线代

行列式与矩阵 n阶行列式的概念 行列式的性质与计算Cramer法则矩阵及其计算逆矩阵与矩阵的秩分块矩阵矩阵的初等变换 第一节n阶行列式 学习重点 余子式与代数余子式的概念n阶行列式的概念

线代:行列式与矩阵

• 行列式→是一个数
  • 行列式的概念→不同行不同列的元素乘积的代数和→是一个数
    • 一阶行列式
      • 数值等于元素本身→与绝对值符号相区分
    • 二阶三阶行列式的概念
      • 推论:通过方程组的计算→二阶三阶行列式
      • 计算:主对角线-副对角线
    • 排列，逆序，逆序数
      • 排列（全排列）:把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列→由1，2……n组成的有序数组称为一个n阶排列，通常用j1，j2……jn表示n阶排列
        • 564129是一个六阶排列
      • 逆序:对于n个不同元素，规定标准次序为由小到大，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称为有一个逆序
        • 逆序数:一个排列中所有逆序的总数称为排列的逆序数→τ（j1j2……jn）表示
          • 逆序数为奇数的排列叫做奇排列
          • 逆序数为偶数的排列，叫做偶排列
          • 计算
            • 往后找
    • n阶行列式的概念→数
      • 不同行不同列乘积的代数和
        • 当j1j2……jn是偶排列，则这一项为正数
        • 当j1j2……jn是奇排列排列，则这一项为负数
        • 将行角标按标准次序排列，若列角标为奇排列则这一项为负数，反之为正数
      • n阶展开式的完全展开项有n！项
        • 奇排列＝偶排列＝1/2n！
      • 一般项的表示
        • ai1j1ai2j2ai3j3……ainjn
    • 常见n阶行列式
      • 上三角行列式
        • 结果等于最长主对角线元素的乘积
      • 副对角线行列式
        • 结果等于副对角线元素乘积×判断奇偶逆序数
        • 主对角线-副对角线只适用于二阶和三阶，对于其他阶数副对角线不一定是负的，但主对角线一定是正的
  • 行列式的性质
    • 行列式与它的转置行列式相等
      • 转置行列式
        • 将原行列式的行和列互换→行列式行的性质与列的性质是对等的
    • 互换行列式的两行或两列，行列式变号→换一次变一次号
      • 两行或两列相同，行列式等于零
      • 两行或两列成比例，行列式等于零
    • 行列式某一行或者某一列同时有的公因式可提出来
    • 行列式中如果有两行或两列元素成比例，此行列式等于零
    • 若行列式的某一列或某一行的元素都是两数之和，这行列式等于两行列式之和→可以拆行列式→某一行的元素都是两数之和→拆成两个行列式
    • 把行列式的某一列或某一行的各元素乘以同一数后，加到另一列或行对应元素上去，行列式不变→倍加公式
      • 特别的，若某行列式某行或者某列元素全为零，则行列式一定为零
  • 行列式按行、列展开公式
    • 余子式和代数余子式
      • 余子式:n阶行列式去掉行列式的某一行和某一列构成一个n-1阶行列式，记为Mij
      • 代数余子式:Aij＝（-1）（i+j）Mij→带有正负号的n-1阶行列式
      • 注意
        • Aij与aij的数值大小无关→求行列式，不一定要求原行列式
    • n阶行列式展开公式
      • 行列式的按行（列）展开公式:行列式等于它的任一行（列）元素与其对应代数余子式乘积之和
        • D＝a11A11+a12A12……a1nA1n
        • 推论
          • 行列式某一行的元素（列）乘以另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
      • n阶行列式如果第i行所有除ij元素外套的元素都等于零，则行列式等于aij×它的代数余子式
    • 特殊行列式
      • 主对角行列式＝主上/下三角行列式
      • 副对角行列式＝副上/下三角行列式＝（-1）^（n（n-1）/2）a1na2n……ann
      • 两个特殊拉普拉斯展开式
        • 如果A和B分别是m阶和n阶矩阵
      • 范德蒙德行列式
        • D＝（x2-x1）（x3-x1）（x3-x2）（x4-x1）（x4-x2）（x4-x3）……（xn-x1）……（xn-x（n-1））
