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数学分析（上）
数学分析（上）期末复习，教材是华东师范的，内容包含实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数和微分、反常积分、定积分的应用、定积分、不定积分、微分中值定理及其应用。
编辑于2023-04-14 12:46:22 湖北省- 数学分析
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数学分析（上）
章一 实数集与函数
节一 实数
一、定义
二、性质
稠密性
阿基米德性
内容：a>b,总存在n使得nb>a
应用：忘了
节二 数集•确界原理
一、临域
二、有界集•确界原理
有界集 三个定义
啥是上界：∃M,x属于S,x≤M,M是S的上界
啥是下界:∃L,x属于L,L是x的下界
啥是有界集:∃M,|xₙ|≤M
确界原理
定义
内容：
应用
证明数集的确界
拆分题干的条件
性质
子主题
节三 函数
章二 数列极限
节一 数列极限的概念
定义
证明
节二 收敛数列的性质
一、唯一性
二、有界性
三、保号性
四、保不等式性
五、迫敛性
节三 数列极限存在的条件
章三 函数极限
节一 函数极限的概念
一、x趋向于∞时的极限
定义一
内容：f(x)定义在［a，＋∞)上，A为定数，∀ε，∃M(≥a)，x＞M时，有｜f(x)-A｜＜ε，则limf(x)=A
定义一几何意义
（与 定理3.1 类似）
二、x趋向于x₀时的极限
定义二（函数极限的ε-δ定义）
内容：f(x)在Uᵒ(x;δ')内有定义，A为定数，对任意ε，存在δ使当0＜|x-x₀|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε，则limf(x)=A
证明
应用
利用定义验证函数极限的模型
特别注意：δ的值是怎么确定的？在两个不等式之间找关系
例题提炼
三、单侧极限
定义
内容：f在Uᵒ₊(x₀,δ')有定义，A定数，任意ε＞0，存在δ(δ＜δ'）,当x₀＜x＜x₀+δ时，有|f(x)-A|＜ε，lim（x→x₀）f(x)=A或f(x)→A（x→x₀⁺）或f(x₀+0)=lim（x→x₀)f(x)
例7
节二 函数极限的性质
一、唯一性
二、局部有界性
三、局部保号性
四、局部保不等式性
五、迫敛性
节三 函数极限的存在条件
定理3.8（归结原则/海涅定理）
柯西准则
节四 两个重要极限
一、limsinx/x=1，x趋近于0
证明（有很多技巧，不记得就去看）
应用
二、lim（1+1/x）ˣ=e，x趋近于无穷（
证明
很巧妙，含有很多技巧，如果不记得了，去看
应用
变型
技巧
如果1/x前有符号，放进分母。然后锁定分母，只根据分母改动指数。利用好四则运算，特别是乘除法。
节五 无穷小量和无穷大量
一、无穷小量
定义
lim(x→x₀)f(x)=0，则称f是x→x₀时的无穷小量
注意：无穷小量必有界
性质
两个（相同类型）的无穷小量的和差积仍是无穷小量
注意：x逼近过程得一致，不能一个是x趋于零时无穷小，另一个x趋于无穷的时候无穷小
无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小
这条做题的时候用的很多
二、无穷小量阶的比较
高阶与低阶
同阶无穷小量（第一种很难用，要去找K和L；第二种用的更多，只需要c不等于0）
第一种很难用，要去找K和L；第二种用的更多，只需要c不等于0
等价无穷小量（对于做题极其重要）
定义
x趋近于x₀，limf(x)/g(x)=1，则称f(x)为g(x)的等价无穷小量，记作f(x)~g(x)(x→x₀) 这里x可以为任何值₀
定理3.12 只要记住，两个等价无穷小量在乘除时可以替换
应用
1、常用的等价无穷小量
有待补充
等价无穷小的推导待学
2、计算时应注意的问题
定理3.12只有乘除用，加减不用
有极限存在项要及时提出来
三、无穷大量
四、曲线的渐近线
定义4
其实就是p(x,y)的x趋近于无穷时，距离d趋近于0，d=|f(x)-(kx+b)|,所以d趋近于零这个意思可以用极限去表示
求渐近线
画图
要把定义的意思表达出来，用极限，x趋近于无穷时，距离趋近于零。即lim(x→∞)d=0。d=|f(x)-(kx+b)|cosα=0
