大学线性代数 第四章知识

大学线性代数 第四章知识梳理，涵盖特征值与特征向量的概念、矩阵的相似对角化、n维向量空间的正交性、实对称矩阵的相似对角化等等，适用于预习、复习的参照。

大学线性代数 第四章知识

• 第四章知识思维导图
  • 特征值与特征向量的概念
    • 与计算
    • 定义：
      • 若Aα=λα（α≠0），则称λ为A的一个特征值，α为A对应于λ的一个特征向量.
    • 性质
      • 设Aα=λα（α≠0），则A(kα)=k(Aα)=k(λα)=λ(kα).
      • 设,则.
    • 计算特征值与特征向量的步骤
      • (1)求|λI-A|=0的根：
      • (2)求：,
        • 则A对应于的特征向量为：(不全为零).
  • 矩阵的相似对角化
    • 矩阵相似的定义与性质
      • 定义：设A与B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使
        • ，则称A与B相似，记为A~B.
      • 性质
        • （1）反身性 A~A
        • （2）对称性 A~BB~A;
        • （3）传递性 A~B且B~CA~C.
      • 定理
        • 相似矩阵有相同的特征值.
        • 设矩阵A~=则是A的全部特征值
        • n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线
          • 性无关的特征向量.
        • 矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无关
        • 推论
          • 1.如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似
          • 2.设是矩阵A的不同特征值，
            • 是的线性无关特征向量，则 线性无关.
          • 3.n阶矩阵A与对角矩阵相似若是A的重特征值，
            • 则的基础解系由个解向量组成 .
  • n维向量空间的正交性
    • 内积
      • 定义：设
        • (α，β)= 称为α与β的内积.
      • 性质
        • 1.（α，β）=（β，α）
        • 2.（α+β，γ）=（α，γ）+（β，γ），（kα，β）=k（α，β）
        • 3.（α，α）≥0，当且仅当α=0时等号成立
        • 4.（α，lβ）=l（α，β），l∈R
        • 5.（α，β+γ）=（α，β）+（α，γ）
      • 长度
        • 定义：||α||=
        • 性质
          • 1.非负性 ||α||≥0
          • 2.齐次性 ||kα||=|k|||α||
          • 3.三角不等式 ||α+β||≤||α||+||β||
        • 单位向量：||α||=1：α为单位向量
      • 夹角 <α，β>=：α与β的夹角
    • 标准正交基
      • 正交向量组
        • α与β正交：（α，β）=0 为正交向量组：两两正交且不含零向量.
        • 定理：正交向量组线性无关，线性无关向量组未必是正交向量组
      • 标准（规范）正交向量组
        • 满足：
        • 1.
        • 2.
    • 正交矩阵
      • 定义：若实矩阵A满足，则称A为正交矩阵
      • 性质
        • 1.
        • 2.|A|=±1，
        • 3.正交矩阵的乘积也是正交矩阵
        • 4.A为正交矩阵A的行（列）向量组
    • 施密特正交化方法
      • 是求欧氏空间正交基的一种方法：
        • 从欧氏空间任意线性无关的向量组 α1，α2，……，αm出发， 求得正交向量组 β1，β2，……，βm， 使由 α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价， 再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组
  • 实对称矩阵的相似对角化
    • 共轭矩阵
      • 定义：设(C为复数集).称为A的共轭矩阵
      • 性质：1.
        • 2. 3.
    • 实对称矩阵的特征值与特征向量
      • 定理
        • 1.实对称矩阵的特征值都是实数 .
        • 2.实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 .
    • 实对称矩阵的相似对角化
      • 定理：对任一实对称矩阵A，都存在正交矩阵C，使得
        • 其中，是矩阵A的特征值.
• 特征子空间
  • 设,则由特征值与特征向量的性质可知：
    • 故是n维向量空间的子空间.称为矩阵A的特征子空间.
• 设Aα=λα(α≠0).则(λI-A)α=0.
  • α是(λI-A)X=0的非零解.
• 单位化：设α≠0，另，则
• 柯西-施瓦茨不等式：|(α，β)|≤||α||||β||，当且仅当α与β线性相关时等号成立
• 推论：实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量 .
• 推论：设A是实对称矩阵，λ是A的k重特征值，
  • 则λ所对应的线性无关特征向量的个数恰为k.
• 求正交矩阵C与对角矩阵的步骤：
  • 1.求f(λ)=|λI-A|的根: 2.求的基础解系: 3.将正交化后再单位化得:4.令，则C为正交矩阵且