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数学文化 学科体系章节思维导图
数学文化 学科体系章节思维导图，一张图带你完全了解相关内容，赶紧来试一试吧~
编辑于2023-02-01 11:48:10 江苏省- 数学文化
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数学文化1
学科体系与数学概论
关于学科体系
什么是学科
原义：知识的形式与知识对人的规范与训练
一定历史时期内知识发展到一定程度所形成的规范化、专门化的知识体系
不同时期不同内涵和定位
早期，各门学科都是在哲学之下的一个分支
发展阶段
一、19世纪中叶，学科诞生
二、19世纪末，专业化程度越来越高
自然科学分化
基础理论科学
技术基础科学
工程应用科学
每个层次不同门类
三、20世纪后，知识的发展出现高度分化和高度综合的有机统一
知识分门别类与研究更精细深入
横断学科、综合学科、交叉学科的出现使知识综合化整体化趋势更突出
什么是学科体系
起因
科学家和社会学家关注学科间的问题
研究角度
哲学和学术思想史
对学科分类、学科的分化融合以及跨文化进行研究
教育学
跨学科、交叉学科等领域的教学与课程进行研究
钱学森
三个方面
现代科学技术的门类结构
“九大部门”
自然科学
社会科学
数学科学
思维科学
系统科学
人体科学
军事科学
行为科学
文艺理论
现代科学技术的层次结构
世界上所有理论都是一层一层的概括
自然科学是其中迄今为止发展最成熟的一个门类
现代科学的学科结构
由自然科学归纳出的体系结构具有普遍意义
进一步概括出其他体系共有的结构模式
”三个层次“”一个桥梁“结构模式
”九大部门“”一个核心“”一座桥梁“”三个层次“，形成了一个严密的逻辑体系
数学是什么
译名的确定
来源
英文”mathematics“，取自古希腊语，出自希腊毕达哥拉斯学派
被认为是具有较高深知识的人所学习和研究的算术、几何等，含有学习、学问、学科的意思
中国
古代
早期
作为文明古国，起源较早，历史发展悠久，某些数学成果曾走在世界前列并且有专门的名称和术语，如算术等。
明清
中国古代数学逐渐走向衰落
开始引进西方的数学，经过艰难曲折的发展过程，才逐渐确立了西方数学在中国的重要地位，一直持续到现在。
近代
20世纪前
将英文”mathematics“翻译成中文”数学“一词，并与”算学“一词混用
20世纪上半叶
确定了”数学“一词在中国的使用
历史认识
原因
数学发展建立在以前数学的基础上，人们对数学的理解不断加深，数学发展的不同阶段有着不同认识
早期
概况
公元前6世纪以前，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国等河谷文明的地区和国家已经建立了今称的经验数学
认为：数学是关于”数“（整数）的研究
中国：老子”道生一，一生二，二生三，三生万物“
实数最终建立于自然数公理之上
古希腊
重点
三个阶段
一、毕达哥拉斯学派为代表：“万物皆数”
数指正整数，有理数是正整数的比
整个宇宙由数构成，“万物皆数”的哲学观点决定了他们用数学来思考宇宙，用数来探索自然的奥秘
万物的始基是“一元”，从一元中产生“二元”，再由“二元”产生出“三元”，从完满的“一元”与不定的“二元”中产生出各种数目
从数中产生点，点产生线，线产生面，平面到立体，立体产生由感觉所及的一切物体，产生出四种元素：水、火、土、气
四种元素以各种不同的方式互相转化，于是创造出有生命的精神世界
例：正多面体在三维空间中最多有五种/ 为什么？
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
表面积相同时，正四面体包含着最小的体积，正二十面体包含着最大的体积。 正多面体根据体积与表面关系，分为干性和湿性，正四面体代表火（最干），正二十面体代表水（最湿）。正六面体的一个面放在地上，具有“最大的稳定性”（土），用食指和拇指轻轻地按在正八面体的两个相对的点上，易于旋转并且在空气中具有非平稳性（气）。正十二面体是宇宙
意义：希腊哲学的重大转向，用数学秩序来理解宇宙，从数学规律的角度来认识和理解宇宙。
二、以柏拉图为代表提出了“理念论”的观点
理念论的由来：“不可公度量”（实际上是无理数） 毕达哥拉斯学派自己发现，引发“第一次数学危机”
内容
