积定和最小，和定积最大
      • 应用基本不等式求最值需满足”一正二定三相等“
        • 两数都是正数（两数都为负数时可提取负号）
        • 必须有定值（有时需配凑、拆分凑出定值）
        • 两数能够相等
      • 构造定值条件的通常技巧
        • 加项变换
        • 拆项变换
        • 统一换元
        • 平方后利用基本不等式
    • 重要不等式
      • 若a,bR,则+2ab,当且仅当a=b时等号成立
• 函数概念与性质
  • 函数的概念及其表示
    • 函数
      • 设A、B是非空的实数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.
    • 定义域
      • x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
    • 值域
      • 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
    • 区间
      • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]
      • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）
      • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
    • 构成函数的三要素
      • 定义域
      • 对应关系
      • 值域
    • 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数
    • 函数的表示法
      • 解析法
        • 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
      • 列表法
        • 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
      • 图像法
        • 用图象表示两个变量之间的对应关系
  • 幂函数
    • 
    • 是幂函数的底数，幂函数的系数是1， 比如2不是幂函数
    • 指数可以是任意实数
    • 
  • 函数的基本性质
    • 单调性
      • 函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性
      • 一次函数：
        • k>0,单调递增，增函数
        • k<0,单调递减，减函数
        • 若k=0，则y=b,无单调性
      • 二次函数：
      • 反比例函数：
        • k>0,y随x增大而减小
        • k>0,y随x增大而增大
    • 最大（最小）值
      • 若函数f(x)在（a,b]上为增函数，在[b,c)上为减函数，则f(x)在（a,c)上有最大值f(b)
      • 若函数f(x)在（a,b]上为减函数，在[b,c)上为增函数，则f(x)在（a,c)上有最小值f(b)
    • 奇偶性
      • 奇函数
        • f(x)=f(-x),关于轴对称
      • 偶函数
        • f(-x)=-f(x),关于原点对称
      • 若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数
• 指数函数与对数函数
  • 指数函数
    • 指数的运算性质
      • 当a>0,b>0时
        • 
        • 
        • 
        • 
        • 
    • 定义
      • 
    • 图像
    • 性质
      • 非奇非偶函数
      • 定点（0，1）
    • 注意
      • 任何两个底数互为倒数函数的指数函数的图像关于y轴对称
      • 当a>1时，指数函数的图像呈上升趋势 当0<a<1时，指数函数的图像呈下降趋势
    • 应用
      • 底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性解决
      • 底数不同，指数相同：利用指数函数的图像解决
      • 底数不同，指数不同：采用介值法（常取中间值）
  • 对数函数
    • 对数式的计算公式
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
    • 指数式与对数式转化
      • 
      • 
    • 定义
    • 图像
    • 性质
      • 定点（1，0）
      • 非奇非偶函数
• 三角函数
  • 角的定义
    • 平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角
  • 角的分类
    • 按照旋转方向
      • 正角
      • 负角
      • 零角
    • 按照终边位置
      • 第一象限角
      • 第二象限角
      • 第三象限角
      • 第四象限角
  • 度量角的两种制度
    • 角度制
    • 弧度制
  • 诱导公式
    • 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
      • sin（2kπ+α）=sinα k∈z
      • cos（2kπ+α）=cosα k∈z
      • tan（2kπ+α）=tanα k∈z
    • 公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
      • sin（π+α）=－sinα k∈z
      • cos（π+α）=－cosα k∈z
      • tan（π+α）=tanα k∈z
    • 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
      • sin（－α）=－sinα
      • cos（－α）=cosα
      • tan（－α）=－tanα
  • 弧长与角的换算
    • 1°=π/180°，1rad=180°/π
      • 一周是360度，也是2π弧度，即360°=2π.
