傅里叶公式及变换

傅里叶公式及变换相关知识知识梳理，包括周期信号的频谱分析——傅里叶级数、非周期信号的频谱（傅立叶变换）、周期信号的傅立叶变换等等。

傅立叶变换

• 傅立叶分析是从频率的角度来分析信号、系统。
• 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
  • 周期信号→傅里叶级数
    • 三角函数集
    • 复指数函数集
    • 波形的对称性与傅立叶级数
      • 偶函数
        • =0
      • 奇函数
        • =0
      • 奇谐函数
        • an、bn中n取奇数时，才有谐波分量
      • 偶谐函数
        • 只有偶次谐波，即an、bn中n取偶数时才有谐波分量。
  • 条件：狄里赫利条件
  • 周期信号的频谱
    • 各次谐波的分布图即信号频谱
      • An振幅频谱,各次谐波振幅与频率的关系图
      • φn相位频谱，各次谐波相位与频率的关系图
    • 周期矩形脉冲
      • 三角函数 单边频谱
        • 求f(t)的傅立叶级数的系数
          • an
          • An
        • 将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应位置上标出，即信号的频谱图
      • 指数形式的傅立叶级数——双边频谱
        • cn
          • f(t)
      • 特点
        • 离散性
        • 谐波性：频率都是基波频率ω1（等于2π/T）的整数倍
        • 收敛性
        • 包络线
        • 占有频带宽度：
    • 周期全波余弦信号
      • a0=
        • an=
      • f(t)
      • 频谱，包含直流分量及ω0的基波和各次谐波分量；或者说，只包含直流分量及 的偶次谐波分量。谐波的幅度以1/n^2的规律收敛
    • 时域中的波形→频谱的包络线
      • 周期→线状谱线的间隔
        • 时域波形越平滑，高频谐波幅度约小；反之越大
• 非周期信号的频谱（傅立叶变换）
  • 非周期信号 T→∞ cn→0周期信号；
    • 傅里叶级数无法表示，需要引用频谱密度
    • 频率密度函数 F(ω)
      • 表示单位频带的频谱值
  • 傅立叶变换
    • 正变换
    • 逆变换
  • 典型非周期信号的频谱
    • 矩形脉冲信号
    • 单边指数信号
    • 双边指数信号
    • 钟形（高斯）脉冲信号
      • 钟形脉冲的频谱函数也是钟形
    • 奇异函数
      • 单位冲激函数δ(t)
        • 频谱在整个频率范围内均匀分布
        • 均匀频谱 白色频谱
      • 单位阶跃函数u(t)
        • 不满足Dirichlet条件，不能直接用傅立叶变换式
      • 符号函数sgn(t)
      • 直流信号
        • • 子主题
  • 傅立叶变换的性质
    • 线性（齐次性和迭加性）
    • 奇偶虚实性
      • 1、f(t)是实函数
      • 2、f(t)是实偶函数
        • f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
      • 3、f(t)是实奇函数
        • f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω 的虚奇函数
      • 4、f(t)是虚函数
    • 时移特性
      • • 信号延时后，其幅度频谱不变，相位频谱产生附加相位值(-ωt0)
      • 1、信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的， 与信号在时间轴上出现的位置无关； 2、信号的相位频谱则是由信号的波形形状和在时 间轴上出现的位置共同决定的。
    • 频移特性
      • 信号的调制
    • 尺度变换特性
      • 特例
      • 结论：
        • １、信号在时域中压缩（a>1)，等效于在频域中扩展
        • ２、信号在时域中扩展（0<a<1)，等效于在频域中压缩
        • 3、当a = -1时，f(-t)→F(-ω) 　信号在时域中沿纵轴反转，等效于在频域中也沿 纵轴反转。
    • 对称特性
      • • 当 f(t)为偶函数，时域与频域完全对称
    • 微分特性
      • 时域微分特性
        • 在时域中f(t)对t取n阶导数，等效于在频域中频谱F(ω)乘以因子(jω)^n
      • 频域微分特性
        • 在频域中的频谱F(ω)对ω取n阶导数，等效于在时域中f(t)乘以因子(-jt)^n
    • 积分特性
      • • 当F(0) = 0时，有
    • 卷积定理
      • 时域卷积定理
      • 频域卷积定理
• 周期信号的傅立叶变换
  • 正弦、余弦信号的傅立叶变换
    • 正弦、余弦函数的频谱只包含位于+-ω0处的冲激函数
  • 周期信号的傅立叶变换
    • 级数
    • • 1、周期信号f(t)的傅立叶变换由一系列的冲激组成
      • 2、这些冲激位于信号的谐波频率处
      • 3、每个冲激的强度为f(t)的指数傅立叶级数系数cn的2π倍。
    • 求
      • 求傅里叶级数系数
      • 傅里叶级数
      • 傅里叶变换
• 抽样信号的频谱
  • 抽样信号的频谱
    • 抽样
      • 抽样序列p(t)与连续信号f(t)相乘
    • 矩形脉冲抽样
    • 冲激序列抽样
  • 抽样定理
    • 时域抽样定理
    • 频域抽样定理
• sinαsinβ=- [cos (α+β)-cos (α-β)]/2 cosαcosβ= [cos (α+β)+cos (α-β)]/2 sinαcosβ= [sin (α+β)+sin (α-β)]/2
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