  • 克拉默法则→用于小的证明题
    • 定理:若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组的系数行列式|A|≠0，则方程有唯一解，且xi＝|Ai|/|A|，i＝1，2……，n。|Ai|是|A|中第i列元素（即xi的系数）替换成方程组右端的常数项b1，b2…，bn所构成的行列式
    • 推论
      • 若包含n个方程n个未知量的齐次线性方程组的系数行列式≠0的充要条件是方程组只有零解
      • 逆否命题:若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式＝0
  • 常考题型
    • 行列式的基本概念
    • 行列式的计算
      • 低阶行列式计算
      • 将某一行或者某列元素化零只剩一个数→元素与其代数余子式乘积之和等于零→化简
      • 特殊行列式
        • 范德蒙行列式的形式→直接求
        • 化成拉普拉斯展开式→要有一个正方形的0
      • n阶行列式展开→一行中0较多或只有一个不为0的值→每一项都有三部分:元素×负号的元素逆序数次方×余子式
      • 化上三角形→一列一列化，第一列化n-1个零以此类推
      • 拆开法
      • 爪型处理→化成爪型行列式
      • 逐行相加→第一行加到第二行→第二行加到第三行
        • 注意后一次的运算是建立在前一次运算结果的基础上
      • 数学归纳法
    • n阶行列式的计算
      • 化上三角行列式
      • 递推法
      • 数学归纳法
      • 拆项法
      • 升阶法
    • 矩阵行列式的计算
      • 结合矩阵运算性质
    • 代数余子式和余子式
      • 定理和推论
    • 求特征值
      • 观察法:观察有几个未知量→一般就有几个根
      • 观察剩余的数→消零（加减得零）→最好加减之后可以出现带有未知数的公因式
      • 提公因式
      • 展开行列式
• 矩阵→是一个表格→基础，防混淆
  • 矩阵概念及运算
    • 定义:m×n个数排成m行n列组成的表哥称为m×n矩阵，记作A
      • 当m＝n时，矩阵A称为n阶矩阵或者n阶方阵
      • 若一个矩阵所有元素都等于0，则称矩阵为零矩阵，记作O→是一个表格≠0
      • 同型矩阵:行数和列数都相等
        • 两同型矩阵AB，若相同位置的元素都相等，则A＝B
      • n阶矩阵（方阵）的行列式:由n阶矩阵的元素构成的行列式
    • 矩阵的运算
      • 加法
        • A+B＝B+A
        • （A+B）+C＝A+（B+C）＝A+B+C
        • A+O＝O+A＝A
        • A+（-A）＝O
      • 数乘
        • k（mA）＝m（kA）＝（km）A
        • （k+m）A＝kA+mA
        • k（A+B）＝kA+kB
        • 1A＝A，0A＝O
      • 乘法→左右不一样→不满足交换律
        • 要求:前面矩阵的列要等于后面矩阵的行
        • 运算:mn×st＝mt
          • 新矩阵元素以第一个为例→A的第一行元素与B的第一列元素分别相乘，然后相加得到的值为第一个元素→以此类推
          • 特别地，A^k＝A*A……A（k个A相乘），称为A的k次幂
            • k次幂运算:A^k*A^l＝A^（k+l）
              • 矩阵本身可以与本身互换
        • 乘法运算法则
          • A（BC）＝（AB）C＝ABC结合律
          • λAB＝AλB＝λ（AB）
          • A（B+C）＝AB+AC分配律
          • （A+B）C＝AC+BC分配律
          • AE＝A，EA＝A
        • 注意
          • AB≠BA→不满足交换律
            • 只有A和B可交换时，才能成立的式子→满足交换律
              • （AB）^k＝（A）^k×（B）^k
              • （A+B）^2＝A^2+2AB+B^2
              • （A+B）（A-B）＝A^2-B^2
          • AB＝O≠A＝O或B＝O
            • A和B都不为零矩阵，乘积可能为零矩阵
          • AB＝AC且A≠O不能得到B＝C→不可以约分！！！
