导图社区 第二十六章 反比例函数
人教版初中数学九年级下册第二十六章《反比例函数》知识点梳理,包括:1.反比例函数(①有关概念②图像和性质③反比例函数解析式的确定)2.实际问题与反比例函数。
8年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理,使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料,帮助大家系统地回顾和巩固所学知识,学生更好地理解和记忆历史知识。
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第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
有关概念
定义
一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数,叫作反比例函数
k叫做比例系数
x是自变量
y是x的函数
①k为常数,k≠0
②自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,注意其指数是-1
③y的取值范围是y≠0的一切实数
故函数图象与x轴、y轴无交点
表达形式
反比例函数的一般形式是(k为常数,k≠0)也可以写成或xy=k
图形与性质
画法
1.列表
自变量的取值应以0为中心,在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值,填写 值时,只需计算右侧的函数值,相应左侧的函数值是与之对应的相反数
2.描点
描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点
3.连线
按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交
图像是双曲线,它有两个分支。每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴

注意
反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点
k值
当K>0时
x,y同号
双曲线的两支分别在第一、三象限
在每一个象限内,y随x的增大而减小
当K<0时
x,y异号
双曲线的两支分别在第二、四象限
在每一个象限内,y随x的增大而增大
lkl越大图象的弯曲度越小,曲线越平直;lkl越小,图象的弯曲度越大
对称性
反比例函数既是轴对称图形,也是中心对称图形
中心对称
对称中心是坐标原点(0,0)
即若(a,b)在双曲线的一支上,则(-a,-b)在双曲线的另一支上
轴对称
对称轴为直线y=x和y=-x
即若(a,b)在双曲线的一支上,则(b,a)和(-b,-a)在双曲线的另一支上
和在同一坐标系中的图像关于x轴对称,也关于y轴对称
比例系数k的几何意义
过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴,y轴的垂线PB,PA,所得的矩形PAOB的面积S=PA*PB=lxl*lyl=lx*yl=lkl
过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点,所得三角形的面积为
说明
只要函数式已经确定,不论图象上点的位置如何变化,这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的
正比例函数与反比例函数
当时,两图象没有交点
当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称
反比例函数解析式的确定
待定系数法求反比例函数解析式
由于反比例函数中,只有一个待定系数k,因此只需要知道一对x,y的对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式
步骤
①设出含有待定系数的反比例函数解析式(k为常数,k≠0)
②把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式,得到待定系数的方程
③解方程,求出待定系数k的值
④回代k值,写出解析式
26.2 实际问题与反比例函数
基本思路
建立函数模型,即在实际问题中求得函数解析式,然后应用函数的图象和性质等知识解决问题
一般步骤
①审
审清题意,根据常量、变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示
②设
根据常量与变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示
③列
由题目中的已知条件,列出方程,求出待定系数
④写
写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围
⑤解
利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题