线性方程组

这是一篇关于线性方程组的思维导图，向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组无解——在该向量的每个向量中加一个分量，得到的新的向量组仍是线性无关（向量组X里每一个元素均为零）。

线性方程组

• 消元法
  • 进行初等变换变成阶梯型矩阵
    • 行最简阶梯型
      • 非零行首非零元为1，除这些1以外都是0
    • 序数矩阵和增广矩阵
    • 一般解和通解
      • 对后面用处极大
• n维向量空间
  • 同维向量组才可以进行相加的运算
• 线性相关
  • 线性表出
    • 两向量组可以相互表出——等价
    • 两向量组之间的性质——自反性、对称性、传递性
    • 定理82页
  • 线性相关
    • 向量组内的元素可以由组内的其他向量进行线性表出
    • 向量组内有零向量，该向量组一定线性相关
    • 向量组内部分线性相关，则整体线性相关；整体无关，则部分也无关
    • 向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组无解——在该向量的每个向量中加一个分量，得到的新的向量组仍是线性无关（向量组X里每一个元素均为零）
  • 极大线性无关组
    • 与所在向量组等价，与其他的极大线性无关组也等价
    • 在极大线性无关组内，每个向量组都是线性无关的；极大线性无关组并不是唯一的
    • 它可以表示它所处的向量组内的其他向量小组
    • 向量组的极大线性无关组的所含的向量个数就是其秩的个数
• 线性方程组解的结构（主要看求法）
  • 齐次线性方程组
    • 两个性质
      • 两个解的和还是这个方程组的解
      • 一个解的倍数还是这个方程组的解
    • 基础解系
      • 线性无关；任何解都可被它线性表示
      • 基础解系里解的个数为n-r
  • 非齐次线性方程组
    • 两个性质
      • 两个解的差是导出组的解
      • 一个解加上一个导出组的解仍是该方程组的解
    • 解=特解+导出组的基础解系
• 线性方程组的有解判别定理
  • 序数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等才有解
    • n>r 有无穷多解
    • n=r 唯一解
• 矩阵的秩
  • 极大线性无关组所含向量个数
  • 秩与行秩与列秩相等
  • 向量组（方阵）的列向量线性相关的充要条件：行列式的值为零
  • 求法
    • 消元法（定义法）
    • 运用k阶子式