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考研数学一元微分学部分知识点篇
该思维导图记录一元微分学知识。主要包括：概念，导数与微分计算。几何应用（中值定理），不等式应用（微分不等式，零点定理等）
编辑于2023-02-06 19:18:30 黑龙江省
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考研数学 一元微分学部分 知识点篇
一元函数微分学 概念与运算 （导数微分）
概念
引例
现实意义
变化率
平均变化率
瞬时变化率（速度）
牛顿提出
引出导数的概念
【dA】/【dB】称为A对B的（瞬时）变化率
数学几何意义
曲线的切线
莱布尼兹提出
曲线的斜率
f(x)' = k 对应切线的斜率
注：导数 【f(x)-f(x0)】/【x-x0】并不一定存在
引例
导数的概念
导数的定义
f(x)' = lim【f(x0+△x)-f(x0)】/【x-x0】
注：△x可以广义化：如2h，3h等
f(x)' = lim【f(x)-f(x0)】/x-x0
写法：
1.【dy/dx】|x=x0
2.y'(x0)或y'|x=x0
3.d[f(x)]/dx|x=x0
注：1.在做题时，一般用现有条件凑导数定义，注意一定要匹配。 2. 同时利用好广义化的思想。
技巧：在做导数定义时，可以取反例证明。
取特殊函数，如绝对值函数
导数的提法（三种等价）
1.y = f(x)在x0处可导
2.y= f(x)在x0处导数存在
3.f(x0)'=A(A为有限数)
可导的充要条件
提出概念：单侧导数
f-(x)' 表示△x趋于0负
f+(x)' 表示△x趋于0正
左导数与右导数均存在，且相等
考：绝对值函数
在间断点使用定义分别求左导数和右导数
附：该定义是证明导数不存在的有效方法
导数不存在的几种情况
左导数不等于右导数（有尖点）
无穷（有至少一侧导数不存在）
导数的几何含义
导数代表函数切线的斜率
法线
切线斜率的负倒数
高阶导数的概念
在上一阶导数的基础上，可以再次运用导数定义，可得高阶导数
定理
1.设f(x)在x=x0处连续 且满足limf(x)/x=A,则f(x0)=0 f(x0)'=A
2.若f(x)是可导的偶函数，则f(x)'是奇函数
3.若f(x)是可导的奇函数，则f'(x)是偶函数
4.若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f'(x)=也是以T为周期的周期函数
微分的概念
微分的定义
△S = 2x·△x +（△x）方
其中2x称为线性主部
(△x)方称为误差
是高阶无穷小
求dy的微分
dy｜x=x0 = Adx
A为x=x0时的导数
可微的证明
证明增量减去线性主部是否为△x的高阶无穷小
步骤
1.写增量
△y = f(x0+△x)-f(x0)
2.写线性主部
A△x = f'(x)△x
3.作极限
lim【△y - A△x】/【△x】
4.分析结果
若极限为零，则y=f(x)在x0处可微，否则不可微
可微的含义（理解）
计算意义
用线性的量（简单的量）取代非线性的量（复杂的量）
可微的几何含义
将曲线增量化曲为直
可导与可微
可导与可微互为充要条件
概念
导数与微分的计算
四则运算
和差导数
和差的导数等于导数的和差
积的导数
公式
注意多个多项式相乘求导
一般超过3个以上，不要直接求导，建议另谋他法
注：乘积求导公式的逆用，例题见书P59
商的导数
公式
注：多注意公式的逆用和配凑
复合函数求导与微分不变性
求导
链式求导规则
微分
df(□) = f'(□)d(□)
可再次求微分，变成了链式求导规则
如df[g(x)]=f'[g(x)]dg(x)
注：要注意求导的是谁
{f[g(x)]}'表示d{f[g(x)]}/dx，对x求导