  • 弧长公式
    • L=n× π× r/180，L=α× r
      • （n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数）
  • 扇形面积公式
    • S=LR/2
      • （R是扇形半径，L是扇形对应的弧长）
  • 三角函数的定义域、值域
    • y＝sinα
      • 定义域是R，值域[-1,1]
    • y＝cosα
      • 定义域是R，值域[-1,1]
    • y＝tanα
      • 定义域是α≠kπ+π/2
      • 区间是(kπ-π/2,kπ+π/2)
      • 值域是R
  • 三角函数的单调性
    • 正弦函数
      • y=sinx在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]，k∈Z，上是增函数；
      • 在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]，k∈Z，上是减函数；
      • 三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]
    • 余弦函数
      • y=cosx在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，上是减函数；
      • 在[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z，上是增函数；
      • 余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；
      • 余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。
• 平面向量及其应用
  • 平面向量的概念
    • 向量
      • 概念
        • 既有大小，又有方向的量
      • 向量表示
        • 
    • 数量
      • 概念
        • 只有大小，没有方向的量
      • 数量表示
        • 数轴上的点
    • 有向线段
      • 具有方向的线段
      • 
      • 
      • 三要素：起点、方向、长度
    • 向量的大小
      • 向量的长度或向量的模
      • 
      • 
      • 
    • 平行向量
      • 
      • 零向量和任意向量平行
      • 相等向量
      • 相反向量
        • 
  • 平面向量的运算
    • 向量加法
      • 三角形法则
        • 
      • 平行四边形法则
        • 交换律
          • 
        • 结合律
          • 
      • 与共线同向
        • 
      • 与共线反向
        • 
      • 等号成立，共线同向
        • 
    • 向量减法
      • 
      • 
      • 三角形法则
        • 首首连，尾尾连，指向被减数向量
      • 等号成立，共线反向
        • 
    • 向量数乘
      • 一般地， 我们规定实数入与向址a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作λa
        • 
      • 当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反
        • 
      • 
  • 向量的数量积
    • 已知两个非零向量a与b, 它们的夹角为θ, 我们把数量laI lbIcos⁡θ叫做向量a与b的数量积
    • 记作：
      • 
    • 零向量与任一向量的数量积为0
  • 夹角
    • 
    • 当时θ=0时，a与b同向；当时θ=π，a与b反向
    • 
  • 投影向量
    • 投影
      • 
        • 
    • 投影向量
      • 
  • 平面向量基本定理
    • 
  • 平面向量的应用
    • 平面几何中的向量方法
    • 向量在物理中的应用举例
    • 余弦定理
      • 余弦定理： 三角形中任何一边的平方、 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
    • 正弦定理
      • 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等
    • 
• 复数
  • 复数的基本概念
    • 
    • 复数相等
      • 
    • 两个实数可以比较大小，但两个复数至少有一个为虚数时，不能比较大小
  • 复数的分类
    • 
      • b=0,实数
      • b≠0,虚数
        • a=0,纯虚数
        • a≠0,非纯虚数
  • 复数的几何意义
    • 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
    • x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
    • 实轴上的点，纯实数；虚轴上的点，纯虚数
    • 
    • 
  • 复数的模
    • 
    • 
  • 复数的四则运算
    • 加法
      • 加法法则
        • 
        • 两个复数的和仍然是一个复数，复数的加法可以推广到多个复数相加
      • 加法的运算律
        • 对于任意复数∈,它们满足
          • 交换律：
          • 结合律：
      • 相反数
        • 
        • 复数的相反数与复数本身的和等于0
    • 减法
      • 
      • 两个复数的差也是复数
    • 乘法
      • 复数的乘法法则
        • 
        • 两个复数的乘仍为复数
      • 复数的乘法定律
        • 
    • 除法
      • 
      • 
      • 复数除法实质上就是分母实数化
    • 
  • 共轭复数
    • 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数
    • 
• 立体几何初步
  • 基本立体图形
    • 棱柱
      • 构成
        • 顶点
        • 底面
        • 侧面
        • 侧棱
    • 棱锥
      • 构成
        • 顶点
        • 底面
        • 侧面
        • 侧棱
    • 棱台
      • 构成
        • 上底面
        • 下底面
        • 侧面
        • 侧棱
    • 圆柱
      • 特点
        • 底面是一样的圆面
        • 母线长平行且相等
        • 轴界面是矩形
    • 圆锥
      • 特点
        • 母线长相等且相交于一点
        • 轴界面是等腰三角形
    • 圆台
      • 特点
        • 母线长相等且延长后交于一点
        • 轴界面是等腰梯形
    • 球
      • 特点
        • 任何垂直于球直径的截面都是园