结论：k=limf(x)/x,b=lim[f(x)-kx]
章四 函数的连续性
节一 连续性概念
一、函数在一点的连续性
定义1
内容：
则称f在x₀处连续
①f在x₀处有定义
②f在x₀处有极限
③极限值＝函数值
用增量的表述方式
则称f在x₀处连续
用ε-δ定义表述
若对任意ε，存在δ>0，使|x-x₀|<δ时，有|f(x)-f(x₀)|<ε，则称f在x₀处连续
定义2[左(右)连续]
定理4.1
二、间断点及其分类
定义3（间断点的判断定义）
判断：根据函数连续的定义，在①x₀处有定义②在x₀处有极限③极限值=定义值 三个条件中只要有一个不满足，x₀就是间断点
间断点的分类
第一类（左右极限都存在）
可去间断点
在x₀处有极限： 但无定义 或 在有定义但定义值≠极限值
例子：
跳跃间断点
左右极限都存在但不相等
例子：
第二类（左右极限至少有一个不存在）
震荡间断点
如sin1/x
无穷间断点
如1/x
三、区间上的连续函数
区间上的连续函数 概念
分段连续
任何初等函数在定义区间上都是连续函数
也存在在定义区间上任意点都不连续的函数，如狄利克雷函数
证明（未看）应该有些价值
节二 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质
定理4.2(局部有界性）
定理4.3(局部保号性)
定理4.4(四则运算)
定理4.5(复合函数的连续性)
二、闭区间上连续函数的基本性质
定义1(定义最大值和最小值)
定理4.6(最大、最小值定理)
内容:若函数f在 闭区间 [a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值和最小值
证明
引证(有界性定理)
证明
定理4.7(介值性定理)
内容:f在[a,b]上连续，f(a)≠f(b)，对任意μ [f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b)]，都至少存在x₀使f(x₀)=μ
推论（根的存在定理，定理4.7的等价命题，高数里也叫零点存在性定理）
若f在[a,b]上连续，f(a)•f(b)<0，则至少存在一个x₀使f(x₀)=0
应用(例题方法提炼)
例3
例4
①分类讨论，把复杂的问题分解开，先把容易得到结果的情况摘出去
②在应用介质性定理证明某些问题时，借用辅助函数（由原本要证的函数变化得到）去使用介值性定理间接得到原函数要求的结果，会更容易
三、反函数的连续性
定理4.8
证明（不是特别重要）
四、一致连续性
定义2
内容：f定义在区间I上，若对任意ε>0，存在δ=δ(ε)>0，在I上任取x′和x′′，|x′-x′′|<δ时，有|f(x′)-f(x′′)|<ε，则f在I上一致连续
应用（例题提炼）
定义的顺用
例9【证明f(x)在I上 不 一致连续－逆着定义证】
逆定义应表述为：存在ε₀>0，任意δ=δ(ε₀)>0，|x'-x''|<δ，|f(x')-f(x'')|≥ε₀
ε的存在性问题，要找ε。若不知道如何下手，可以直接靠近正确值随意取一个，比如1，再根据取得ε值去找一组g(δ)，常用的有δ和δ/2。使|x'-x''|<δ时，|f(x')-f(x'')|≥ε₀。
例10
充分性的证明里
①反证法：直接证明没有思路的时候，可以考虑反证。假设要证内容不成立，推导出和已知条件相悖的结论，得出要证成立
②函数和数列的相互转化：函数要转化成数列（来运用）就是要从函数里"捞"一个数列出来，及取值，取n组自变量和因变量作为n和An；数列转换成函数（来运用）就要证明任意性，类似归结原则。
例11
方法：要证函数不一致连续，取数列，利用例10结论
很不好懂，没有完全理解。为什么宋浩说是开区间0的问题？为什么是闭区间就可以是一致连续了？这样的话一致连续到底是什么意思？代表着什么呢？
定理4.9
内容：f在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上一致连续
证明：反证法
没懂，先放
应用
没看，先放
节三 初等函数的连续性
一、指数函数的连续性
定理4.10
证明
贼复杂，看不懂，没看了
定理4.11
二、初等函数的连续性
定理4.12
一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数
