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ncwu信号与系统一
ncwu信号与系统一的思维导图，内容有状态变量法、离散系统Z域分析、离散系统时域分析、连续系统时域分析、信号与系统基本概念，大家可以学起来哦。
编辑于2023-04-09 22:41:17 河南- ncwu
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- 大纲
中心主题
傅里叶，拉普拉斯，Z
常见变化
常见性质
九.状态变量法
系统内部的分析法，只适用与动态系统
基本定义
状态变量（n阶系统就有n个状态变量）x（t）
状态向量X（t）：由状态变量x（t）排列的列阵
状态方程xˡ（t）=Ax（t）+Bf（t） A：系统矩阵，B：控制矩阵
输出方程y（t）=Cx（t）+Df（t） C：输出矩阵
状态空间=状态方程+输出方程
建立状态空间
连续系统
通过电路图
确定状态变量个数：独立（线性无关）记忆元件的数目
当电路含有受控源时，即使形式上线性无关，也不能轻易下结论（列出关系式）
通过独立电容的电压、独立电感的电流建立状态方程
整理写成矩阵
基础例题
通过时域微分方程
1. 引入中间变量q
2. 设出状态变量 x1=qt ，x2=q ˡ t ，x3=q ˡˡ t....
列些状态方程
列些输出方程
化为矩阵
通过流图模拟图
时域图与s域流图
1.在积分器处设出状态变量
2.通过循环写出状态方程
3.通过前向通路写出输出方程
化为矩阵
s域框图
状态变量设置同时域
写出变量关系 eg：X1=1/（s+1）X2
反变换得时域 eg：x1ˡ=x2-2•x1
剩余步骤同时域
离散系统
列写规则同连续，区别在于： xˡ（t）等效与x（k+1）
通过时域差分方程
通过流图模拟图
x（k+1）=Ax（k）+Bf（k） y（k）=Cx（k）+Df（k）
错题
电路分析（并联电压）
状态方程初始值求解
状态方程判断系统稳定性
写出系统特征方程|sI-A|或|zI-A|（也就是H（s）或H（z）的分母）
然后利用极点分析/R-H准则/朱里排列判断
状态方程与输入方程求解
连续系统
s域求解
基础表达式 Y（s）=CX（s）+DF（s）
Φ（s）
X（s）
H（s）
Y（s）
（sI-A）：A的特征矩阵 |sI-A|：A的特征多项式 |sI-A|=0：A的特征方程，其解为系统固有频率
时域求解
基础表达式 xˡ（t）=Ax（t）+Bf（t） y（t）=Cx（t）+Df（t）
e^At=φ（t）=L⁻¹（Φ(s)）
巧解： 因为φˡ（t）=Ae^At 所以A=φˡ（t）|t=0
离散系统
z域求解
基础表达式 Y（z）=CX （z）+DF （z）
Φ（z）
X（z）
H（z）
Y（z）
时域求解
基础表达式 x （k+1）=Ax （k）+Bf （k） y （k）=Cx （k）+Df （k）
A^k=φ（k）=Z⁻¹（Φ(z)）
巧解： 令k=1，则A=φ（1）
与连续不同
八.离散系统Z域分析
Z变换
定义
单边Z变换：F（z）=∑（0→∞）f（k）z⁻ᵏ
遇到Uk-Uk-3的问题优先换为δk计算（不然收敛域极易误判，会出现约分）
双边Z变换
收敛域
因果序列（圆外）
反因果序列（圆内）
双边序列（环状）
有限序列（全平面）
常用的Z变换
单位序列δ（k）↔1 收敛域：全平面
单位阶跃序列U（k）↔z/（z-1） 收敛域：|z|＞1
单边指数序列aᴷU（k）↔z/（z-a） 收敛域|z|＞a
单边指数左序列-aᴷU（-k-1）↔z/（z-a） 收敛域|z|＜a
注：求完导是k-1
Z变换与拉普拉斯变换的关系
z=e^（sT） T：抽样频率
几何意义：s域jω轴对应z域单位圆 |z|＞e^jω↔|z|＞1
沿s域jω轴移动，z域沿单位圆旋转
Z变换的性质
线性
位移性
应用与微分方程
若fk为因果信号 右移较为简单
尺度变化
z域微分性
积分性
折叠性（仅双边Z变换）
卷积定理
部分和
初值定理
终值定理
Z反变换
幂级数展开法
1.按照收敛域（序列类型）排列分母
因果序列：降序排列（321）
反因果序列：升序排列（123）
