极限

极限，内容有：利用基本极限求极限、利用等价无穷小代换求极限、利用有理运算法则求极限、利用泰勒公式求极限、利用洛必达法则求极限、利用夹逼准则求极限、利用单调有界准则求极限、利用定积分求极限，一起来看。

极限

• 利用基本极限求极限
  • 掌握基本极限（熟记
  • 掌握三部曲的做题方法
• 利用等价无穷小代换求极限
  • 代换原则
    • 乘除的话等价就可以代换
    • 加减需要满足一定的条件（➕满足极限比不等于-1—满足极限比不等于1）
  • 常用的等价无穷小（熟记）
    • 是由泰勒公式推出来的
• 利用有理运算法则求极限
  • 定理五 如果fx大于等于gx，而limfx🟰A，limgx🟰B，那么A大于等于B（利用保号性可知）
  • 极限运算法则
    • 无穷小运算法则
      • 定理1 有限个无穷小的和（差）是无穷小
      • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
        • 2:有限个无穷小的积仍是无穷小
        • 推论：常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 四则运算法则
      • 定理四 数列存在准则
        • 与极限同理
      • 定理三 极限存在准则
        • 有理运算法则
          • 两个都存在可以加减乘除
            • 推论一：如果limfx存在，而c为常数
            • 推论二：如果limfx存在，n是正整数
          • 存在➕➖不存在🟰不存在
          • 不存在➕➖不存在🟰不一定
          • 不存在✖️➗不存在🟰不一定
          • 存在✖️➗不存在🟰不一定
          • 常用的三个结论
    • 复合函数运算法则
      • 定理六：复合函数的运算法则 书上p0页
• 做题方法
  • 大题
    • 观察函数
      • 是否可以凑成基本极限
      • 观察函数是什么类型
        • ∞/∞
          • 将无穷因子提取出来，消去无穷因子
          • 分子上有几项的话可以尝试拆分 前提：每个极限都存在
          • 抓大头 关注老大
          • 洛必达法则
        • 0/0
          • 约去分母零因子
          • 凑等价无穷小
          • 是否能用拉格朗日？
          • 洛必达
        • 1的∞次方
          • 看是否可以凑成基本函数
          • 使用三部曲（尽可能的化简
            • 不管是整体还是部分，都可以凑e
          • 凑e法
        • 0次幂
          • ∞的0次幂 0的0次幂
            • 凑e法 接下来可以适应洛必达法则
            • 提老大（老大起决定性作用
          • 其他的0次幂
            • 可以尝试凑e法 接下来使用等价或者别的
        • 0✖️∞
          • 洛必达 tip：如果使用麻烦 可以先化简/凑基本极限/等价无穷小等
            • 如果掰不下去的话就处理后面那个
        • ∞➖∞
          • 使用通分来尝试解题
        • n项和
          • 夹逼准则
            • 放缩分母
            • 常用结论：29页
              • 若式子中有常数n，可以将其换成n✖️1的n次方
            • 注意：在放缩的时候要左右兼顾
          • 使用定积分来求极限
            • 提取“可爱因子”
        • 如果是分式，可以观察上下最高次幂来选择做题方法
        • 遇到分式根号
          • 阶数较低 有理化
          • 等价无穷小
          • 阶数较高 等价代换
        • 同一个函数在两点差的时候使用拉格朗日中值定理
        • 可以得出函数的值
          • 如果可以算出一个极限的值（部分）
            • 利用有理运算法则的结论解题
            • 如果式子中知道部分极限的值，可以将其先提出来
          • 如果题目中已经给了极限的值（整体）
            • 判断属于什么类型
            • 左边是几项相加减
              • 核心：将其拆分，找到存在的那一项，将存在的那一项提出来
                • 存在➕存在🟰存在
              • 可以将其拆分成两个存在的极限来分开计算
            • 左边几项相乘除
              • 使用有理运算法则的三项推论
        • 证明题
          • 使用单调有界准则来求极限
            • 过程使用两步法来证明
              • 证明极限存在
                • 使用不等式来证明⚠️可以左右呼唤注意观察式子看用1/2 还是1/3
                  • a➕b大于等于2根号ab
                  • 1/3（a➕b➕c）
                • 使用递推关系
                  • 后一项➖前一项
                  • 后一项比前一项（在不变号的条件下
              • 设极限🟰a
        • 如果题目中给出阶数的值 可以尝试泰勒公式
          • 采用上下同理的法则
          • 哪个点条件多在哪个点用
          • 很多都是多项式
          • 写到相减同次幂相减不等于0就可以了
        • 复合式中也可以看单独的类型，由此来做题
        • 碰到绝对值的时候，观察怎么做题可以更快些
        • 数列极限分成好几段的时候一般常用于求间断点
  • 选择题
    • 直接法
      • 使用做大题的方法
    • 排除法
      • 如果选项中有数字，可以将其带入尝试
      • 题目中如果有常数，可以代入特殊值尝试
• 利用泰勒公式求极限
  • 带拉格朗日余项的泰勒公式（整体）
  • 带皮亚诺余项的泰勒公式（局部）
    • 熟记几个常用的泰勒公式
• 利用洛必达法则求极限
  • 掌握定义（是利用柯西定理的）
  • 适用的七种类型
    • 0/0 ∞/∞
      • 0•∞（适用于将容易洛的那个倒数放在分母
        • 1的∞次幂
        • 0的0次幂
        • ∞的0次幂
      • ∞-∞（通分
• 利用夹逼准则求极限
  • 注意⚠️极限的和等于和的极限只适用于有限个极限
  • p29页常用结论
• 利用单调有界准则求极限
  • 单调有界数列必有极限，即单调递增（减）有上（下）界的数列必有极限
  • 利用不等式来解决问题
• 利用定积分求极限
  • 本质：定积分本身就是和的极限
  • 两个任意性
• 讨论e∞ 多做几道题！！！
• 由于极限的定义可知：极限只与邻近值有关，所以它使用皮亚诺余项
• 使用三部曲
• 使用凑e法
• 经典错误：基本极限中的常数和函数是不一样的
• 注意⚠️不要犯经典错误
• 加减分开的时候注⚠️ 极限都是必须存在的
• 注意⚠️使用条件
• 有理运算法则的伟大意义：可以将其分成每一步部分