高数多元函数微分法及其应用

本图汇总了 多元函数的基本概念、复合函数的微分法、方向导数与梯度、多元函数微分学在最值问题中的应用、多元函数微分学的几何应用、隐函数的求导公式、偏导数与全微分的内容，快来看。

多元函数微分法及其应用

• 多元函数的基本概念
  • 基本概念
    • 平面点集
    • 邻域
    • 内点，外点，边界点和聚点
    • 区域
  • 多元函数的概念
    • 定义1 设D是xoy平面上的一个非空点集，如果对于D内的任意一点（x，y），按照某对应法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称变量z为x，y的二元函数，通常记为z=f（x，y），（x，y）∈D，其中点集D称为该函数的定义域，x，y，称为自变量，z称为因变量。
  • 二元函数的极限
  • 二元函数的连续性
    • 有界性与最值性
      • 有界闭区域上的多元连续函数一定有界，且在该区域上能取到最大值和最小值。
    • 介值定理
      • 有界闭区域上的多元连续函数能取得介于最大值和最小值之间的任何值。
• 复合函数的微分法
  • 定义复合函数求导法则
    • 链式法则
    • 全导数公式
• 方向导数与梯度
  • 方向导数
    • 二维空间方向导数
    • 三维空间方向导数
  • 梯度
    • 函数在某一点增长速度最快的方向
    • grad（u）={u'x，u'y，u'z}，{a，b，c}表示向量
• 多元函数微分学在最值问题中的应用
  • 极值存在
    • 必要条件
    • 充分条件
  • 求极值的步骤
    • 求驻点
    • 判别极限是否存在
    • 存在后带入驻点求值
  • 条件极值
    • 拉格朗日乘数法
      • 找到目标函数
      • 找到约束条件
      • 引入辅助函数
      • 解方程组
      • 求得极值
    • 转化为一元函数
    • 参数方程法
  • 无条件极值
    • 求定义域
    • 两个偏导等于0求驻点
    • 判别法
      • 判断AC-B²大小
        • 大于0有极值点
          • A＞0为极小值
          • A＜0为极大值
        • 小于0无极值点
• 多元函数微分学的几何应用
  • 平面曲线的切线与法线
  • 空间曲线的切线与法平面
    • 切线 （x-x₀）/x'=（y-y₀）/y'=（z-z₀）/z'
    • 法平面 x'（x-x₀）+y'（y-y₀）+z'（z-z₀）=0
  • 曲面的切平面与法线
    • 法线（x-x₀）/F'x=（y-y₀）/F'y=（z-z₀）F'z
    • 切平面 F'x（x-x₀）+F'y（y-y₀）+F'z（z-z₀）
• 隐函数的求导公式
  • 一个方程
    • dy/dx=-Fx/Fy
  • 方程组
    • 克拉默法则
• 偏导数与全微分
  • 偏导数的概念
  • 偏导数的几何意义
  • 高阶偏导数
    • 二阶偏导数
    • 混合偏导数
    • 二阶及以上的偏导数统称为高阶偏导数
  • 全微分
    • A△x+△y+o（ρ）
    • 可微的必要条件
    • 可微的充分条件
  • 连续，可偏导，可微的关系
    • 可微一定可偏导且连续
    • 两个偏导数连续一定可微
    • 有二阶偏导数连续一定有f''xy（x，y）=f''yx（x，y）
  • 求偏导的类型
    • 显函数
    • 复合函数
    • 隐函数
      • 找到变量个数
      • 找到有几条约束条件，约束条件等于因变量个数
      • 剩下的是自变量个数
    • 变换求偏导