环状收敛域：分为因果与非因果排列
2.长除法（分子除以分母）得到z的序列
注意
因果序列：从第一项k=0（即常数，没有则为0）排列
反因果序列：第一项从k=-1排列
部分分式法
方法与s域部分分式法基本相同
1.写出F（z）/z
注意不是F（z），还要考虑到z=0的情况
2.对分母进行因式分解算出根
n个单根：利用公式一展开成部分分式
含有重根：利用公式二展开成部分分式
不要忘记3重根时要乘以系数，遇到单独存在的 f（z）/（z-a）²问题务必要用公式化简
eg：求（z²+5z）/（z+1）²的反变换 不要用性质计算，要用公式化开
3.通过收敛域（极点位置分布）判断各部分因式的类型（因果/非因果）
错题
与抽样相关的变量转换
复杂Hz的零极点判断
滤波器与抽样变量的转换
Z变换的运用
计算时必须写出收敛域
利用Z变化求解离散系统响应（差分方程）
全响应：Y（z）=Yzi（z）+Yzs（z）×F（z）
通过全响应很容易分辨出零状态和零输入的Z变换
零输入响应：令f（k）=0求解Y（z）
零状态响应：所有y（-n）为0
系统函数H（z） 收敛域！
H（z）的求法
利用差分方程计算（注意：零状态）
对h（k）Z变换
定义：H（z）=Yzi（z）/F（z）
利用流图与梅森公式
几何法
H（z）的用途
求出系统模拟图（流图）
方法与s域的系统模拟（Mason逆应用）相同
H（z）的零极点计算系统频率响应
求解零状态响应
非因果信号求解
求出差分方程
判定系统因果稳定性
稳定性
一般方法
因果系统
极点位于单位圆内：系统稳定
极点位于单位圆上：临界稳定
极点位于单位圆外：系统不稳定
非因果系统
极点位于单位圆外：系统稳定
极点位于单位圆上：系统临界稳定
极点位于单位圆内：系统不稳定
总结为：收敛域包含单位圆，则系统稳定
用朱里准则判断离散系统稳定性
朱里jury阵列
判断方法H（z）=B（z）/A（z）
A（1）＞0，（-1）ⁿA（-1）＞0
奇数行的第一个系数＞最后一个系数的绝对值
因果性
若H（z）收敛域为圆外无穷远，则系统为因果系统。 若H（z）收敛域还包括单位圆，则系统稳定
若H（z）分子项数≤分母项数，系统因果 或零点个数＞极点个数，系统非因果
求出稳定系统的正弦稳态响应
基础知识
模拟频率Ω与数字频率ω的关系
直接法
1.确保是稳定系统
2.H（e^jω）=H（z）|z=e^jωT，一般情况T=1s
3.带入输入信号f（k）的频率ω0
若f（k）中含有u（k），则当做ω=0的cosωk
4.求出正弦稳态响应y（k）
y（k）的幅值：f（k）×| H（e^jω） |
y（k）的相角：cos（ω0x+φ（ω））
图解法
七.离散系统时域分析
离散信号
离散时间信号的时间域变化
同连续（移位，数乘，反折等）
差分和累加
前向差分△
后向差分▽（类似导数）
微分方程差分化
直接差分：f（t）=f（kT）=f（k） 导数差分：yˡ(t)=[y(t+T)-y(t)]/T= [y(kT+T)-y(k)]/T= [y(k+1)-y(k)]/T
常用离散信号
单位阶跃序列Uk
定义
定义了U（0）=1
门序列Gk
Uk对k的求和=（k+1）Uk
Ut对t的变上限积分=tUt
单位序列/单位脉冲序列δk
定义
在k=0为1，其他为0
性质
取样性质：fk×δk=f0×δk
抽样性质：∑fk×δk=f0
Uk与δk的关系
δk=▽Uk
Uk=δk对k求和或δk的平移累加
其他信号
单边实指数序列
正弦序列
注意周期问题，详见第一章
离散复指数序列
x（k）的共轭对称分量：1/2［x（k）+x*（-k）］ 共轭反对称分量：1/2［x（k）-x*（-k）］
离散信号的功率与能量
信号在区间(N1，N2)的能量 E=∑(从N1到N2)|f(k)|²，若无穷无尽则令limN→∞
无穷区间的平均功率 P=lim(N→∞)∑|f(k)|²/(2N+1)
离散系统的因果与稳定
因果性
h（k）为因果序列
稳定性
h（k）为绝对可和
差分方程
定义
阶：未知序列最高与最低的差
线性常系数差分方程描绘的系统一定是LTI
构建差分方程
利用系统框图
初始状态：y（-1），y（-2）… 初始值：y（0），y（1）…
