导图社区 高中数学知识点大全
新教材!高中生必看!学霸笔记整理分享,一张思维导图整理了高中数学全部知识点,涵盖了与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、函数概念与性质、指数函数、三角函数、平面向量及其应用、复数、立体几何初步、统计和概率
编辑于2022-09-15 17:42:08 江苏省高中数学知识点大全
集合与常用逻辑用语
集合的有关概念
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称 集)
构成两个集合的元素是一样的,则称这两个集合是相等的
集合元素的特性
确定性:集合确定,则一个元素是否属于这个集合是确定的
互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复
无序性:集合中元素的位置是可以改变的,改变位置不影响集合
集合的表示方法
列举法
将集合中的元素一一列举出来{a,b,c.....}
描述法
将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x|x=5n+2,n∈Z}
集合的分类
有限集
有限个元素的集合
无限集
无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合
集合中特殊数集的表示方法
正整数集:N+
整数集:Z
有理数集:Q
实数集:R
自然数集:N
集合间的基本关系
包含关系”子集“
对于两个集合A与B,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作 A⊆B(或 B⊇A) ,读作“A含于B”(“或B包含A”)
相等关系
集合A是集合B的子集,且B是A的子集,此时A和B的元素是一样的,集合A=集合B,记作A=B
真子集
对于两个集合A与B,如果A⊆B,并且 A不等于B,我们就说集合A是集合B的真子集,记作A⫋B
空集
不含任何元素的集合称为空集,记作 ∅
集合的基本运算
交集:集合论中,设A,B是两个集合,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B。
并集:给定两个集合A,B,把他们所有的元素合并在一起组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记作A∪B,读作A并B。
相对补集:若A和B 是集合,则A 在B 中的相对补集是这样一个集合:其元素属于B但不属于A,B - A = { x| x∈B且x∉A}。
绝对补集:若给定全集U,有A⊆U,则A在U中的相对补集称为A的绝对补集(或简称补集)
子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集,若a∈A,均有a∈B,则A⊆B。
必要条件与充分条件
必要条件与充分条件
一般地,”若P,则q“,是真命题时,称q是p的必要条件,p是q的充分条件
充要条件
如果能从命题p推出命题q,而且也能从命题q推出命题p ,则称p是q的充分必要条件,且q也是p的充分必要条件
全称量词与存在量词
短语”所有的“”任意一个“在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号表示
短语”存在一个“”至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号∃表示
一元二次函数、方程和不等式
等式性质与不等式性质
比较两个实数的大小
作差法

作商法

比较两个代数式的大小
作差
变形
判断差的符号
作出结论
不等式的性质
对称性

传递性

可加性

可乘性

同向可加性

同向可乘性

可乘方性

一元二次不等式
概念
我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,例如

二次函数的零点

二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

一元二次方程的解法步骤

求出相应的一元二次方程的根
利用二次函数的图像与X轴的交点确定一元二次不等式的解集
基本不等式
若a>0,b>0

最值定理
如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值
如果积xy等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
利用基本不等式求最大(小)值
积定和最小,和定积最大
应用基本不等式求最值需满足”一正二定三相等“
两数都是正数(两数都为负数时可提取负号)
必须有定值(有时需配凑、拆分凑出定值)
两数能够相等
构造定值条件的通常技巧
加项变换
拆项变换
统一换元
平方后利用基本不等式
重要不等式
若a,bR,则+2ab,当且仅当a=b时等号成立
函数概念与性质
函数的概念及其表示
函数
设A、B是非空的实数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.
定义域
x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
区间
设a,b是两个实数,a<b,满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]
设a,b是两个实数,a<b,满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b)
设a,b是两个实数,a<b,满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示为[a,b)或(a,b]
构成函数的三要素
定义域
对应关系
值域
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数
函数的表示法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
图像法
用图象表示两个变量之间的对应关系
幂函数

是幂函数的底数,幂函数的系数是1, 比如2不是幂函数
指数可以是任意实数

函数的基本性质
单调性
函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性
一次函数:
k>0,单调递增,增函数
k<0,单调递减,减函数
若k=0,则y=b,无单调性
二次函数:
反比例函数:
k>0,y随x增大而减小
k>0,y随x增大而增大
最大(最小)值
若函数f(x)在(a,b]上为增函数,在[b,c)上为减函数,则f(x)在(a,c)上有最大值f(b)
若函数f(x)在(a,b]上为减函数,在[b,c)上为增函数,则f(x)在(a,c)上有最小值f(b)
奇偶性
奇函数
f(x)=f(-x),关于轴对称
偶函数
f(-x)=-f(x),关于原点对称
若定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数
指数函数与对数函数
指数函数
指数的运算性质
当a>0,b>0时