物质世界是一个不完美的世界，但它背后却有一个完美的“理念的世界”，指一类事物的共性。
其与可以感知的具体事物分离开来，成为独立的存在，称为“理念”。
例：他对圆的四种认识
1、被世人称为圆的东西，具体到某个实物
2、圆的定义
在任何方向上的边界点到中心的距离都是相等的。
3、画出一个圆，即旋转圆规所得的圆
4、实质性的圆，即圆的理念
三、亚里士多德的“非理念论”
内容
世界是由各种本身的“形式”与“质料”和谐一致的事物所组成的，其中，“质料”是组成事物的材料，“形式”则是每一件事物的个别特征
数学对象不应该被看成独立于感性事物的真实存在，而是独立于人类抽象思维的抽象存在
回答了“数学是什么问题”：数学是研究大小的量和数的学问
意义
通过抽象思维而非感性认识来理解抽象的数学
这种抽象的数学是独立存在的
抽象的数学离不开感性认识，抽象的数学源于实践和感性，但又高于感性认识
西方近代
培根的“经验论”数学观
感觉是一切知识的源泉，认知必须从感觉开始，除此之外，没有其他渠道，也就是说一切自然的知识都应求助于感觉
数学分为“纯粹数学”和“混合数学”
“混合数学”相当于应用数学
“纯粹数学”指处理完全与物质和自然哲学相脱离的量的科学
笛卡尔的“唯理论”数学观
改变西方哲学的走向
由对现实客观世界的关注转向对思想自由自身的关注
从对存在的客观性的追求转向对思维的客观性的追求
从为宗教教义辩护转向为科学知识提供基础
公理权威
公理不是以经验事实为基础并归纳得出的，而是先天固有的，也就是说数学具有绝对真理性
恩格斯的“辩证唯物”数学观
对数学的描述
数与形的概念同是得自外面世界的，而不是在头脑中从纯粹的思维中产生出来的。要能够达到形的概念，先应该有那些具有一定形式的事物的存在，而且应该把这些事物拿来比较，纯粹数学的对象，是现实世界的空间形式及数量关系，所以是非常现实的资料。
《汉语大词典》据此进一步定义：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学
基本内涵
一、数学是从人的需要中产生的
二、数学是相对独立的理论科学的艺术
三、数学的发展离不开实践
现代
起因
“罗素悖论”，引起恐慌（第三次数学危机）
罗素悖论，就是假设以M表示其自身成员的集合，N表示不是其自身成员的集合。 问题是：对于集合N，它是否是它自身成员的集合？（无论怎样解释都矛盾）
数学家当时解决问题的基本思路
从数学的逻辑基础开始研究，形成三种关于数学的认识和观点
一、以罗素为代表的逻辑主义数学观
二、以布劳威尔为代表的直觉主义数学观
三、以希尔伯特为代表的形式主义数学观
这些不同观点的基础上形成了一门新的数学分支——数学哲学
数学文化是什么
一种文化
数学文化的内涵
中国学者对其的研究大致分为两类
一、第一类是从宽泛的意义上理解数学文化
文化
狭义
就是“知识”
广义
人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富
数学文化
1、数学是一种文化，广义的文化是相对自然界而言，指人类的一切活动所创造的、非自然的事物和对象
2、以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统
3、现代数学已经发展为一种超越民族的文化
数学文化既包含科学因素，又包含人文因素
二、侧重上述数学文化的人文因素
代表性观点
一、数学文化主要是指数学的思想、精神，也包含数学家，数学史，数美学等数学的人文成分。
二、数学文化是指社会意识形态或观念形态，即人类的精神生活领域
三、数学除了其科学性之外，还有文化性，社会性，艺术性，历史性，统称为数学的人文性。
四、数学文化表现为在数学的起源、完善和应用的过程中所体现的对于人类发展具有重大影响的方面（公开问题的解决等）。
观点倾向
倾向于第一类，即数学文化是指在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。
数学文化的特征
历史性
主体性
双重性
数学的文化价值
纯粹数学价值
应用价值
精神价值
举例
“一元一次方程”的文化价值内涵
一元一次方程的科学概念
一元一次方程的精神价值和应用价值
继算数思想后的又一重要的数学思想，折射出人类的智慧
在发展过程中呈现多元文化特征
体现了符号化的思想，体现了数学的简洁美
解决现实问题，在其过程中，反映一个人的思维方式、态度、价值观和数学观
