双曲线

数学中的双曲线，第一定义：在平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线第二定义：双曲线上各点到焦点的距离比上到准线的距离为离心率。本图还有双曲线图像、性质、等轴双曲线、二级结论、思想方法等方面呈现。

双曲线

• 定义
  • 第一定义:在平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线
  • 第二定义：双曲线上各点到焦点的距离比上到准线的距离为离心率e
• 图像
  • 焦点在x轴
    • 焦点坐标（-c，0）（c，0）
    • 顶点坐标（-a，0）（a，0）
    • 渐近线±b/a x
    • 范围:x≤-a，x≥a
    • 准线:x＝±a²/c
  • 焦点y轴
    • 焦点坐标（0，c）（0，-c）
    • 顶点坐标（0，a）（0，-a）
    • 渐近线±a/b x
    • 范围:y≥a,y≤-a
    • 准线:y＝±a²/c
  • a，b，c，的关系:c²＝a²+b²
  • 标准图像关于坐标原点，x轴，y轴对称，关于坐标原点中心对称
• 性质
  • 实轴长＝2a
  • 实半轴长＝a
  • 虚轴长＝2b
  • 虚半轴长＝b
  • 离心率:e＝c/a＝根号下1+b²/a²（e>1）
  • 焦距=2c
• 思想方法
  • 点差法
    • 例题
    • K=(b²x0)/(a²y0)
  • 化归发
• 二级结论（以焦点在X轴为例）
  • 过右焦点且垂直于x轴的直线交于A,B两点，则A,B的坐标为A(c，y)，B(c，-y) y＝±b²/a
  • 若双曲线上有一点M满足MF1⊥MF2,且O为原点，则|OM|＝c
  • • 若原点为O的双曲线上有一点M,且|OM|＝c，则F1M⊥MF2
  • • 若点M是双曲线上一点，链接MF1,MF2，且MF1和MF2的夹角为θ，则△F1MF2的面积为b²/tanθ/2
  • 若渐近线上有一点P(以第一象限的点为例)，且满足到原点的距离为c，则P(a，b)
• 等轴双曲线
  • a＝b
  • 实轴长等于虚轴长＝2a
  • 渐近线:y＝±x（互相垂直）
  • 平分双曲线的实轴和虚轴所成的角
  • 离心率＝√2
• 双曲线被直线所截得的弦长
  • |AB|=√(1+k²)√(X1+X2)²-4X1X2(弦长公式)