定理4.13
任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
章五 导数和微分
节一 导数的概念
一、导数的定义
1.瞬时速度
2.切线的斜率
定义1（导数的定义）
可改写成
子主题
定理5.1
若函数f在x₀处可导，则f在x₀处连续
定义2（左右导数的定义）
定理5.2
函数f在x处可导的充要条件是，左右导数存在且相等
二、导函数
导函数的定义
常用求导公式（及证明）
三、导数的几何意义
两个方程
切线方程
法线方程
极值
定义3（极值的定义）[局部概念]
定理5.3（费马定理）
稳定点（驻点）：导数为零的点。不一定是极值点。
节二 求导法则
一、导数的四则运算
二、反函数的导数
定义
常用求导公式（及证明）
三、复合函数的导数
引证（未看）
定理5.8
求导公式7就是链式法则
链式法则
证明（未看）
应用：－>洋葱法则
技巧（例题提炼）
转化成复合函数再利用复合函数求导（例8）
对数求导法（例11）
直接展开非常复杂，先取对数求导，再转化回来
四、基本求导法则与公式
待贴图
节三 参变量函数的导数
参变量(参量)方程
内容：平面曲线C一般表达形式是参变量(参量)方程
待贴图
推导（看了，不算太重要）
简化：一个公式dy/dx=dy/dt/dx/dt
光滑曲线的定义（不太重要）
待添加
应用
例1
极坐标
概念
极坐标是指在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。
应用
例2 （对数螺线）
节四 高阶导数
概念
定义1（二阶导数的定义）
阶导函数（n阶导数）
可由f 的n-1阶导函数定义f的n阶导函数
高阶导数
表示方法
运算法则
加减
乘法
莱布尼茨公式
推导
公式
节五 微分
一、微分的概念
定义1
若函数△y＝f(△x+x)-f(x)，存在常数A使△y可表示成△y=A△x₀+o(x₀)，则称f可微，A△x为f在x₀处的微分，记作dy＝A△x，dy为增量△y的线性主部
定理5.9
内容
可微〈＝〉可导
证明
必要性
充分性
几何意义
可微函数
二、微分的运算法则
运算法则
一阶微分的形式不变性
三、高阶微分
四、微分在近似运算中的应用
1.函数的近似计算
推导
结论
当x充分接近x₀时，可以用切线以直代曲
重要近似值
2.误差估计
章十一 反常积分
节一 反常积分概念（p287）
什么是反常积分？
不正常的积分，上下限为无穷或者有取不到的点
两类反常积分的定义和求解方法
1.无穷限广义积分（无穷积分）
复习概要：有哪几种？怎么求解
[a,+oo)—>[a,u]—>lim(u—>oo)存在极限，极限为解，否则发散
(-oo,b]—>[u,b]—>lim(u—>oo)存在极限，极限为解，否则发散
(-oo,+oo)—>(-oo,a]和[a,+oo)—>[u,a]和[a,u]—>lim(u—>oo)两者都存在则极限存在则有解，否则发散【a可以是任意一点】
2.瑕积分（无界函数的反常积分）
复习概要：有哪几种？怎么求解
瑕点：取不到的点，区间定为a到b
a取不到
取u无限逼近a
b取不到
取u无限逼近b
瑕点c在ab之间
取uv分别从左右逼近c，求[a,u]和[v,b]上的极限
a，b都取不到
取中间点c，取u逼近a，v逼近b，求[u,c]和[c,v]上极限
同无穷积分
3.例题
笔记p291
例题都做一遍，不会的复习方法。例3和例5
总结：解决这两种反常积分的方法都是利用极限。关键所在就是要把对积分的极限转化为对牛顿——莱布尼茨公式的极限。
节二 无穷积分的性质与敛散判别（p295）
一、无穷积分的性质
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
性质1
积分的线性关系
函数1和函数2的积分都收敛，则（k1函数1+k2函数2）的积分也收敛
性质2
f在[a,u]上可积，a<b，则a到正无穷和b到正无穷的积分同敛态
性质3
函数先取绝对值再积分>先积分再取绝对值
绝对收敛和条件收敛的定义
函数取绝对值后可积，则必可积，称绝对收敛
函数积分收敛，函数取绝对值后积分不收敛，称条件收敛
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
注意非负，函数都必须>或=0
定理11.2（比较原则）