差分方程求解
初始值不会跳变
齐次解+特解（k≥0）
零输入响应zi
特点 y（-n）=yzi（-n）
连续为 0点左右初始值相同（无跳变） 离散为 所有初始值可以直接使用（因为无输入k是正是负无影响），但前提是初始值不受全响应输入影响，否则要迭代得到-k的初始值
直接带入初始条件（k≥n，n为代入的条件y（n），注意不是k≥0！）
零状态响应zs
特点 y（-n）=0
与连续相同
迭代求初值（加εk）
注意零状态响应迭代的初始状态都为0
h（k）的经典求法
由于h（k）是零状态响应下求解，所以初始值用零状态响应确定
当k＞0时，f（k）=0，此时方程按照零输入响应求解
脉冲响应和阶跃响应（加εk）
阶跃响应gk的求法
利用LTI性质
冲激响应/序列响应hk的求法
1.利用LTI性质计算
2.利用HE计算（查表）
此方法更简单
两者关系
hk=▽gk
差分算子e与传输算子HE
e可因式分解
e可交换
e不能相消
卷积和
卷积和定义 f1（k）*f2（k）=∑f1（i）f2（k-i） 注意f2不是i-k
卷积和的图形解释
当求某一点的卷积时此方法更简单
1.换元
2.反转
3.平移
4.相乘
5.相加
运算规律（交换，结合，分配律）
卷积和性质
与δk的卷积和
与Uk的卷积和
时移性
卷积和计算方法
迭代法
定义法
性质法
图解法
表格法/不进位乘法
f1左顶格，f2从右顶格写 f(k)=［1 3 4 2］表示f(0)=1，f(1)=3…
零状态响应的卷积和求法
yk=fk*hk hk为系统单位脉冲响应
错题
196/7-4：初始条件翻倍时，零状态响应也翻倍（想想响应的系数是怎么来的）
利用离散系统解题
二.连续系统时域分析
微分方程
构建微分方程
利用电路图
利用模拟图
方程构建模拟图（系统的模拟）
1.设出中间变量x
2.用x表示出f与y
3.判断方程阶数（积分器个数）
4.根据x分别写出f与y的模拟图
微分方程求解（t≥0）
自由/自然响应=方程的齐次解，由方程特征根和初始条件决定。
自由响应和零输入响应都是将激励置0计算，但是确定两者系数的值不同： 自由响应～初始条件/初始值+特解 零输入响应～初始状态
强迫响应=方程特解，由方程激励结构确定。
离散：激励aᵏUk～特解AaᵏUk（a不是特征值） 连续：同高数
特解问题
暂态响应：t→∞为0的部分。
稳态响应：t→∞依然存在的部分。
信号初始值问题
本质是ut引起跳变（而δt不会）
初始状态：x1（0-），x2（0-）… 初始值：x1（0+），x2（0+）…
零输入响应zi/yx
初始值/初始条件 y（0_）=y（0+）=y（0）
ft=0，只有齐次解（t≥0）
零状态响应zs/yf
初始状态 y（0-）=0
需要考虑跳变问题
计算齐次解+特解（加ut）
冲激响应与阶跃响应（加ut）
冲激信号和阶跃信号在零状态产生的响应
阶跃响应gt的求法
利用LTI性质
冲激响应ht的求法
1.利用LTI性质计算
将等号右边激励简化为一个ft，求出对应的ht，再利用LTI特性求解
2.利用Hp计算（查表）
1.因式分解
2.查表代值（类似s或z域）
3.微分方程直接计算
计算出初始值，带入解
将含有未知系数的C直接带入方程，平衡系数求得ht
此方法避免求初始值
ht=gˡt
错题
卷积微积分性与卷积中t与τ的变换关系
33/2-7：换路定律（换路前后电容电压与电感电流不变），如何用电路求零输入初始值
49/2-22：磁链守恒定律（电感元件的∑i（0-）=∑i（0+），电路的所有中间变量都满足特征方程吗（自然频率）
卷积
卷积定义 f1（t）*f2（t）=∫f1（τ）f2（t-τ）dτ
ft*1≠ft
卷积的图形解释
当求某一点的卷积时此方法更简单
1.换元
2.反转（令t=-τ）
3.平移（令τ=-（τ-t））
4.相乘
5.积分
运算规律（交换，结合，分配律）
卷积性质
微积分性
整体微分/积分转化为局部微分/积分
与Ut的卷积
因果信号ft对Ut卷积相当于对ft求积分，结果不要忘记乘U（t）
与δt的卷积
可用于求卷积逆问题（方程两边求导，使出现δt的卷积）；卷积化简（利用微分性得到δt）
与δˡt的卷积
时移性
