二元一次方程组

人教版数学五四制七年级下第十五章，六三制七年级下第八章的内容。主要介绍了二元一次方程组的详细内容，

第十五章 二元一次方程组

• 定义与概念
  • 含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
    • 二元一次方程有无数个解，二元一次方程组一般只有一个解
      • 特别注意：几元一次方程组想要求唯一解就需要有几个方程
    • 辩一辩
      • xy+2x=3是否为二元一次方程？
        • 不是二元一次方程，xy项的指数和为2，不符合“一次”
        • 含有未知数项的指数和为1
      • 1/x+9=2y是否为二元一次方程？
        • 不是二元一次方程，1/x未知数项的指数为-1，也不符合“一次”
        • 等式两边都是整式
      • y（y-1）=y-1+x是否为二元一次方程？
        • 不是二元一次方程，y（y-1）化简之后为y的二次方减y，不符合“一次”
        • 一定要化简之后再进行判断
  • 把若干个方程合在一起研究，就组成了一个方程组
    • 注意：方程组不一定必须要有2个方程，具体情况具体分析
  • 有两个未知数，每个方程含有未知数的项的次数都是1，并且一共有2个方程，这样的方程组就叫做二元一次方程组
  • 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
• 解二元一次方程组
  • 解二元一次方程组后，可以通过检验的方式来检查
  • 代入消元法
    • 具体做法
      • 把二元一次方程组中一个方程的的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来
      • 把刚刚作出的代数式标号，并且带入另一个方程中，使其成为一元一次方程，并求解
      • 把一元一次方程解带入二元一次方程组中的另一个方程或变形后的方程，并求出第二个未知数
      • 总结出方程组的两个解
      • 实战演练
        • 由①式得x=3+y③（第一步）
        • 由③式代入②式得3(3+y)-8y=14，解得y=-1（第二步）
        • 把y=-1代入③式得x=3+(-1)=2（第三步）
  • 加减消元法
    • 具体做法
      • 把方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等
      • 如果未知数的系数互为相反数，那么进行相加，如果未知数的系数相等，那么进行相减，求出另一个未知数
      • 把所求的未知数代入二元一次方程组的任意一个方程，求出第二个未知数
      • 总结出方程组的两个解
      • 实战演练
        • 由②×3得3x-6y=0（第一步）
        • 由①-②得-5y-(-6y)=1-0，解得y=1
        • 把y=1代入①式得x=2（第三步）
  • 其他方法
    • 当两个方程中其中一个多项式相等或相同，可以把这个多项式抵消后再化简
    • 当方程比较复杂时，把某个多项式看作一个整体，并用未知数表达出来
    • 两种方法不常用，局限性较大，因题而异
  • 注：解稍复杂的二元一次方程组时，要先化简
• 二元一次方程组解应用题
  • 核心思想：运用两个不同的方式把未知数表现出来
• 三元一次方程组
  • 定义：含有三个未知数，每个含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组
  • 三元一次方程组的解法
    • 抵消未知数时的注意事项
      • 当三元一次方程组内含有二元一次方程，优先抵消比在这个二元一次方程内的未知数
      • 当三元一次方程内有两个方程中的两个未知数相同或互为相反数，则可以直接抵消这两个未知数
      • 当有一个未知数在不同的方程中系数成倍数关系，优先抵消
    • 主要思路：抵消一个未知数，再抵消另外一个未知数
      • 解三元一次方程组推荐消元方法：加减消元法
        • 优势：思路简便，可以方便我们抵消未知数
    • 加减消元法
      • 具体做法（一般做法）
        • 找出要抵消的未知数，通过乘法使方程组中其中两个方程中的这个未知数的系数互为相反数或者相等
        • 如果未知数的系数互为相反数，那么把两个方程相加，如果相等，那么把两个方程相减
        • 通过抵消其中的一个未知数，使这个三元一次方程组变成了二元一次方程组
        • 接下来可以按照二元一次方程组的一般步骤解决
    • 代入消元法
      • 弊端：方程一端只有一个未知数时，另一边会出现两个未知数
      • 具体方式
        • 把方程变形，把其中一个未知数用另两个表现出来
        • 把这个式子代入其他任何一个三元一次方程，使其成为二元一次方程组
    • 特殊解法
      • 当三个未知数每个出现了三次，同时系数都想同时，可以三个方程同时加减并化简
      • 当两个方程的值相等时，可以采用一个字母表示这两个方程，使方程组变简便
      • 把一个方程整体带入另一个方程求解
      • 注：以上几种特殊解法均无法直接求未知数值