系统的数学模型

系统的数学模型，内容有时域、复域、频域、数学建模的一般方法、Laplace变换、传递函数方框图、传递函数、线性系统、列写微分方程的方法、非线性方程的线性化、相似系统与相似量、梅逊公式、考虑扰动的反馈控制系统，一起来看。

系统的数学模型

• 时域
  • 微分方程(连续系统)
  • 差分方程(离散系统)
  • 状态方程
• 复域
  • 传递函数（连续系统）
  • 脉冲传递函数（离散系统）
• 频域
  • 频率特性
• 数学建模的一般方法
  • 分析法：根据系统或元件所遵循的有关定律来建模
  • 实验法：根据实验数据整理拟合数模
• Laplace变换
  • 定义式
    • ------Laplace变换
    • ------Laplace逆变换
• 传递函数方框图：将组成系统的各个环节用传递函数框图表示，并将相应的变量按信息流动的方向连接起来。
  • 传递函数方框图的三要素
    • 传递函数框图
    • 相加点
    • 分支点
  • 建立传递函数方框图的步骤
    • 1.列写原始微分方程。
    • 2.在零初始条件下，对原始微分方程进行Laplace变换，并根据因果关系，绘制各环节方框图。
    • 3.按照信号流向，依次连接各环节方框图，其中输入置于左端，输出置于右端，反馈则为“倒流”。
  • 传递函数方框图的等效变换：变换前后输入输出间的数学关系保持不变
    • 串联环节的等效变换
    • 并联环节的等效变换
    • 反馈连接及其等效变换
      • 其中前向通道传递函数、反馈回路传递函数、开环传递函数均为局部传递函数，闭环传递函数才是该系统传递函数。 闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈，与反馈信号在想加点取正负号无关，偏差信号增大为正反馈，偏差信号减小为负反馈。
    • ---前向通道传递函数
    • ---反馈回路传递函数
    • ---系统开环传递函数
    • ---系统闭环传递函数
  • 分支点的移动规则
  • 相加点的移动规则
  • 相邻分支点的移动规则
  • 传递函数方框图简化的步骤
    • 1.明确系统的输入和输出，对于多输入多输出系统，针对每个输入及其引起的输出分别进行化简。
    • 2.若系统传递函数方框图中有交叉回路,则先根据相加点、分支点的移动规则消除交叉回路。
    • 3.若系统传递函数方框图中无交叉回路,则根据串联、并联和反馈连接的等效原则，从里到外逐步进行简化。
• 传递函数
  • 传递函数：零初始条件下，线性定常系统输出的Laplace变换与输入的Laplace变换之比。
    • 线性定常系统微分方程的一般形式
    • 在零初始条件下，对方程两边进行Laplace变换
    • 传递函数
• 线性系统：当系统的数学模型能用线性微分方程描述时，该系统称为线性系统，否则为非线性系统。
  • • 线性定常系统
  • • 线性时变系统
  • • 非线性系统
  • 线性系统的叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和。
    • 叠加定理
• 列写微分方程的方法
  • 1.确定系统的输入量和输出量.
  • 2.按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。
  • 3.消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
  • 4.整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
• 非线性方程的线性化
  • 非线性方程线性化的条件
    • 1.非线性函数是连续函数（即非线性不是本质非线性）。
    • 2.系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。
  • 非线性方程线性化的方法
    • 1.确定预定工作点。
    • 2.在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。
    • 3.忽略高于一阶项。
    • 4.表示成增量化方程的形式。
• 相似系统与相似量
  • 相似系统：具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。
  • 相似量：在相似系统的数学模型中占据相同位置的物理量。
  • 举例
• 梅逊公式
  • 当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件： （1）整个方框图只有一条前向通道； （2）各局部反馈回路间包含公共的传递函数方框。
    • 则系统闭环传递函数可简化成
• 考虑扰动的反馈控制系统
  • • 只考虑给定输入时
    • 只考虑干扰输入时
    • 系统总的输出量