卷积计算方法
定义法
性质法
图解法
零状态响应的卷积求法
yt=ft*ht ht为系统单位冲激响应
微分算子p与传输算子Hp
p可因式分解
p不能交换（乘除顺序不能随意颠倒）
先除后乘可相消
一般先在微分方程两边乘p，以消除方程存在的1/p
一.信号与系统基本概念
信号
信号分类
确定信号～随机信号
连续时间信号～离散时间信号
连续时间信号如果幅值也连续为模拟信号
周期信号
周期函数组合
离散周期组合
周期序列组合一定是周期的
f（k）=f（k+mN） m=0，±1，±2...
连续周期组合
算出各部分周期，求周期之间的最小公倍数 （或周期之比不能为无理数）
功率信号～能量信号
能量：E=∫|ft|²dt 功率：P=（∫|ft|²dt）/T
能量有限信号：E＜∞，P=0 功率有限信号：P＜∞，E=0
因果信号
t＞0时ft≠0 t＜0时ft=0
常用连续信号
单位阶跃信号εt/Ut
离散单位阶跃信号εk
连续单位阶跃信号
∫U(t-a)dt=（t-a）U(t-a)
门函数
单位冲激信号δt
定义
定义式
冲激强度
几何意义
表示突变点导数
面积为一（积分值为1）
性质
取样性质：ft×δt=f0×δt
抽样性质：∫ft×δt=f0
展缩性δ（at）=|1/a|δ（t）
偶函数
离散单位冲激信号δk
δt=Uˡt
单位冲激偶信号δˡt
几何意义
δˡt与δt的关系
性质
奇函数（积分为0）
ft×δˡt=f0×δˡt-fˡ0×δt
其他信号
单位符号信号sgn（t）
抽样信号Sa（t）
连续时间信号的时间域变化
所有变换均对t进行
反转
注意：反转是以y为轴反转
时移
展缩
倒相
图形分析与拆解
系统
系统定义
系统分类
动态系统～静态系统
动态系统：不仅与t0时刻激励有关，还与t0以前时刻的激励有关
含有记忆元件（电感电容），记忆电路（延时器）的都为动态系统
动态系统中：全响应=零状态响应zs+零输入响应zi
线性系统
同时满足齐次性与叠加性
齐次性：af→ay
叠加性：f1+f2→y1+y2
判断方法yt=T（ft）
齐次性与叠加性都是只针对激励 如：y=f+a，则在第一步中 T（k₁×f₁+k₂×f₂）=k₁×f₁+k₂×f₂+a
1.算出T（k₁×f₁t+k₂×f₂t）
若方程较为麻烦可以先判断齐次再判断叠加
2.分别算出y₁t和y₂t，两者相加
3.比较y₁t+y₂t与T（k₁×f₁t+k₂×f₂t）是否相等
时不变系统
f（t-t0）→y（t-t0）
一般f外含有时间参数t的都为时变系统
判断方法 若yt=f（-t）
1.算出延迟后激励f（t-t0） =f（-t-t0）≠f（-（t-t0））
对整体激励进行延迟，不是针对t延时，再例如： x（n）sin（2n）延迟得到x（n-m）sin（2n）
2.算出延迟后响应y（t-t0）=f［-（t-t0）］
3.两者相比
因果系统
激励是原因，响应是结果 无原因不会产生结果
输入只取决于输出过去值： 如：t＞0时的激励，响应只能在t＞0时有作用 yt在时间轴上的位置一定落后于ft（负半轴也一样）
响应只取决于激励： 例如y（n）=sin（n+2）x（n）是因果系统（与sin无关）
集总参数系统～分布参数系统
线性时不变系统的性质
齐次性
叠加性
线性
时不变性
微分性
积分性
错题
系统判定
线性也可以判断系统等效
中心主题
傅里叶，拉普拉斯，Z
常见变化
常见性质
九.状态变量法
系统内部的分析法，只适用与动态系统
基本定义
状态变量（n阶系统就有n个状态变量）x（t）
状态向量X（t）：由状态变量x（t）排列的列阵
状态方程xˡ（t）=Ax（t）+Bf（t） A：系统矩阵，B：控制矩阵
输出方程y（t）=Cx（t）+Df（t） C：输出矩阵
状态空间=状态方程+输出方程
建立状态空间
连续系统
通过电路图
确定状态变量个数：独立（线性无关）记忆元件的数目
当电路含有受控源时，即使形式上线性无关，也不能轻易下结论（列出关系式）
通过独立电容的电压、独立电感的电流建立状态方程
整理写成矩阵
基础例题
通过时域微分方程
1. 引入中间变量q
2. 设出状态变量 x1=qt ，x2=q ˡ t ，x3=q ˡˡ t....