定义

图像
性质
非奇非偶函数
定点(0,1)
注意
任何两个底数互为倒数函数的指数函数的图像关于y轴对称
当a>1时,指数函数的图像呈上升趋势 当0<a<1时,指数函数的图像呈下降趋势
应用
底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性解决
底数不同,指数相同:利用指数函数的图像解决
底数不同,指数不同:采用介值法(常取中间值)
对数函数
对数式的计算公式










指数式与对数式转化


定义
图像
性质
定点(1,0)
非奇非偶函数
三角函数
角的定义
平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角
角的分类
按照旋转方向
正角
负角
零角
按照终边位置
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
度量角的两种制度
角度制
弧度制
诱导公式
公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin(2kπ+α)=sinα k∈z
cos(2kπ+α)=cosα k∈z
tan(2kπ+α)=tanα k∈z
公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α)=-sinα k∈z
cos(π+α)=-cosα k∈z
tan(π+α)=tanα k∈z
公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
弧长与角的换算
1°=π/180°,1rad=180°/π
一周是360度,也是2π弧度,即360°=2π.
弧长公式
L=n× π× r/180,L=α× r
(n是圆心角度数,r是半径,L是圆心角弧长,α是圆心角度数)
扇形面积公式
S=LR/2
(R是扇形半径,L是扇形对应的弧长)
三角函数的定义域、值域
y=sinα
定义域是R,值域[-1,1]
y=cosα
定义域是R,值域[-1,1]
y=tanα
定义域是α≠kπ+π/2
区间是(kπ-π/2,kπ+π/2)
值域是R
三角函数的单调性
正弦函数
y=sinx在[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z,上是增函数;
在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z,上是减函数;
三角函数y=sin x,它的定义域为全体实数,值域为[-1,1]
余弦函数
y=cosx在[2kπ,2kπ+π],k∈Z,上是减函数;
在[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z,上是增函数;
余弦函数的定义域是整个实数集,值域是[-1,1];
余弦函数是周期函数,其最小正周期为2π。
平面向量及其应用
平面向量的概念
向量
概念
既有大小,又有方向的量
向量表示

数量
概念
只有大小,没有方向的量
数量表示
数轴上的点
有向线段
具有方向的线段


三要素:起点、方向、长度
向量的大小
向量的长度或向量的模



平行向量

零向量和任意向量平行
相等向量
相反向量

平面向量的运算
向量加法
三角形法则

平行四边形法则
交换律

结合律

与共线同向

与共线反向

等号成立,共线同向

向量减法


三角形法则
首首连,尾尾连,指向被减数向量
等号成立,共线反向

向量数乘
一般地, 我们规定实数入与向址a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa

当λ>0时,λ的方向与的方向相同;当λ<0时,λ的方向与的方向相反


向量的数量积
已知两个非零向量a与b, 它们的夹角为θ, 我们把数量laI lbIcosθ叫做向量a与b的数量积
记作:

零向量与任一向量的数量积为0
夹角

当时θ=0时,a与b同向;当时θ=π,a与b反向

投影向量
投影


投影向量

平面向量基本定理

平面向量的应用
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
余弦定理
余弦定理: 三角形中任何一边的平方、 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
正弦定理
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等

复数
复数的基本概念

复数相等

两个实数可以比较大小,但两个复数至少有一个为虚数时,不能比较大小
复数的分类

b=0,实数
b≠0,虚数
a=0,纯虚数
a≠0,非纯虚数
复数的几何意义
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴
实轴上的点,纯实数;虚轴上的点,纯虚数