f'[g(x)]表示d{f[g(x)]}/d[g(x)] ，对g(x)整体求导
分段函数求导
1.定义法处理
对分段点左右两侧分别求导
注：注意左右导数是否相等以判断导数存在
2.公式法
在非分段点使用公式法
小技巧：ln｜x｜求导，可视绝对值而不见
x为复合函数时，也视绝对值而不见
注：在最后求完时，将分段点和区间能合并就合并
反函数导数
定义
设y = f(x)可导，且f'(x)≠0,则存在反函数x = Φ(y),且dx/dy = 1/【dy/dx】，即 Φ'(y) = 1/f'(x)
补：导数零点定理
设y = f(x)可导，且f'(x)≠0, 则f'(x)必恒正或恒负（保号）
函数单调递增或递减
补：函数零点定理
若函数连续，且f(x)≠0, 则f(x)必恒正或恒负（保号）
二阶导数
公式
X'y = 1/【Y'x】
X''yy = 【-Y''xx】/【Y'x】^3
考：通常易结合微分方程出题
若不结合微分方程（dx/dy）出题，则可以在一阶导数的基础上，继续对x求导得到二阶导
推导、例题见书P62
注：在使用公式时，不要局限于字母。x、y仅是一个代数，公式推导仍然成立
参数方程求导
求一阶导数
y与x分别对t求导
求二阶导数
一阶导数【dy/dx】与x 再分别对t求导
隐函数求导
步骤
1.在方程两边同时对x求导
得到了关于y'的方程
2.解该方程便可以求出y'
注意：y是x的函数，求导时y类似于复合函数
在解题时
方程最后是含有x、y的表达式
可以使用原式给定的x值，求对应的y值，最终代入方程中，得到最终导数值
对数求导法
思路
对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对视在求导
步骤
1.等式两边取对数，得ln|y| = ln|f(x)|
2.两边对x求导
注：
1.在求导时，是隐函数求导，y看作中间变量
2.在计算过程中ln，若真数位置不大于零，需要加绝对值
3.ln求导时，视绝对值而不见
幂指函数求导法
思路
1.化幂指函数
对于u(x)^v(x),化作e^【v(x)*lnu(x)】
2.隐函数求导
两边同时取对数，再求导
对于特殊幂指函数，需要记忆
【x^x】' = 【x^x】*【1+lnx】
图像要会画
驻点、拐点
在0点函数值，驻点函数值，趋于无穷远函数值
【x^[1/x]】' = 【x^[1/x]】*【[1-lnx]/[x^2]】
注意：
在求导时，ln是复合求导
变限积分积分求导
记忆求导公式
高阶导数
定义
y(n),n>=2,称为高阶导数
考法：
客观题
大题的非关键步骤
抽象函数的n阶导数
通常化为原始的条件f(x)的表达式，而后找规律
解法
1.归纳法
逐次求导，探索规律，得出通式
注意：在求导过程中，尽量不要化简（极简），以便找规律
2.高阶求导公式
加减的n阶导
加减的n阶导等于分别n阶导的加减
乘积n阶导
二项式的高阶求导公式
3.泰勒展开求导
步骤
首先抽象展开至n阶
而后具体展开
将抽象函数（幂函数）和具体函数（幂函数）的最高次项系数进行匹配
例题见书例4.27
特殊函数的高阶导数
【1/x】,【lnx】【sinx】【cosx】【a^n】
基本求导公式记忆
计算
一元函数微分学 几何应用 （导数微分）
三点（极值点、最值点、拐点） 两性（单调性、凹凸性） 一线（渐近线）
极值与最值的概念
极值
定义
若存在x0的某个邻域，使得在该邻域内任意一点x，均有f(x)<=f(x0)[或f(x)>=f(x0)]，则称x0为f(x)的极大值点（或极小值点），f(x0)为极大值（或极小值）
注：
1.该邻域不是去心邻域
2.极值点为x横坐标，而非点坐标
3.常函数处处都是极值（极大值/极小值）
原因：闭区间上连续函数必有最大值/最小值
强调：
极值点包括不可导点，且极值点一阶导数为零
最值
定义