列些状态方程
列些输出方程
化为矩阵
通过流图模拟图
时域图与s域流图
1.在积分器处设出状态变量
2.通过循环写出状态方程
3.通过前向通路写出输出方程
化为矩阵
s域框图
状态变量设置同时域
写出变量关系 eg：X1=1/（s+1）X2
反变换得时域 eg：x1ˡ=x2-2•x1
剩余步骤同时域
离散系统
列写规则同连续，区别在于： xˡ（t）等效与x（k+1）
通过时域差分方程
通过流图模拟图
x（k+1）=Ax（k）+Bf（k） y（k）=Cx（k）+Df（k）
错题
电路分析（并联电压）
状态方程初始值求解
状态方程判断系统稳定性
写出系统特征方程|sI-A|或|zI-A|（也就是H（s）或H（z）的分母）
然后利用极点分析/R-H准则/朱里排列判断
状态方程与输入方程求解
连续系统
s域求解
基础表达式 Y（s）=CX（s）+DF（s）
Φ（s）
X（s）
H（s）
Y（s）
（sI-A）：A的特征矩阵 |sI-A|：A的特征多项式 |sI-A|=0：A的特征方程，其解为系统固有频率
时域求解
基础表达式 xˡ（t）=Ax（t）+Bf（t） y（t）=Cx（t）+Df（t）
e^At=φ（t）=L⁻¹（Φ(s)）
巧解： 因为φˡ（t）=Ae^At 所以A=φˡ（t）|t=0
离散系统
z域求解
基础表达式 Y（z）=CX （z）+DF （z）
Φ（z）
X（z）
H（z）
Y（z）
时域求解
基础表达式 x （k+1）=Ax （k）+Bf （k） y （k）=Cx （k）+Df （k）
A^k=φ（k）=Z⁻¹（Φ(z)）
巧解： 令k=1，则A=φ（1）
与连续不同
八.离散系统Z域分析
Z变换
定义
单边Z变换：F（z）=∑（0→∞）f（k）z⁻ᵏ
遇到Uk-Uk-3的问题优先换为δk计算（不然收敛域极易误判，会出现约分）
双边Z变换
收敛域
因果序列（圆外）
反因果序列（圆内）
双边序列（环状）
有限序列（全平面）
常用的Z变换
单位序列δ（k）↔1 收敛域：全平面
单位阶跃序列U（k）↔z/（z-1） 收敛域：|z|＞1
单边指数序列aᴷU（k）↔z/（z-a） 收敛域|z|＞a
单边指数左序列-aᴷU（-k-1）↔z/（z-a） 收敛域|z|＜a
注：求完导是k-1
Z变换与拉普拉斯变换的关系
z=e^（sT） T：抽样频率
几何意义：s域jω轴对应z域单位圆 |z|＞e^jω↔|z|＞1
沿s域jω轴移动，z域沿单位圆旋转
Z变换的性质
线性
位移性
应用与微分方程
若fk为因果信号 右移较为简单
尺度变化
z域微分性
积分性
折叠性（仅双边Z变换）
卷积定理
部分和
初值定理
终值定理
Z反变换
幂级数展开法
1.按照收敛域（序列类型）排列分母
因果序列：降序排列（321）
反因果序列：升序排列（123）
环状收敛域：分为因果与非因果排列
2.长除法（分子除以分母）得到z的序列
注意
因果序列：从第一项k=0（即常数，没有则为0）排列
反因果序列：第一项从k=-1排列
部分分式法
方法与s域部分分式法基本相同
1.写出F（z）/z
注意不是F（z），还要考虑到z=0的情况
2.对分母进行因式分解算出根
n个单根：利用公式一展开成部分分式
含有重根：利用公式二展开成部分分式
不要忘记3重根时要乘以系数，遇到单独存在的 f（z）/（z-a）²问题务必要用公式化简
eg：求（z²+5z）/（z+1）²的反变换 不要用性质计算，要用公式化开
3.通过收敛域（极点位置分布）判断各部分因式的类型（因果/非因果）
错题
与抽样相关的变量转换
复杂Hz的零极点判断
滤波器与抽样变量的转换
Z变换的运用
计算时必须写出收敛域
利用Z变化求解离散系统响应（差分方程）
全响应：Y（z）=Yzi（z）+Yzs（z）×F（z）
通过全响应很容易分辨出零状态和零输入的Z变换
零输入响应：令f（k）=0求解Y（z）
零状态响应：所有y（-n）为0