现实问题大部分又是源于社会，反映了社会需求，反映了社会发展推动数学发展的作用
方程发展过程
古埃及求解方程
中国古代求解方程的方法
近代求解方程的方法
函数的文化价值内涵
函数的科学概念
函数的精神价值和应用价值
反映人们在变化事物之间总结归纳出一种不变的规律，也就是对应关系
其历史演化反映人们认识事物往往经历不断深化的一个过程
其“对应说”反映人们采用一种静态方法来研究运动变化的事物，体现了静止与运动的一种哲学关系
反映了人们往往从已知出发，通过对应关系来认识未知的世界，体现人类认识世界的基本思想方法
反映刻画事物运动变化规律的数学模型
函数概念的历程
1、单一解析表达式
2、一条随意画出的曲线
3、一种特殊的变量
4、一种特殊的对应关系
学科体系中的数学
数学在学科体系中的基础性地位
表现
首要表现
数学思想
核心内容
论证思想
是逻辑的论证，但它不是一般的总结归纳，简言之，论证就是对各种猜想的逻辑证明。
公理化思想
公理化思想是对一些在实践或理论中得到的零散的、不系统的知识和方法进行分析，找出一些“不证自明”的前提（公理）从这些前提（公理）出发，进行逻辑地论证，形成严密的体系。
另一表现
数学研究方法和手段
运用这个可以有效解决各个学科所遇到的一些问题
例
天体物理中的数值模拟 P20
社会科学中的问卷调查
问卷调查是社会科学家常用的一种数学研究方法
难点
既要收集到真实有效的信息，同时又能确保被调查者的隐私不受侵犯
有效研究方法
概率论
历史上概率定义的三次演变
古典定义
概率的最高定义
频率定义
统计定义
基于频率的定义
公理化定义
1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
数学是各学科研究的有力工具
中国古代经典数学著作《九章算术》
数学是系统科学诞生的催化剂
系统科学
内容
把系统作为研究对象，撇开系统的具体运动形态，主要考察整体与部分之间的关系，确立适用于系统的一般原则。
地位/意义
已成为现代最有影响的一门综合性的基础学科和横断学科，涉及自然科学、社会科学，其应用范围已渗透到工业、农业、商业、国防、科学技术、教育、管理等各个领域和部门。
系统科学研究
它主要是采用系统论的原理和方法，并且紧密结合现代数学物理学方法和信息科学技术等现代研究工具。
把现代自然科学知识分属于“三个层次”
工程技术
技术科学
基础科学
出现交叉科学、边缘科学
数学文化1
学科体系与数学概论
关于学科体系
什么是学科
原义：知识的形式与知识对人的规范与训练
一定历史时期内知识发展到一定程度所形成的规范化、专门化的知识体系
不同时期不同内涵和定位
早期，各门学科都是在哲学之下的一个分支
发展阶段
一、19世纪中叶，学科诞生
二、19世纪末，专业化程度越来越高
自然科学分化
基础理论科学
技术基础科学
工程应用科学
每个层次不同门类
三、20世纪后，知识的发展出现高度分化和高度综合的有机统一
知识分门别类与研究更精细深入
横断学科、综合学科、交叉学科的出现使知识综合化整体化趋势更突出
什么是学科体系
起因
科学家和社会学家关注学科间的问题
研究角度
哲学和学术思想史
对学科分类、学科的分化融合以及跨文化进行研究
教育学
跨学科、交叉学科等领域的教学与课程进行研究
钱学森
三个方面
现代科学技术的门类结构
“九大部门”
自然科学
社会科学
数学科学
思维科学
系统科学
人体科学
军事科学
行为科学
文艺理论
现代科学技术的层次结构
世界上所有理论都是一层一层的概括
自然科学是其中迄今为止发展最成熟的一个门类
现代科学的学科结构
由自然科学归纳出的体系结构具有普遍意义
进一步概括出其他体系共有的结构模式
”三个层次“”一个桥梁“结构模式
”九大部门“”一个核心“”一座桥梁“”三个层次“，形成了一个严密的逻辑体系
数学是什么
译名的确定
来源
英文”mathematics“，取自古希腊语，出自希腊毕达哥拉斯学派
被认为是具有较高深知识的人所学习和研究的算术、几何等，含有学习、学问、学科的意思
中国
古代
早期
作为文明古国，起源较早，历史发展悠久，某些数学成果曾走在世界前列并且有专门的名称和术语，如算术等。
明清
中国古代数学逐渐走向衰落
开始引进西方的数学，经过艰难曲折的发展过程，才逐渐确立了西方数学在中国的重要地位，一直持续到现在。
近代
20世纪前
将英文”mathematics“翻译成中文”数学“一词，并与”算学“一词混用