设x0为f(x)定义域内一点，若对于f(x)的定义域内任意一点x，均有f(x)<=f(x0)[或f(x)>=f(x0)]，则称f(x0)为f(x)的最大值（最小值）
注：常函数处处是最大值（最小值）
极值与最值的关系
理解
区域内的最值点，必是极值点
不是极值点，则不可能是最值点
原文
如果f(x)在区间I上有最值点x0，并且此最值点x0不是区间I的端点而是I内部的点，那么此x0必是f(x)的一个极值点
注：极值点不一定是最值点，最值点不一定是极值点
原因
极值点需要双侧有定义
邻域极值点不一定是最大值
间断点与极值点
间断点可以是极值点
可以从极值点定义出发，比左右两侧大（小）即可
最值极值
单调性与极值判定
单调性判定
在区间I上导数大于零
函数在区间I上单调递增
在区间I上导数小于零
函数在区间I上单调递减
极值点必要条件
一阶导可导，且导数值为零
极值点充分条件
1.用一阶导
在去心邻域内，可导，一阶导数为零，且左右导数异号
由于极值点可能是尖点（不可导点），所以只要求去心邻域
2.用一阶导和二阶导
一阶导为零，二阶导不为零
3.n阶导
在m(m<n)阶可导，导数均为零，在n阶导数不为零。
注：n为偶数
凹凸性与拐点的概念
凹凸性定义
凹
任意弧在两点间弦的下方
f【(x1+x2)/2】 < 【f(x1)+f(x2)】/2
凸
任意弧在两点间弦的下方
f【(x1+x2)/2】 > 【f(x1)+f(x2)】/2
拐点的定义
凹弧与凸弧的分界点
注意
1.拐点处只需要连续
包括尖点（不可导点）
2.凹凸不分先后
可以先凹后凸，也可以先凸后凹
3.拐点是点坐标，在曲线上
写(x0,f(x0))
4.与生活中拐点概念需要区分（如：房价出现拐点）
凹凸性与拐点的判定
凹凸性判别
凹
二阶可导，且二阶导大于零
凸
二阶可导，二阶导小于零
拐点必要条件
凹凸性改变
情况1：二阶导为零
情况2:二阶导不存在，左右一阶导异号
拐点充分条件
1.用二阶导数
二阶导数存在，且左右变号
2.用二阶导与三阶导
二阶导为零，三阶导不为零
注：与一阶导无关
3.用n阶导
m(m<n)阶导数全为零，在n阶导数不为零
注：n为奇数
最值点、极值点、驻点、拐点区别
极值点
一阶导数为零，包括不可导点
极值点是点x横坐标
极值=函数值
最值点
最大值=函数值
是点x横坐标
驻点
一阶导数为零
是点x横坐标
与极值点区别
驻点不一定是极值点
原因：一阶导为零，左右同号，如y=x^3
极值点不一定是驻点
极值点包括不可导点
拐点：
二阶导数为零，包括不可导点
是点坐标(x0,y0)
题：判定是极值点、拐点的工具
1.使用定义直接判定
f(x0)<=f(x)或【f(x0)>=f(x)】
2.使用必要条件进行初步判定
注意：不可导点需要单独判定
3.使用三个充分条件进行判定
4.对间断点两侧分别取极限，通过大小比较进行判定
做题经验
注意：在判定极值点和拐点前要注意判断连续
注意：对于不可导的点需要单独进行判定
对于绝对值函数，要想到定义法可能更加便捷
三点（极值点、最值点、拐点、驻点） 两性（单调性、凹凸性）
渐近线
三种渐近线
1.铅直渐近线
当x趋于x0，函数值趋于无穷
x0的情况
函数无定义点
函数定义区间端点
分段函数的分段点
2.水平渐近线
当x趋于无穷时，f(x)趋于y（常数）
3.斜渐近线
斜率a
x趋于无穷，f(x)/x =a
截距b
x趋于无穷，f(x)-ax = b
做题步骤
1.判断铅直渐近线
找函数图形的无定义点/区间端点/分段函数分段点，求极限
2.求水平渐近线
求极限x趋于无穷时，函数值y是否为常数
3.求斜渐近线
求极限x趋于无穷时，f(x)/x是否为非零常数，f(x)-ax是否存在
注：一个曲线的渐近线可能有多条，需分别进行求解
注意
单侧趋近
所有的趋近，都是从单侧（x0正负，无穷正负）趋近，即是一条渐近线。
单侧作图