  • 空间图形的表面积和体积
    • 表面积公式：S表面积＝S侧面积＋S底面积
      • 直棱柱
      • 正棱柱
      • 正棱锥
      • 正棱台
    • S侧面积
      • S直棱柱＝ch
      • S正棱锥＝1/2ch
      • S正棱台＝1/2(C1＋C2）h
      • S圆柱侧＝2πrl
      • S圆锥侧＝πrl
      • S圆台侧＝π（r1+r2）l
    • S球=4πR*R
    • 体积公式
      • V柱体=Sh
      • V锥体＝1/3Sh
      • V台体＝[S1+S2+(S1*S2)]*h/3
      • V球＝4/3πR*R*R
  • 基本图形位置关系
    • 平面的基本性质
      • 三个公理
        • 过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面
        • 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面上
        • 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
      • 三个推论
        • 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
        • 经过两条相交直线，有且仅有一个平面
        • 经过两条直线，有且仅有一个平面
    • 空间两条直线位置关系
      • 线线关系
        • 平行
        • 相交
          • 垂直
        • 异面
      • 线与面关系
        • 线在面内
        • 线面相交
          • 线面垂直
        • 线面平行
    • 平面与平面的位置关系
      • 面面关系
        • 相交
          • 垂直
        • 平行
• 统计
  • 基本思想
    • 统计：用样本的某个量去估计总体的某个量
  • 相关概念
    • 总体
      • 所有考察对象的全体
    • 个体
      • 总体中每一个考察对象
    • 样本
      • 从总体中抽出的一部分个体
    • 样本容量
      • 样本中个体的数目
  • 三种抽样方法
    • 简单随机抽样（不放回，等可能）
      • 抽签法
      • 随机数表法
    • 系统抽样（容量大，等距，等可能）
    • 分层抽样（总体差异明显，按所占比抽取，等可能）
  • 用样本估计总体
    • 用样本的概率分布估计总体的分布
    • 用样本的数据特征估计总体的数据特征
  • 两变量之间的关系
    • 相关关系：非确定性关系
    • 函数关系：确定性关系
      • 回归直线方程
      • 回归分析
• 概率
  • 随机事件与概率
    • 样本空间
      • 随机试验
        • 试验可以在同一条件下重复进行【可重复】
        • 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个【可预知】
        • 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出线哪一个结果
      • 样本点
        • 随机试验E的每个可能的基本结果
      • 样本空间
        • 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示
    • 事件
      • 随机事件
        • 随机事件包括必然事件和不可能事件
        • 样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件
      • 基本事件
        • 把只包含一个样本点的事件称为基本事件
          • 任何两个基本事件都是互斥的
          • 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和
      • 必然事件
      • 不可能事件
    • 事件的关系和运算
      • 包含
        • A发生导致B发生
          • A⊆B
      • 相等
        • A包含B，B也包含A
          • A=B
      • 并事件（和事件）
        • A与B至少发生一个
          • A∪B(或A+B)
      • 交事件（积事件）
        • A与B同时发生
          • A∩B或(AB)
      • 互斥（互不相容）
        • A和B不能同时发生
          • A∩B=∅
      • 互为对立
        • 事件A的对立事件记为Ā
        • A与B有且仅有一个发生
          • A∩B=∅且A∪B=Ω
    • 古典概型 （古典概率模型）
      • 定义/特征
        • 有限性
          • 样本空间的样本点只有有限个
        • 等可能性
          • 每个样本点发生的可能性相等
      • 公式
      • 求解步骤
        • 判断是否是古典概型
        • 确定样本空间包含的样本总数n
        • 确定随机事件A包含的样本点个数m
        • 计算随机事件A的概率P（A）=m/n
      • 不放回抽样与有放回抽样
      • 抽样的有序性与无序性
        • 有序抽样与无序抽样所得的样本点总数不一样
    • 概率的基本性质
      • 对于任意的事件A，都有P(A)≧0
      • 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0
        • 概率为1的不一定是必然事件，概率为0的事件不一定是不可能事件
      • 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
      • 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)
      • 如果A⊆B，那么P(A)≦P(B)
      • 设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
  • 事件的相互独立性
    • 相互独立事件
      • 不是互斥事件
      • 对任意两个事件A与B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
    • 频率的稳定性
      • 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小
        • 用频率估计概率
    • 频率与概率
      • 频率
        • 相同条件下，把随机试验独立重复做n次，把事件A出现的次数nA称为事件A出现的频数，把事件A出现的比例fn(A)=nA/n称为事件A出现的频率
      • 概率
        • 定值
        • 对随机事件发生可能性大小的度量称为事件的概率
      • 概率与频率的关系
    • 随机模拟方法 （蒙特卡罗方法）
      • 步骤
        • 建立概率模型
        • 进行模拟实验（计算器、计算机...）
        • 统计试验结果