20世纪上半叶
确定了”数学“一词在中国的使用
历史认识
原因
数学发展建立在以前数学的基础上，人们对数学的理解不断加深，数学发展的不同阶段有着不同认识
早期
概况
公元前6世纪以前，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国等河谷文明的地区和国家已经建立了今称的经验数学
认为：数学是关于”数“（整数）的研究
中国：老子”道生一，一生二，二生三，三生万物“
实数最终建立于自然数公理之上
古希腊
重点
三个阶段
一、毕达哥拉斯学派为代表：“万物皆数”
数指正整数，有理数是正整数的比
整个宇宙由数构成，“万物皆数”的哲学观点决定了他们用数学来思考宇宙，用数来探索自然的奥秘
万物的始基是“一元”，从一元中产生“二元”，再由“二元”产生出“三元”，从完满的“一元”与不定的“二元”中产生出各种数目
从数中产生点，点产生线，线产生面，平面到立体，立体产生由感觉所及的一切物体，产生出四种元素：水、火、土、气
四种元素以各种不同的方式互相转化，于是创造出有生命的精神世界
例：正多面体在三维空间中最多有五种/ 为什么？
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
表面积相同时，正四面体包含着最小的体积，正二十面体包含着最大的体积。 正多面体根据体积与表面关系，分为干性和湿性，正四面体代表火（最干），正二十面体代表水（最湿）。正六面体的一个面放在地上，具有“最大的稳定性”（土），用食指和拇指轻轻地按在正八面体的两个相对的点上，易于旋转并且在空气中具有非平稳性（气）。正十二面体是宇宙
意义：希腊哲学的重大转向，用数学秩序来理解宇宙，从数学规律的角度来认识和理解宇宙。
二、以柏拉图为代表提出了“理念论”的观点
理念论的由来：“不可公度量”（实际上是无理数） 毕达哥拉斯学派自己发现，引发“第一次数学危机”
内容
物质世界是一个不完美的世界，但它背后却有一个完美的“理念的世界”，指一类事物的共性。
其与可以感知的具体事物分离开来，成为独立的存在，称为“理念”。
例：他对圆的四种认识
1、被世人称为圆的东西，具体到某个实物
2、圆的定义
在任何方向上的边界点到中心的距离都是相等的。
3、画出一个圆，即旋转圆规所得的圆
4、实质性的圆，即圆的理念
三、亚里士多德的“非理念论”
内容
世界是由各种本身的“形式”与“质料”和谐一致的事物所组成的，其中，“质料”是组成事物的材料，“形式”则是每一件事物的个别特征
数学对象不应该被看成独立于感性事物的真实存在，而是独立于人类抽象思维的抽象存在
回答了“数学是什么问题”：数学是研究大小的量和数的学问
意义
通过抽象思维而非感性认识来理解抽象的数学
这种抽象的数学是独立存在的
抽象的数学离不开感性认识，抽象的数学源于实践和感性，但又高于感性认识
西方近代
培根的“经验论”数学观
感觉是一切知识的源泉，认知必须从感觉开始，除此之外，没有其他渠道，也就是说一切自然的知识都应求助于感觉
数学分为“纯粹数学”和“混合数学”
“混合数学”相当于应用数学
“纯粹数学”指处理完全与物质和自然哲学相脱离的量的科学
笛卡尔的“唯理论”数学观
改变西方哲学的走向
由对现实客观世界的关注转向对思想自由自身的关注
从对存在的客观性的追求转向对思维的客观性的追求
从为宗教教义辩护转向为科学知识提供基础
公理权威
公理不是以经验事实为基础并归纳得出的，而是先天固有的，也就是说数学具有绝对真理性
恩格斯的“辩证唯物”数学观
对数学的描述
数与形的概念同是得自外面世界的，而不是在头脑中从纯粹的思维中产生出来的。要能够达到形的概念，先应该有那些具有一定形式的事物的存在，而且应该把这些事物拿来比较，纯粹数学的对象，是现实世界的空间形式及数量关系，所以是非常现实的资料。
《汉语大词典》据此进一步定义：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学
基本内涵
一、数学是从人的需要中产生的
二、数学是相对独立的理论科学的艺术
三、数学的发展离不开实践
现代
起因
“罗素悖论”，引起恐慌（第三次数学危机）
罗素悖论，就是假设以M表示其自身成员的集合，N表示不是其自身成员的集合。 问题是：对于集合N，它是否是它自身成员的集合？（无论怎样解释都矛盾）
数学家当时解决问题的基本思路
