函数

这是一篇关于函数的思维导图，函数的主要内容包括了第4章指数函数与对数函数，第3章 函数的概念与性质。

函数

第四章 指数函数与对数函数

4.1指数

二.分数指数幂

最终结果与原形式一致

化简结果分数指数幂与根式不能同存。负指数幂与分式不能同存

一.n次方根

性质

零的任何次方根都是零

负数没有偶次方根

当n为偶数时，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数

如果一个数的n次方（n是大于1的整数 ）等于a，那么这个数叫做a的n次方根

4.2指数函数

图像和性质

指数函数的概念

一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数

4.3对数

对数的运算

换底公式

对数的概念

logaa=1

loga1=0

负数和0没有对数

以e为底的对数称为自然对数

以10为底的对数叫做常用对数

如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数 ，N叫做真数

4.4对数函数

不同函数增长的差异

一般地，指数函数y=a^x(a＞1)与一次函数y=kx(k＞0)相比，即使k的值远远大于a的值，y=a^x的增长速度最终都会大大超过y=kx的增长速度

对数函数的图像和性质

对数函数的概念

一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域 是（0，+∞）

4.5函数的应用（二）

函数模型的应用

用二分法求方程的近似解

步骤

通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

函数的零点与方程的解

函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0,_这个c也就是方程f(x)＝0的解．

方程f(x)＝0有实数解 ⇔函数y＝f(x)有零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点

与二次函数的零点一样，对于一般函数y=f(x)我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点

第三章 函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

定义

①都包含两个非空数集，用A、B表示

②按照某种确定的对应关系

③A中的让任意一个数x，在B中都有确定的数y与之对应

记法

y=f（x）其中x为自变量，x∈A

定义域

x的取值集合，定义域为A

值域

{f(x)丨x∈A} 值域⊆B

▲注意

①函数可以一对一、多对一，不可一对多

②定义域=A，值域⊆B，A中不可有闲置元素，B中可以

③f（x）是x在法则f下的对应值，是函数符号，还可用g(x),h(x),∅（x）,F(x),G(x)

④定义域必须用集合形式

⑤值域被定义域唯一关系确定，若两个函数相等，只要定义域与对应关系相同即可。如果两个函数不相等，三要素中有一个不同即可。

函数三要素：定义域，对应关系，值域

函数的表示方法：1.解析式2.列表法3.图像法

3.2函数的基本性质

单调性定义

1.一般地，设函数f（x）的定义域为I。区间D⊆I：如果任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上单调递增

2.单调性及单调区间 如果函数y=f(x)在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性。区间D叫做y=f(x)的单调区间

常用结论

1.y=f（x）+c的单调性与y=f（x）的相同

2.a>0时，y=x的单调性与y=f（x）相同。

3，在公共区间内增加增等于增，减加减等于减。增减减等于增，减减增等于减

4.在公共区间内若f(x)＞0，g(x)＞0，则增*增=增

判断函数单调性的方法

一.图像法从左到右上升还是下降

二常用结论小题小做

三定义法

奇偶性

一.偶函数定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数

偶函数图像关于y轴对称

二.奇函数定义

对于一个定义域关于原点对称的 函数 f（x）的 定义域 内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做 奇函数

奇函数图像关于原点对称

三.分类

奇函数

偶函数

非奇非偶函数

既寄又偶函数

注：一，判断函数奇偶性。首先判断定义域是否关于原点对称，若定义域为[a,b],则a+b=0。二.f（x）=a（a≠0）且定义域关于原点对称，则f（x）为偶函数。 三.寄偶性必须在整个定义域内考察，是函数整体的一个性质。单调性是函数局部的性质，增(减)函数是函数整体的性质。

四.判断函数奇偶性的方法

1、图像法

2、定义法

3、观察法（仅适用于选填题）

3.3幂函数

1.定义形如y=x^α(α为常数，α∈R）的函数

2.图像

3.性质

（1）都过（1,1）点

（2）当α>0时，恒过（0,0）点

（3）α为奇数 一定为奇函数

（4）当α>0时 函数在（0，+∞）单增 反之

（5）凸増凹增问题

（6）幂函数在x=1的右侧，图高α大