在作图时，需要根据实际求解情况（单侧渐近线/双侧渐近线）进行注意
渐近线 （函数极限的重要应用）
求最值或取值范围
1.求闭区间连续函数的最大（小）值
步骤
1.找到可疑点（驻点、不可导点），并求相关函数值
2.求端点的函数值
3.将所有值进行比较
注：此题同理于求函数值域
2.求开区间连续函数最大（小）值
步骤
1.找到可疑点（驻点、不可导点），并求相关函数值
2.求开区间端点的单侧极限值
3.将所有值进行比较，确定最值或取值范围
注
1.可能无最大最小值（无穷、或开区间取不到）
3.单侧开区间求解
注：对于单侧极限【例[a,b)】，可以当成开区间求解，最后加上端点值即可
注：对于实际问题，应当建立目标函数，确定定义区间，而后将问题进行转化
题型【求最值或取值范围】
作函数图形
1.确定函数定义域，观察其是否存在奇偶性（画一半）
2.求所有注意的点
1.f(x)的无定义点
间断点
连续性
渐近线
2.f(x)'为零的点
驻点
3.f'(x)不存在的点
不可导点（极值点）
4.f''(x)为零的点
拐点
3.用所有可疑的点，将定义域划分为若干个区间
确定函数小区间内单调性、凹凸性
确定函数的极值点、拐点
求解特殊点函数值
画表格
4.求函数渐近线（如果有的话）
5.做出函数图形
作图顺序
1.先画渐近线
2.标定特殊点函数值
3.根据单调性凹凸性作图
作函数图像（较综合）
中值定理 （一元微分证明题应用）
证明题为主
1.有界与最值定理
定义：
f(x)在[a,b]上连续，m<= f(x) <=M,则m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值
（说明函数有界）
f(x)在[a,b]上连续,则函数有界
最值定理
f(x)在[a,b]上连续，则一定有最大值M，最小值m
2.介值定理
定义：
f(x)在[a,b]上连续，当m<=μ <=M时，存在 ξ ∈[a,b]，使得f(ξ) = μ
注：说明闭区间，说明ξ可以取到端点
通常最值定理与 介值定理结合使用
思路
1.通过最值定理，划定一个大的范围，以便后续使用介值
2.将范围进行恒等变形（不等号），由已知函数向目标函数靠拢
3.变化为目标函数，而后使用介值定理
3.平均值定理（离散的）
定义
f(x)在[a,b]上连续,当a<x1<x2<....<xn<b时，在[x1,xn]内至少存在一点 ξ， 使f(ξ) = 【f(x1)+f(x2)+....f(xn)】/n
4.积分中值定理（连续的）
定义
f(x)在[a,b]上连续,存在 ξ∈[a,b]，使得∫(a)(b) 【f(x)】dx = f(ξ)(b-a)
注意
ξ∈(a,b)，可以是开区间（可用拉格朗日证得）
见到∫(a)(b) 【f(x)】dx要想到
1.使用积分中值定理进行处理
2.作变限积分辅助函数
都是平均值定理 需灵活使用
离散
f(ξ) = 【1/n】∑(i=1)(n)f(xi)
连续
f(ξ) = 【1/b-a】·∫(a)(b) [f(x)]dx
5.零点定理
定义
f(x)在[a,b]上连续，当f(a)·f(b)< 0 ，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ) = 0
解题
题型
证根的个数是否存在
求根的个数
实际问题中，常常需要构造函数F
分界以上定理、并小总
1.只有零点定理，以及积分中值定理（可开闭）是开区间，其余均是闭区间
2.均需满足连续条件
涉及函数（及积分）的 中值定理
6.费马定理
定义
设f(x)满足在点x0处，①可导，②且取极值，则f'(x0) = 0
注：如何证明是极值点，是费马定理的核心（大学问）
证明（要求要会）
假设取极小值，使用极值概念f(x)-f(x0)
而后使用邻域思想，求其导数
极限的保号性
注：极限脱帽是严格不等号
