立体几何知识总结（详细全面）

立体几何知识总结（详细全面），在现有的基础上加入了空间角、空间距离的整理，将立体几何的知识整理全面。

立体几何初步

• 基本立体图形
  • 多面体
    • 分类
      • 棱柱
        • 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行（各个侧面都是矩形）
        • 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
        • 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
        • 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱
        • 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
      • 棱锥
        • 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
        • 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
        • 正四面体：四面都是全等正三角形
        • 正三棱锥：底面是正三角形，侧面三个等腰三角形全等
      • 棱台
        • 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
    • 定义：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
      • 面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面
      • 棱:两个面的公共边叫做多面体的棱
      • 顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
  • 旋转体
    • 定义：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的集合体叫做旋转体
      • 这条定直线叫做旋转体的轴
    • 分类
      • 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
      • 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
      • 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
• 立体图形的直观图
  • 斜二测画法（画直观图）
    • 1.横同2.纵半3.平行性不变
• 简单几何体的表面积与体积
• 空间点，直线，平面之间的位置关系
  • 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内那么这条直线在这个平面内
    • 且A∈α，B∈α=>直线AB⊂ɑ
  • 公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面（不共线的三点确定一个平面）
    • A∈α，B∈α，C∈α，A，B，C不共线，=>确定一个平面
  • • （公理2+3个推论都能唯一确定一个平面）
  • 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
    • P∈ɑ，且P∈β=>ɑ∩β=l，且P∈l
  • 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行
  • 点，线，面位置关系
    • 线线
      • 共面直线
        • 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
        • 平行直线：在同一平面内，没有公共点
      • 异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点
    • 线面
      • 1.直线在平面内——有无数个公共点
      • 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点
      • 3.直线与平面平行——没有公共点
    • 面面
      • 两个面相交-有一条公共直线
      • 两个面平行-没有公共点
• 空间直线，平面的平行
  • 1.找点做辅助线的方法
    • 取某线段中点，延长梯形两腰交于一点，取四边形两对角线中点
  • 2.线线平行
    • 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
    • 证明线线平行的方法: （1）构造三角形的中位线 （2）构造平行四边形 （3）线段成比例 (4）平行线的传递性 （5）两个面平行=>线面平行 （6）线面平行性质定理 （7）空间向量法
  • 3.线面平行
    • 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄ɑ，b⊂ɑ，且a∥b=>a∥ɑ
    • 性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
  • 4.面面平行
    • 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b=P,a∥ɑ,b∥ɑ=>β∥ɑ
    • 性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么这两条直线平行
• 空间直线，平面的垂直
  • 1. 线线垂直
    • 共面垂直和异面垂直
    • 证明线线垂直的方法： （1）勾股定理逆定理 （2）三线合一 （3）异面直线a与b所成的角为90° （4）线面垂直必有线线垂直 （5）正方形或矩形的对角线 （6）直径所对的圆周角 （7）向量数量积为0
  • 2.线面垂直
    • 判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 m⊂β，n⊂β，m∩n=P,l⊥m，l⊥n=>l⊥β
    • 性质定理：垂直于同一个平面内的两条直线平行
  • 4.面面垂直
    • 判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 a⊂ɑ，a⊥β=>ɑ⊥β
    • 性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
• 空间角
  • 1. 异面直线所成角
    • （1）范围：（0°，90°]
    • （2）求法
      • 几何法：作、证、算（放在△中）
      • 向量法
        • 基底法
        • 坐标法
  • 2. 线面角
    • （1）范围：[0°，90°]
    • （2）求法
      • 几何法
        • 直接法：作、证、算（放在Rt△中）
        • 间接法：三余弦公式
      • 向量法
        • 基底法
        • 坐标法
          • 1. 建系
          • 2.
          • 3.
          • 4.
  • 3. 二面角
    • （1）范围：[0°，180°]
    • （2）求法
      • 几何法
        • （1）定义法【已知点在棱上】 （2）垂线法（射影法）【已知点在平面内】 （3）垂面法 （4）射影法【无棱问题，cosθ=s射影/s】 （5) 向量法
      • 向量法
        • 基底法
        • 坐标法
          • 1. 建系
          • 2.
          • 3.
          • 4. 观察几个角和向量角之间的关系
• 空间距离
  • 点点距离
    • 已知空间两点的坐标为：
    • 
  • 点线距离
    • 在直线上找一个点O；，的方向向量为，P为直线外一点
    • 
  • 点面距离
    • 平面的法向量为，O为平面内一点，P为平面外一点
    • 
  • 线线距离
    • 转化为点到线的距离
  • 线面距离
    • 转化成点到平面的距离
  • 面面距离
    • 转化成点到平面的距离
• 外接球
  • 球心定义：空间中，若一个定点到一个几何体各个顶点的距离相等，则这个定点就是该几何体外接球的球心
  • 性质（解题通法）
    • 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆
  • 如何找球心
    • 长方体（正方体）的外接球球心：长方体的体对角线的中点，半径为体对角线的一半
    • 直三棱柱外接球球心：上下底面三角形外心连线的中点，半径用勾股定理求解
    • 正棱锥外接球的球心：正棱锥的高上，半径可以在以球心、底面中心和底面正多边形的一个顶点为顶点的直角三角形中求解
    • 若棱锥的顶点可以构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球球心
    • 过几何体其中两个面（外心较容易找到）的外心分别作这两个面的垂线，垂线的交点就是外接球球心