系统函数H（z） 收敛域！
H（z）的求法
利用差分方程计算（注意：零状态）
对h（k）Z变换
定义：H（z）=Yzi（z）/F（z）
利用流图与梅森公式
几何法
H（z）的用途
求出系统模拟图（流图）
方法与s域的系统模拟（Mason逆应用）相同
H（z）的零极点计算系统频率响应
求解零状态响应
非因果信号求解
求出差分方程
判定系统因果稳定性
稳定性
一般方法
因果系统
极点位于单位圆内：系统稳定
极点位于单位圆上：临界稳定
极点位于单位圆外：系统不稳定
非因果系统
极点位于单位圆外：系统稳定
极点位于单位圆上：系统临界稳定
极点位于单位圆内：系统不稳定
总结为：收敛域包含单位圆，则系统稳定
用朱里准则判断离散系统稳定性
朱里jury阵列
判断方法H（z）=B（z）/A（z）
A（1）＞0，（-1）ⁿA（-1）＞0
奇数行的第一个系数＞最后一个系数的绝对值
因果性
若H（z）收敛域为圆外无穷远，则系统为因果系统。 若H（z）收敛域还包括单位圆，则系统稳定
若H（z）分子项数≤分母项数，系统因果 或零点个数＞极点个数，系统非因果
求出稳定系统的正弦稳态响应
基础知识
模拟频率Ω与数字频率ω的关系
直接法
1.确保是稳定系统
2.H（e^jω）=H（z）|z=e^jωT，一般情况T=1s
3.带入输入信号f（k）的频率ω0
若f（k）中含有u（k），则当做ω=0的cosωk
4.求出正弦稳态响应y（k）
y（k）的幅值：f（k）×| H（e^jω） |
y（k）的相角：cos（ω0x+φ（ω））
图解法
七.离散系统时域分析
离散信号
离散时间信号的时间域变化
同连续（移位，数乘，反折等）
差分和累加
前向差分△
后向差分▽（类似导数）
微分方程差分化
直接差分：f（t）=f（kT）=f（k） 导数差分：yˡ(t)=[y(t+T)-y(t)]/T= [y(kT+T)-y(k)]/T= [y(k+1)-y(k)]/T
常用离散信号
单位阶跃序列Uk
定义
定义了U（0）=1
门序列Gk
Uk对k的求和=（k+1）Uk
Ut对t的变上限积分=tUt
单位序列/单位脉冲序列δk
定义
在k=0为1，其他为0
性质
取样性质：fk×δk=f0×δk
抽样性质：∑fk×δk=f0
Uk与δk的关系
δk=▽Uk
Uk=δk对k求和或δk的平移累加
其他信号
单边实指数序列
正弦序列
注意周期问题，详见第一章
离散复指数序列
x（k）的共轭对称分量：1/2［x（k）+x*（-k）］ 共轭反对称分量：1/2［x（k）-x*（-k）］
离散信号的功率与能量
信号在区间(N1，N2)的能量 E=∑(从N1到N2)|f(k)|²，若无穷无尽则令limN→∞
无穷区间的平均功率 P=lim(N→∞)∑|f(k)|²/(2N+1)
离散系统的因果与稳定
因果性
h（k）为因果序列
稳定性
h（k）为绝对可和
差分方程
定义
阶：未知序列最高与最低的差
线性常系数差分方程描绘的系统一定是LTI
构建差分方程
利用系统框图
初始状态：y（-1），y（-2）… 初始值：y（0），y（1）…
差分方程求解
初始值不会跳变
齐次解+特解（k≥0）
零输入响应zi
特点 y（-n）=yzi（-n）
连续为 0点左右初始值相同（无跳变） 离散为 所有初始值可以直接使用（因为无输入k是正是负无影响），但前提是初始值不受全响应输入影响，否则要迭代得到-k的初始值
直接带入初始条件（k≥n，n为代入的条件y（n），注意不是k≥0！）
零状态响应zs
特点 y（-n）=0
与连续相同
迭代求初值（加εk）
注意零状态响应迭代的初始状态都为0
h（k）的经典求法
由于h（k）是零状态响应下求解，所以初始值用零状态响应确定
当k＞0时，f（k）=0，此时方程按照零输入响应求解
脉冲响应和阶跃响应（加εk）
阶跃响应gk的求法
利用LTI性质
冲激响应/序列响应hk的求法
1.利用LTI性质计算