而 极限戴帽是非严格不等号
根据导数定义，可导，证明其点导数为零
理解
当一个人跑到最远处，其速度为零。（位移求导）
当一个人跑的最快时，其加速度为零。（速度求导）
延伸
导数零点定理
定义
设f(x)在[a,b]上可导，当【f'+(a)】·【f'-(b)】<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = 0
延伸
当f(x)可导且f'(x)≠0，可以推出f'(x)保号(恒正或恒负)
导数零点定理与函数零点定理区别
导数
只需要导数存在即可，即可使用
函数
函数需要连续，才可使用
即使将函数升级为导数，导函数连续则过于苛刻
补：若函数可导，导函数如果不连续，则必存在震荡间断点，而震荡间断点穿x轴
解题
见到f'(x)=0，应想到
费马定理
需证明
可导
取极值
f'(x) = 0
罗尔定理
需证明
f(a)=f(b)
f'(x) = 0
7.罗尔定理
定义：
设f(x)满足① 在[a,b]上连续 ②在(a,b)内可导 ③f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = 0
如何证明f(a) = f(b)，是罗尔定理的核心
定义推广：
思路：
类型1.当端点值为开区间或无穷区间时[如(a,+∞)]，则对端点值取极限，也可以直接使用罗尔定理
类型2:函数值趋于无穷，也可以直接用洛尔定理。如f(a)=f(b) = +∞
注：开区间情况求单侧极限即可
例：设f(x)在(a,+∞)上可导，若limf(x)【x趋于a+】 = limf(x)【x趋于+∞】 = A，则可以使用罗尔定理
罗尔定理的使用
1.辅助函数
解释
通常在使用罗尔定理时，不用f，而是构造F(x)辅助函数，对F(x)使用罗尔定理
构造辅助函数技巧
思想
在构造函数时，要熟练应用整体思想，对表达式整合，配凑
常用辅助函数
思路
通过乘积求导公式的逆用构造辅助函数
常见
2.多次罗尔定理
鉴别方式
若题目涉及二阶导数，而可能要多次使用罗尔定理
条件
需要找到函数值相等的三个不同点
难点
不在于辅助函数的构造，而是找到这三个点
题目特点： 1.二阶导数2.多个函数值且出现多次相等
注：在实际题目中，若辅助函数很多很复杂时，在题目中往往有重要提示
8.拉格朗日中值定理
定义
设f(x)满足① 在[a,b]上连续 ②在(a,b)内可导 则存在ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)
思想
由导函数来控制函数值的变化
题目理解
在使用时，通常是由一个动点减去不动点
不动点可以结合变限积分求解
拉氏常见题型
见到f与f'的关系时，想到拉氏
将f'(x)变换为f(x)表达式
或根据题目要求，变换f(x)
见到"f-f"时，想到拉氏
注意条件被隐藏
特殊的数字0
注意观察题目条件，如奇函数
特殊的数字1
可转化为e^0
lna/b
可转化为ln-ln
题型
在出现了多个ξ时
需要注意是不同的ξ，可以设定a,对区间进行划分，而后分别求解
反推思想
对不等式进行变化时。对构造函数可以使用反推思想（使用介值定理进行反推）
详见书例6.10
注意事项
在做题过程中，通常是由ξ的放缩，引起不等关系
在ξ的放缩中，通常是向目标函数恒等变换，得到整个表达式的取值范围，而不是单独看ξ
思维结构
9.柯西中值定理
定义
设f(x),g(x)满足① 在[a,b]上连续 ②在(a,b)内可导 ③g'(x)≠0,则【f(b)-f(a)】/【g(b)-g(a)】=f'(ξ)/g'(ξ)
注：不能使用两次拉格朗日进行证明
原因：不是同一个ξ
考法：
通常是1个抽象函数+1个具体函数
10.泰勒公式（定理）
公式一定要背死 (一般展开式+常用)
1.带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