运用难点：g(x)怎么找，要放还是要缩
例1：f(x)=积分(((sin(x))/(1+x^(2))))从0到+oo
技巧：只要有sinx就考虑绝对值，然后用利用绝对收敛的定义取得到原函数收敛
推论1
比值判别法：只需要两个函数作比，不需要先得出函数大小关系
推论2
由推论1得出
推论1中的g(x)=1/x^p，此函数敛散性已知
(1)0<=f(x)<=g(x),p>1,g(x)积分收敛,f(x)积分也收敛
(2)p<=1，g(x)积分发散，f(x)积分发散
推论3
对[b,-oo)上函数积分的比价判别也可以类似的进行
怎么进行？
例题（笔记p297）
三、一般函数无穷积分的收敛判别法
定理11.3（狄利克雷判别法）
例题（书p288）
一个单调有界，一个收敛，相乘收敛
定理11.4（阿贝尔Abel判别法）
例题：例3到例5各代表一种题型和方法（书p290）
节三 瑕积分的性质与敛散判别
定理11.5（柯西准则）
性质1（线性关系）
性质2
性质3（绝对收敛和条件收敛的定义）
定理11.6（比较原则）
推论1
推论2
推论3
定理11.7（狄利克雷判别法）
定理11.8（阿贝尔判别法）
章十 定积分的应用
节一 平面图形的面积
一、知识回顾
1.导数的意义
导数是函数在某一个点的变化率
2.微分的意义
微分dy是一个函数在某一个点的变化量
3.导数和微分的关系
dy=f'(x)·dx
二、解题思路
1.确定自变量微元和目标量微元
2.确定函数微元（建立自变量微元和目标量微元的关系）
3.将函数微元累加（即积分的过程），列出式子，确定上下限
4.注意点
定积分范围与自变量范围统一
自变量微元尤其具体的实际意义，要明确，不能忽略
三、题型
直角坐标系
参数坐标系
圆
椭圆的参数方程
摆线
极坐标系
极坐标系，r=r(θ)，求扇形面积
按照通解通法
1.自变量变为θ
2.目标量微元s=(1/2)θR²
3.积分∫₀ⁿ(1/2)R²dθ
双扭线
节二 由平行截面面积求体积
规则旋转体
沿着旋转轴切分
先确定底面积和自变量微元的函数关系，由此确定体积和自变量微元的关系
积分
不规则旋转体
题目会给出自变量和平行截面的函数关系
1.确定如何切分，确定自变量
2.确定函数微分
3.积分
节三 平面曲线的弧长和曲率
节四 旋转曲面的面积
节五 定积分在物理中的某些应用
节六 定积分的近似计算
章九 定积分
节一 定积分概念（p186）
一、问题提出
1.曲边梯形的面积
2.
二、定义
定义1
分割
模
定义2
积分和/黎曼和
定义3（可积的定义）
可积
三、
节二 牛顿-莱布尼茨公式（p190）
定理9.1（牛顿-莱布尼茨公式）
内容
证明
应该不会考，很复杂，高阶看
节三 可积条件（出选指责提的可能性更大，可以整理记忆一下）
选择题可能是“以下哪些条件下函数可积？”这种类型
一、可积的必要条件
定理9.2
内容
可积必有界
证明
假期补看
二、可积的充要条件
定理9.3（可积准则）
上和下和之差无限趋近0，可积
上和，下和，振幅（上确界和下确界的差）
三、可积函数类
定理9.4（连续必可积）
f，[a,b]，连续，则可积
注意是闭区间
定理9.5
f，[a,b]，连续，有限间断点，则可积
其实无限间断点也是可积的
定理9.6（单调必可积）
闭区间
节四 定积分的性质（p198）
一、定积分的基本性质
性质1
常数可以提到积分号前
如果k是变量，与x无关，也可以提出去
性质2
代数和的积分等于积分的代数和
性质3
f,g都在[a,b]上可积，则f·g在[a,b]上也可积
性质4
定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
性质5
如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
注意：用的时候要保证上限>下限
二、积分中值定理
定理9.7（积分第一中值定理）
若f(x)在[a,b]上连续，则存在ɛ∈[a,b]使
定理9.8（积分第一中值定理的推广形式）
节五 微积分学基本定理·定积分计算（续）（p205）
一、变限积分与原函数的存在性
变限：上下限是变量。上变：变上限积分。下变：变下限积分。
定理9.9（变上限定积分的连续性）
定理9.10（原函数存在定理）
章八 不定积分
节一 不定积分概念与基本积分公式（p161）
一、原函数和不定积分