2.利用HE计算（查表）
此方法更简单
两者关系
hk=▽gk
差分算子e与传输算子HE
e可因式分解
e可交换
e不能相消
卷积和
卷积和定义 f1（k）*f2（k）=∑f1（i）f2（k-i） 注意f2不是i-k
卷积和的图形解释
当求某一点的卷积时此方法更简单
1.换元
2.反转
3.平移
4.相乘
5.相加
运算规律（交换，结合，分配律）
卷积和性质
与δk的卷积和
与Uk的卷积和
时移性
卷积和计算方法
迭代法
定义法
性质法
图解法
表格法/不进位乘法
f1左顶格，f2从右顶格写 f(k)=［1 3 4 2］表示f(0)=1，f(1)=3…
零状态响应的卷积和求法
yk=fk*hk hk为系统单位脉冲响应
错题
196/7-4：初始条件翻倍时，零状态响应也翻倍（想想响应的系数是怎么来的）
利用离散系统解题
二.连续系统时域分析
微分方程
构建微分方程
利用电路图
利用模拟图
方程构建模拟图（系统的模拟）
1.设出中间变量x
2.用x表示出f与y
3.判断方程阶数（积分器个数）
4.根据x分别写出f与y的模拟图
微分方程求解（t≥0）
自由/自然响应=方程的齐次解，由方程特征根和初始条件决定。
自由响应和零输入响应都是将激励置0计算，但是确定两者系数的值不同： 自由响应～初始条件/初始值+特解 零输入响应～初始状态
强迫响应=方程特解，由方程激励结构确定。
离散：激励aᵏUk～特解AaᵏUk（a不是特征值） 连续：同高数
特解问题
暂态响应：t→∞为0的部分。
稳态响应：t→∞依然存在的部分。
信号初始值问题
本质是ut引起跳变（而δt不会）
初始状态：x1（0-），x2（0-）… 初始值：x1（0+），x2（0+）…
零输入响应zi/yx
初始值/初始条件 y（0_）=y（0+）=y（0）
ft=0，只有齐次解（t≥0）
零状态响应zs/yf
初始状态 y（0-）=0
需要考虑跳变问题
计算齐次解+特解（加ut）
冲激响应与阶跃响应（加ut）
冲激信号和阶跃信号在零状态产生的响应
阶跃响应gt的求法
利用LTI性质
冲激响应ht的求法
1.利用LTI性质计算
将等号右边激励简化为一个ft，求出对应的ht，再利用LTI特性求解
2.利用Hp计算（查表）
1.因式分解
2.查表代值（类似s或z域）
3.微分方程直接计算
计算出初始值，带入解
将含有未知系数的C直接带入方程，平衡系数求得ht
此方法避免求初始值
ht=gˡt
错题
卷积微积分性与卷积中t与τ的变换关系
33/2-7：换路定律（换路前后电容电压与电感电流不变），如何用电路求零输入初始值
49/2-22：磁链守恒定律（电感元件的∑i（0-）=∑i（0+），电路的所有中间变量都满足特征方程吗（自然频率）
卷积
卷积定义 f1（t）*f2（t）=∫f1（τ）f2（t-τ）dτ
ft*1≠ft
卷积的图形解释
当求某一点的卷积时此方法更简单
1.换元
2.反转（令t=-τ）
3.平移（令τ=-（τ-t））
4.相乘
5.积分
运算规律（交换，结合，分配律）
卷积性质
微积分性
整体微分/积分转化为局部微分/积分
与Ut的卷积
因果信号ft对Ut卷积相当于对ft求积分，结果不要忘记乘U（t）
与δt的卷积
可用于求卷积逆问题（方程两边求导，使出现δt的卷积）；卷积化简（利用微分性得到δt）
与δˡt的卷积
时移性
卷积计算方法
定义法
性质法
图解法
零状态响应的卷积求法
yt=ft*ht ht为系统单位冲激响应
微分算子p与传输算子Hp
p可因式分解
p不能交换（乘除顺序不能随意颠倒）
先除后乘可相消
一般先在微分方程两边乘p，以消除方程存在的1/p
一.信号与系统基本概念
信号
信号分类
确定信号～随机信号
连续时间信号～离散时间信号
连续时间信号如果幅值也连续为模拟信号
周期信号
周期函数组合
离散周期组合
周期序列组合一定是周期的
f（k）=f（k+mN） m=0，±1，±2...