记忆拉格朗日余项公式
说明
在点x0某个邻域的n+1阶导数存在
在x0的临近区间内有效
注意：
其中ξ介于x,x0之间
2.带佩亚诺余项的n阶泰勒公式
记忆佩亚诺余项公式
说明
在点x0处的n阶可导
在x0局部有效
3.麦克劳林公式
定义
在x0 = 0时的泰勒公式称为麦克劳林公式
其展开式子一般用于极限，x->x0
注：泰勒公式阶数问题
应展开到n项，而后加上拉格朗日余项或泰勒余项
题型
通常出现二阶导数及以上时。应当使用泰勒公式
技巧
观察是否是奇函数，可消除常数项
结合积分对称，可适当消除一次项
注意：在使用中值定理解题时，对于的范围，应当想到夹逼定理
涉及导数的中值定理
零点问题与 微分不等式 （一元微分不等式应用）
零点问题
方程的根问题 两条曲线的交点问题
特点
相较于函数图像，不用研究凹凸性
解决零点问题定理
零点定理
用途
主要用于证明方程的根是否存在
定义
若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内至少有一个根
注：推广的零点定理：
若函数在开区间上连续，则对函数区间取单侧极限即可
区间端点/极限，可以是有限数，也可以是无穷大
单调性
用途
主要用于证明根的唯一性
定义
若f(x)在(a,b)内单调，则f(x)=0在(a,b)内至多一个根
注：
1.证明单调方法
法1:求导数f'(x)>0或f'(x)<0
法2:证明f'(x)存在，且不为零
2.定义理解
其中a,b可以是有限数，也可以是无穷
题型
对于含参问题(在求导时)
1.导数中不含参
解决方案
1.对函数进行求导
2.研究单调性后，在结果中讨论交点问题
2.导数中含参
解决方案
1.对函数求导
2.在求导过程中讨论参数
解决零点大题的主要工具
罗尔定理推论
若f(n阶导数)（x） = 0至多有k个根，则f(x) = 0至多有k+n个根
定理
实系数奇次方程，至少有一个实根
解决小题的主要工具 且通常结合使用
微分不等式
用函数性态证明不等式
包括单调性、 凹凸性、最值等
1.使用单调性证明
一阶导
定义
若有f'(x)>=0,a<x<b则有f(a)<=f(x)<=f(b)
注：若一阶导数不能判别正负，可对函数取一部分（不能判正负）再次求导
二阶导
定义
若有f''(x)>=0，a<x<b，则有f'(a)<=f'(x)<=f'(b)
而后选取边界值和0比较，可得一阶导正负
当f'(a)>0,f'(x)>0，递增
当f'(b)<0,f'(x)<0，递减
注
1.注意自变量区间
2.注意从一阶导数，二阶导数之间转变的思路
3.常结合基本不等式使用
单调性证明不等式 （主流考法）
2.使用最值证明
定义
连续函数区间内唯一的极大值，设定为最值
3.使用凹凸性证明
定义
f''(x)>0.a<x<b,若f(a)=f(b)=0,则f(x)<0
答题注意事项
1.在不等式恒等变形构造函数过程中，尽量不要出现商
可倒代换解决
2.如果出现需要开根号情况，需要加绝对值
则需要先判断绝对值中的数正负
去绝对值
3.在计算过程中，结合图形本质思考，而不要单独想定理
用常数变量化证明不等式
题目特征
所证的不等式中都是常数
解决方法
将常数进行变量化，而后使用函数性态去解题
注
1.可以将一个或多个常数进行变量化
如x = a ,或x=【a/b】
2.要注意变量的函数区间
题型
用中值定理证明不等式
解决方法
拉格朗日中值定理
突破口
出现f-f
1.自变量取值范围，ξ∈(a,b)
2.一阶导数范围
泰勒公式
拉格朗日余项
ξ介于x与x0之间
步骤
1.注意展开位置，按照题目需求，多次展开
2.将展开式恒等变化，向目标函数拼凑
3.利用一阶拉格朗日余项，建立不等关系
注：过程中注意找关系，消除不必要项
注意考题
注：做此类题时，应该数形结合。同时结合基本不等式