从数学的逻辑基础开始研究，形成三种关于数学的认识和观点
一、以罗素为代表的逻辑主义数学观
二、以布劳威尔为代表的直觉主义数学观
三、以希尔伯特为代表的形式主义数学观
这些不同观点的基础上形成了一门新的数学分支——数学哲学
数学文化是什么
一种文化
数学文化的内涵
中国学者对其的研究大致分为两类
一、第一类是从宽泛的意义上理解数学文化
文化
狭义
就是“知识”
广义
人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富
数学文化
1、数学是一种文化，广义的文化是相对自然界而言，指人类的一切活动所创造的、非自然的事物和对象
2、以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统
3、现代数学已经发展为一种超越民族的文化
数学文化既包含科学因素，又包含人文因素
二、侧重上述数学文化的人文因素
代表性观点
一、数学文化主要是指数学的思想、精神，也包含数学家，数学史，数美学等数学的人文成分。
二、数学文化是指社会意识形态或观念形态，即人类的精神生活领域
三、数学除了其科学性之外，还有文化性，社会性，艺术性，历史性，统称为数学的人文性。
四、数学文化表现为在数学的起源、完善和应用的过程中所体现的对于人类发展具有重大影响的方面（公开问题的解决等）。
观点倾向
倾向于第一类，即数学文化是指在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。
数学文化的特征
历史性
主体性
双重性
数学的文化价值
纯粹数学价值
应用价值
精神价值
举例
“一元一次方程”的文化价值内涵
一元一次方程的科学概念
一元一次方程的精神价值和应用价值
继算数思想后的又一重要的数学思想，折射出人类的智慧
在发展过程中呈现多元文化特征
体现了符号化的思想，体现了数学的简洁美
解决现实问题，在其过程中，反映一个人的思维方式、态度、价值观和数学观
现实问题大部分又是源于社会，反映了社会需求，反映了社会发展推动数学发展的作用
方程发展过程
古埃及求解方程
中国古代求解方程的方法
近代求解方程的方法
函数的文化价值内涵
函数的科学概念
函数的精神价值和应用价值
反映人们在变化事物之间总结归纳出一种不变的规律，也就是对应关系
其历史演化反映人们认识事物往往经历不断深化的一个过程
其“对应说”反映人们采用一种静态方法来研究运动变化的事物，体现了静止与运动的一种哲学关系
反映了人们往往从已知出发，通过对应关系来认识未知的世界，体现人类认识世界的基本思想方法
反映刻画事物运动变化规律的数学模型
函数概念的历程
1、单一解析表达式
2、一条随意画出的曲线
3、一种特殊的变量
4、一种特殊的对应关系
学科体系中的数学
数学在学科体系中的基础性地位
表现
首要表现
数学思想
核心内容
论证思想
是逻辑的论证，但它不是一般的总结归纳，简言之，论证就是对各种猜想的逻辑证明。
公理化思想
公理化思想是对一些在实践或理论中得到的零散的、不系统的知识和方法进行分析，找出一些“不证自明”的前提（公理）从这些前提（公理）出发，进行逻辑地论证，形成严密的体系。
另一表现
数学研究方法和手段
运用这个可以有效解决各个学科所遇到的一些问题
例
天体物理中的数值模拟 P20
社会科学中的问卷调查
问卷调查是社会科学家常用的一种数学研究方法
难点
既要收集到真实有效的信息，同时又能确保被调查者的隐私不受侵犯
有效研究方法
概率论
历史上概率定义的三次演变
古典定义
概率的最高定义
频率定义
统计定义
基于频率的定义
公理化定义
1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
数学是各学科研究的有力工具
中国古代经典数学著作《九章算术》
数学是系统科学诞生的催化剂
系统科学
内容
把系统作为研究对象，撇开系统的具体运动形态，主要考察整体与部分之间的关系，确立适用于系统的一般原则。
地位/意义
已成为现代最有影响的一门综合性的基础学科和横断学科，涉及自然科学、社会科学，其应用范围已渗透到工业、农业、商业、国防、科学技术、教育、管理等各个领域和部门。
系统科学研究
它主要是采用系统论的原理和方法，并且紧密结合现代数学物理学方法和信息科学技术等现代研究工具。
把现代自然科学知识分属于“三个层次”
工程技术
技术科学
基础科学
出现交叉科学、边缘科学