连续周期组合
算出各部分周期，求周期之间的最小公倍数 （或周期之比不能为无理数）
功率信号～能量信号
能量：E=∫|ft|²dt 功率：P=（∫|ft|²dt）/T
能量有限信号：E＜∞，P=0 功率有限信号：P＜∞，E=0
因果信号
t＞0时ft≠0 t＜0时ft=0
常用连续信号
单位阶跃信号εt/Ut
离散单位阶跃信号εk
连续单位阶跃信号
∫U(t-a)dt=（t-a）U(t-a)
门函数
单位冲激信号δt
定义
定义式
冲激强度
几何意义
表示突变点导数
面积为一（积分值为1）
性质
取样性质：ft×δt=f0×δt
抽样性质：∫ft×δt=f0
展缩性δ（at）=|1/a|δ（t）
偶函数
离散单位冲激信号δk
δt=Uˡt
单位冲激偶信号δˡt
几何意义
δˡt与δt的关系
性质
奇函数（积分为0）
ft×δˡt=f0×δˡt-fˡ0×δt
其他信号
单位符号信号sgn（t）
抽样信号Sa（t）
连续时间信号的时间域变化
所有变换均对t进行
反转
注意：反转是以y为轴反转
时移
展缩
倒相
图形分析与拆解
系统
系统定义
系统分类
动态系统～静态系统
动态系统：不仅与t0时刻激励有关，还与t0以前时刻的激励有关
含有记忆元件（电感电容），记忆电路（延时器）的都为动态系统
动态系统中：全响应=零状态响应zs+零输入响应zi
线性系统
同时满足齐次性与叠加性
齐次性：af→ay
叠加性：f1+f2→y1+y2
判断方法yt=T（ft）
齐次性与叠加性都是只针对激励 如：y=f+a，则在第一步中 T（k₁×f₁+k₂×f₂）=k₁×f₁+k₂×f₂+a
1.算出T（k₁×f₁t+k₂×f₂t）
若方程较为麻烦可以先判断齐次再判断叠加
2.分别算出y₁t和y₂t，两者相加
3.比较y₁t+y₂t与T（k₁×f₁t+k₂×f₂t）是否相等
时不变系统
f（t-t0）→y（t-t0）
一般f外含有时间参数t的都为时变系统
判断方法 若yt=f（-t）
1.算出延迟后激励f（t-t0） =f（-t-t0）≠f（-（t-t0））
对整体激励进行延迟，不是针对t延时，再例如： x（n）sin（2n）延迟得到x（n-m）sin（2n）
2.算出延迟后响应y（t-t0）=f［-（t-t0）］
3.两者相比
因果系统
激励是原因，响应是结果 无原因不会产生结果
输入只取决于输出过去值： 如：t＞0时的激励，响应只能在t＞0时有作用 yt在时间轴上的位置一定落后于ft（负半轴也一样）
响应只取决于激励： 例如y（n）=sin（n+2）x（n）是因果系统（与sin无关）
集总参数系统～分布参数系统
线性时不变系统的性质
齐次性
叠加性
线性
时不变性
微分性
积分性
错题
系统判定
线性也可以判断系统等效