复数的模


复数的四则运算
加法
加法法则

两个复数的和仍然是一个复数,复数的加法可以推广到多个复数相加
加法的运算律
对于任意复数∈,它们满足
交换律:
结合律:
相反数

复数的相反数与复数本身的和等于0
减法

两个复数的差也是复数
乘法
复数的乘法法则

两个复数的乘仍为复数
复数的乘法定律

除法


复数除法实质上就是分母实数化

共轭复数
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数

立体几何初步
基本立体图形
棱柱
构成
顶点
底面
侧面
侧棱
棱锥
构成
顶点
底面
侧面
侧棱
棱台
构成
上底面
下底面
侧面
侧棱
圆柱
特点
底面是一样的圆面
母线长平行且相等
轴界面是矩形
圆锥
特点
母线长相等且相交于一点
轴界面是等腰三角形
圆台
特点
母线长相等且延长后交于一点
轴界面是等腰梯形
球
特点
任何垂直于球直径的截面都是园
空间图形的表面积和体积
表面积公式:S表面积=S侧面积+S底面积
直棱柱
正棱柱
正棱锥
正棱台
S侧面积
S直棱柱=ch
S正棱锥=1/2ch
S正棱台=1/2(C1+C2)h
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
S球=4πR*R
体积公式
V柱体=Sh
V锥体=1/3Sh
V台体=[S1+S2+(S1*S2)]*h/3
V球=4/3πR*R*R
基本图形位置关系
平面的基本性质
三个公理
过不在一条直线的三个点,有且只有一个平面
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面上
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
三个推论
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
经过两条相交直线,有且仅有一个平面
经过两条直线,有且仅有一个平面
空间两条直线位置关系
线线关系
平行
相交
垂直
异面
线与面关系
线在面内
线面相交
线面垂直
线面平行
平面与平面的位置关系
面面关系
相交
垂直
平行
统计
基本思想
统计:用样本的某个量去估计总体的某个量
相关概念
总体
所有考察对象的全体
个体
总体中每一个考察对象
样本
从总体中抽出的一部分个体
样本容量
样本中个体的数目
三种抽样方法
简单随机抽样(不放回,等可能)
抽签法
随机数表法
系统抽样(容量大,等距,等可能)
分层抽样(总体差异明显,按所占比抽取,等可能)
用样本估计总体
用样本的概率分布估计总体的分布
用样本的数据特征估计总体的数据特征
两变量之间的关系
相关关系:非确定性关系
函数关系:确定性关系
回归直线方程
回归分析
概率
随机事件与概率
样本空间
随机试验
试验可以在同一条件下重复进行【可重复】
试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个【可预知】
每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出线哪一个结果
样本点
随机试验E的每个可能的基本结果
样本空间
全体样本点的集合称为试验E的样本空间,用Ω表示
事件
随机事件
随机事件包括必然事件和不可能事件
样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件
基本事件
把只包含一个样本点的事件称为基本事件
任何两个基本事件都是互斥的
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
必然事件
不可能事件
事件的关系和运算
包含
A发生导致B发生
A⊆B
相等
A包含B,B也包含A
A=B
并事件(和事件)
A与B至少发生一个
A∪B(或A+B)
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或(AB)
互斥(互不相容)
A和B不能同时发生
A∩B=∅
互为对立
事件A的对立事件记为Ā
A与B有且仅有一个发生
A∩B=∅且A∪B=Ω
古典概型 (古典概率模型)
定义/特征
有限性
样本空间的样本点只有有限个
等可能性
每个样本点发生的可能性相等
公式
求解步骤
判断是否是古典概型
确定样本空间包含的样本总数n
确定随机事件A包含的样本点个数m
计算随机事件A的概率P(A)=m/n
不放回抽样与有放回抽样
抽样的有序性与无序性
有序抽样与无序抽样所得的样本点总数不一样
概率的基本性质
对于任意的事件A,都有P(A)≧0
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0
概率为1的不一定是必然事件,概率为0的事件不一定是不可能事件
如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)
如果A⊆B,那么P(A)≦P(B)
设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
事件的相互独立性
相互独立事件
不是互斥事件
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立
频率的稳定性
一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小
用频率估计概率
频率与概率
频率
相同条件下,把随机试验独立重复做n次,把事件A出现的次数nA称为事件A出现的频数,把事件A出现的比例fn(A)=nA/n称为事件A出现的频率
概率
定值
对随机事件发生可能性大小的度量称为事件的概率
概率与频率的关系
随机模拟方法 (蒙特卡罗方法)
步骤
建立概率模型
进行模拟实验(计算器、计算机...)
统计试验结果