第三章 线性方程组

线性方程组包括消元法，向量，线性方程组有解判别，矩阵的秩，线性方程组解的结构。框架清晰，知识点全面，有需要的小伙伴可以下载收藏。

线性方程组

• 1.消元法
  • 主要需要掌握线性方程组的初等变化及化为阶梯型
  • 在齐次线性方程组中（n个未知量s个方程），如果n大于s，则必有非零解
• 2.向量
  • I. n维向量及其加法与数量乘积
    • 知道n维单位向量的表示形式
  • II. 线性组合与线性表出
    • 0向量是任意向量组的线性组合
    • 任意的n维向量都是n维单位向量的线性组合
    • 判断一个向量是否可以由一个向量组线性表出
      • 设方程组，写出增广矩阵作初等行变化化为行最简阶梯型
  • III. 向量组的等价
    • 定义：如果两个向量组可以互相线性表出，它们就称为等价
    • 向量组等价的性质
      • 自反性：每个向量组都与它自身等价
      • 对称性
      • 传递性
  • IV. 向量组的线性相关与线性无关
    • 线性相关 定义1：如果一个向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么这个向量组称为线性相关。 定义2：此处省略
    • 线性无关：不是线性相关就是线性无关
    • 线性相关性的性质
      • 1. 任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的
      • 2. 一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量 一个向量线性无关的充要条件是这个向量为非零向量
      • 3. 部分组线性相关则整体组线性相关 整体组线性无关则部分组线性无关
      • 4. 由n维单位向量组成的向量组是线性无关的
      • 5. 对于n个n维向量，其行列式为零则线性相关，行列式不为零则线性无关
      • 6. 如果一个向量组线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n+1维的向量组也线性无关
      • 7. 多向量组可以经少向量组线性表出，那么多向量组必线性相关
        • 推论1：原定理的逆否命题
        • 推论2：n+1个n维向量必线性相关
        • 推论3：两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量
  • V. 极大线性无关组
    • 定义：一向量组的一个部分组，如果这个部分组本身线性无关，且再从这个向量组中任意添加一个向量，所得的部分向量组都线性相关。
    • 性质
      • 1. 一个向量组的极大无关组不是唯一的
      • 2. 一个向量组和它的任意一个极大无关组等价
      • 3. 一个线性无关向量组的极大线性无关组是这个向量组自身
      • 4. 一个向量组的两个极大无关组等价
      • 5. 一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量
  • VI. 向量组的秩
    • 定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
    • 性质
      • 1. 等价的向量组必有相同的秩
      • 2. 全部为零向量的向量组的秩为零
      • 3. 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩=它所含向量的个数
    • 求向量组的极大无关组以及用极大无关组表示其他向量
      • 用列向量做矩阵A，对矩阵A做初等行变换化为行最简阶梯型矩阵 非零行的个数即为秩的个数
• 4.线性方程组有解判别
  • 线性方程组有解判别定理：线性方程组n个未知量，s个方程 有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩·
    • 判断时，先判断有解无解再判断有唯一解还是有无穷解
  • • 如果方程的个数与未知量的个数相同，可以考虑先用cramer法则判断解的个数
• 3.矩阵的秩
  • 行秩：矩阵的行向量组的秩 列秩：矩阵列向量组的秩
    • 矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩
  • 矩阵的秩：矩阵中最高阶非零子式的阶数
    • 当矩阵为零矩阵时，矩阵的秩为零
  • 矩阵的秩小于等于行数和列数
  • 当矩阵的秩等于行数时，称矩阵为行满秩
    • 当矩阵的秩等于列数时，称矩阵为列满秩
  • n阶方阵
    • 行列式为零 秩小于n 列向量或行向量线性相关
    • 行列式不为零 秩等于n 列向量或行向量线性无关
  • 齐次线性方程组n个方程n个未知量
    • 有非零解 系数矩阵行列式等于零 系数矩阵的秩小于n 列向量线性相关
    • 只有零解 系数矩阵行列式不等于零 系数矩阵的秩等于n 列向量线性无关
  • 矩阵A的秩为r的充要条件是A中有一个r级子式不为零，所有r+1级子式全为零
  • 矩阵秩的计算
    • 初等变换不改变矩阵的秩
      • 方法类似于求向量组的秩 唯一的区别是求矩阵的秩初等行变换和初等列变换都可以
• 5.线性方程组解的结构
  • 齐次线性方程组
    • 解的性质
      • 两个解的和还是解
      • 一个解的倍数还是解
      • 解的任意线性组合还是解
    • 基础解系：齐次线性方程组的一组解满足这一组解线性无关且任意解都可以表示成这一组解的线性组合（方程组解集的极大线性无关组）
    • 基础解系解的存在性：在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系并且基础解系的解的个数等于n-r n是未知量的个数 r是秩的个数
  • 推论
    • 任意线性无关的与方程组的某一基础解系等价的向量组方程组的基础解系
    • 若方程组的秩为r，则任意n-r个线性无关的解都是方程组的基础解系
  • 一般线性方程组
    • 导出组：其对应的齐次线性方程组
    • 解的性质
      • 方程组的两个解的差是导出组的解
      • 方程组的一个解与导出组的一个解的和是方程组的解
      • 方程组的两个解的和以及一个解的倍数一般不再是方程组的解
    • 解的形式：方程组的一个解+导出组的基础解系