方程汇总

方程汇总：整理了一元一次，二元一次，一元二次，一元三次方程的相关知识，需要的自取~

方程汇总

• 一元一次方程
  • 定义
    • 判断哪些是一元一次方程
    • 方程中含参数，并且是一元一次方程，求参数
  • 等式的基本性质
    • 等式的基本性质1
    • 等式的基本性质2
    • 分数的基本性质
  • 解方程
    • 不含参数
      • 基本法
        • 1.去分母
        • 2.去括号
        • 3.移项、合并同类项
        • 4.化系数为1
      • 换元法
    • 含有参数-讨论未知数的系数问题
      • 1.有唯一解
      • 2.无解
      • 3.有无数个解
  • 方程的解
    • 1.判断某个数是否为方程的解
    • 2.已知解，求参数
    • 3.已知两个方程有相同解，求参数
    • 4.方程中不含参数，但含有绝对值，讨论解的情况
  • 实际问题与一元一次方程
    • 1.和、差、倍、分问题
    • 2.调配问题
      • 1按比分配
      • 2一般调配
    • 3.行程问题
      • 1相遇问题
      • 2追及问题
        • 1路程中的追及
        • 2时钟问题的追及
      • 3环形跑道问题
      • 4行船问题
    • 4.打折利润问题
    • 5.工程问题
    • 6.数字问题
    • 7.年龄问题
• 一元二次方程
  • 1、直接开平方法
    • 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
    • 用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m
  • 2、配方法
    • 配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0
    • 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c
    • 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a
    • 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2;
    • 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²
    • 当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²
    • ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2 a (这就是求根公式)
  • 3、公式法
    • 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
  • 4、因式分解法
    • 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
• 一元三次方程
  • 标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，其解法有:1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法;2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。
  • 两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。
  • 解法
    • 公式法
      • • 若用A、B换元后，公式可简记为:
        • x1=A^(1/3)+B^(1/3);
        • x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;
        • x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
    • 判别法
      • 推导
        • 第一步
          • ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消 ，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
        • 第二步
          • 方程x^3+px+q=0的三个根为:x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
• 二元一次方程组
  • 什么是二元一次方程
    • 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
    • 所有二元一次方程都可化为axtby+c=0 (a、b=0) 的一般式与axtby=c (a、b0) 的标准式，否则不为二元一次方程。
    • 适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。每个二元次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解，二元·次方程组常用加减消元法或代入消元法转换为一元一次方程进行求解。
  • 二元一次方程的解法有什么
    • 代入消元法
      • 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法。
      • 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
        • (1) 等量代换: 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)，用另一个未知数(如x) 的代数式表示出来，即将方程写成y-ax+b的形式
        • (2) 代入消元: 将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程
        • (3) 解这个一元一次方程，求出x的值
        • (4) 回代:把求得的x的值代入y-ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解
    • 加减法
      • 当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法。
      • 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
        • (1) 变换系数:利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等
        • (2) 加减消元:把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程
        • (3) 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值
        • (4) 回代:将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值
    • 换元法
      • 解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。