            • B和C不相等乘上同一矩阵所得矩阵也可能相等
      • 特殊矩阵→n阶矩阵
        • 单位矩阵→作用相当于数字运算中的1，用E表示
          • 形式:主对角线全为1，其余元素都为0
        • 数量阵/纯量阵
          • 纯量阵:λE
          • λEA＝AλE
            • 数量阵提公因数，提的是主对角线的公因数
            • 行列式提的公因数，提的是一行（一列）上的公因数
        • 对角矩阵
          • 两对角矩阵相乘＝相同位置的数相乘→可以交换次序Λ1Λ2＝Λ2Λ1
            • AB＝E→对角矩阵为可逆矩阵→其逆矩阵为所有元素倒数组成的矩阵
        • 对称矩阵
          • A为n阶方阵，A与A的转置矩阵相等，则A为对称矩阵→A＝αα^T
            • 特点是元素以对角线为对称轴对应相等
            • 对称矩阵的转置矩阵与对称矩阵相等
        • 反对称矩阵
          • 反对称矩阵的转置等于反对称矩阵的相反数→A^T＝-A
        • 上（下）三角阵
          • 类比上（下）三角行列式的形式
      • 转置
        • 将m×n矩阵A的行列互换得到n×m矩阵，称为A的转置矩阵记为A^T
        • 转置矩阵的运算法则
          • A≠O则A×A^T≠O
      • α，β表示n维的列向量→n维列向量即n行一列，n维行向量即n列一行
        • α＝【a1，a2，a3】^T，β＝【b1，b2，b3】^T
          • 矩阵:α×α^T＝对称矩阵
          • 数:α^T×α＝元素的平方和＞0
          • 3×3→矩阵，1×1→数
          • 若r（A）＝1，则A^2＝lA，l＝矩阵主对角线元素之和
      • 方程组用矩阵表示为【系数矩阵】【未知量的n阶列向量】＝【常数的列向量】
        • 表示为Ax＝b
          • A称为方程组的系数矩阵，x称为未知数，b称为常数项
            • 若对A按列分块，则A＝【α1，α2，α3，α4】
              • 即可得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4＝b
    • 难点:
      • 矩阵的乘法
      • n阶列向量符号的表示
  • 伴随矩阵和可逆矩阵
    • 伴随矩阵
      • 由矩阵A的行列式的所有代数余子式作为元素所构成的矩阵，顺序为原矩阵元素行列互换（A12＝元素b21），记作A*→正负要分清，顺序不要错
      • 伴随矩阵的公式
      • 求伴随矩阵
        • 用定义求
        • 转换:A*＝|A|A^（-1）
    • 可逆矩阵→一定要为n阶矩阵
      • 可逆矩阵概念
      • n阶矩阵可逆的充分必要条件
      • 可逆矩阵的运算性质
      • 求逆矩阵
  • 初等变换和初等矩阵
    • 初等变换和初等矩阵概念
      • 初等变换:设A是m×n矩阵，以下三种操作，称为矩阵的三种初等行（列）变换
        • 初等倍乘:用某个非零常数k乘A某行（列）的元素
        • 初等互换:互换A的某两行（列）的位置
        • 初等倍加:将A的某行（列）元素的k倍加到另一行（列）
      • 初等矩阵:由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
      • 初等矩阵分类
        • 倍乘初等矩阵
        • 互换初等矩阵
        • 倍加初等矩阵
      • 等价矩阵
    • 初等矩阵与初等变化的性质
    • 行阶梯矩阵和行最简矩阵
      • 行阶梯矩阵的定义
      • 行最简矩阵的定义
      • 行阶梯与行最简的性质
  • 分块矩阵
    • 分块矩阵的概念
    • 分块矩阵的运算
  • 方阵的行列式→抽象的行列式
    • 抽象的n阶方阵行列式公式
  • 常考题型
    • 矩阵的基本概念与矩阵行列式的计算
      • 结合行列式的运算
    • 矩阵的幂矩阵
    • 初等变换与初等矩阵
      • 初等矩阵的三种初等行变换对应于矩阵左乘三种初等矩阵
      • 初等矩阵的三种初等列变换对应于矩阵右乘三种初等矩阵
    • 逆矩阵的计算与证
    • 伴随矩阵与矩阵逆矩阵的关系
    • 矩阵方程