原函数
定义1（原函数的定义）
定理8.1
连续则存在原函数
定理8.2
不定积分
定义2（不定积分的定义)
原函数的集合
几何含义
曲线组
二、基本积分表
定理8.3
运用
例1~例6
例6值得注意，分段函数的处理
节二 换元积分法与分部积分法（p166）
一、换元积分法
定理8.4（第一换元积分法）
内容
凑微分法
应用
例1~例5
例5 很巧妙，一时之间不能掌握，要多看几遍
定理8.5（第二换元积分法）
内容
代入换元法：其实就是把x变成g(t)，为了
应用
适用题型
带根号的
二、分部积分法
定理8.6（分部积分法）
内容
应用
例12
当dx前只有一个函数时，把dx中的x当作一个单独的函数去代换
例14
分部积分可以用多次，只要是越化越简单
例15
若要求的式子又出现了，符号正确可以求解，符号错误检查符号
技巧：优先级
指数函数，三角函数，幂函数，对数函数，反三角函数
指数函数与三角函数（sinx和cosx）顺序可以调换
节三 有理函数和可化为有理函数的不定积分（p175）
一、有理函数的不定积分
简单的题型（p175后的添加页）
小技巧：假分式先处理成为真分式，后面集中于真分式的处理
1.上常下2次
(1)能因式分解的
(2)不能因式分解的
2.上1次下2次
将dx凑配成和分母相等的形式，向lnx转化
3.上常下3次
拆分用待定系数法
4.上2次下3次
因式分解（为三个式子）→待定系数法or特殊值法（求出ABC）→按总结的法则进行转换
总结法则
5.看似不是有理函数的有理函数
判断：
通常带根号，先用第二换元积分法（注意dx中x也要进行替换），再按有理函数处理
复杂的题型（用课本的结论）
内容
应用
例1
1.高次多项式的因式分解方法
2.对课本结论的运用
3.巨难无比，请在需要高阶提升时反复观看、练习
例2
次题请反复观看、练习后写总结
二、三角函数有理式的不定积分
1.通过换元（用t=tan(x/2)作为基底换）将三角函数有理式变成有理式
2.最后记得回代
例4：技巧：入一留一（某值的平方or偶次方，一半拿进dx一半留在外面
三、某些无理根式的不定积分
1.t=[(ax+b)/(cx+d)]1/n
2.太复杂不容易考
章六 微分中值定理及其应用
节一 拉格朗日定理和函数的单调性
一、罗尔定理与拉格朗日定理
定理6.1（罗尔中值定理）
内容
证明
未细看
应用（证明题）
未细看细做
定理6.2（拉格朗日中值定理）
内容
与罗尔定理前两个条件一样，结论是拉格朗日公式（不记得公式了就去看）
证明
应用
例2
推论
推论一
f可导，f导数恒等于0，f为常量函数
推论二
f和g都可导，f和g导数相等，则f与g只差一个常量
推论三（导数极限定理）
内容
证明
值得一看
应用：适合分段函数的求导
例3
值得一看
证明定理6.3（单调函数的定义）
二、单调函数
定理6.3（单调函数的定义）
定理6.4（严格单调的定义）
严格单调：在(a,b)的任何子区间上，导数不恒等于0（若是在某个子区间上导数恒等于0了，在这段函数就是平的，不再是递增或递减，而严格单调是要函数一直在递增或一直在递减，不过导数可以在某一个点等于0，但仅仅只能使一个点，多一点都不行。
推论
内容：设函数在区间I上可微，若f的导数>0(<0)，则f在区间I上严格递增(严格递减)
注：若f在(a,b)上（严格）递增（减），且在点a右连续，则f在[a,b)上也是（严格）递增（减），对右端点b可类似讨论
应用：例5
有小问题，搁置
定理6.5（达布定理或导函数介值定理）
内容
证明
技巧值得一看
推论
设函数f(x)在区间I上满足导数不等于0，那么f(x)在区间I上严格单调
虽然说我真的不明白这推论有什么意义或者用处，和前面讲的也重复了吧？
节二 柯西中值定理和不定式极限
一、柯西中值定理
定理6.6（柯西中值定理）
内容
证明
先构造辅助函数F(x)，再用罗尔中值定理证明F(ξ)=0
有技巧性，一是如何构造辅助函数，二是如何想到使用罗尔定理证明，值得一看
几何意义
利用参变量方程解释，还是一个导数等于一个斜率的关系
应用
二、不定式极限
1.0/0型不定式极限
定义
例题
复习必看
2.xxx/无穷型不定式极限
定义
例题
复习必看
3.其他类型不定式极限
类型及其转换方法
例题
复习必看
例14和例15为了赶进度么有搞清楚，但是似乎有些用处，特别是例14，好像有个大盲点
4.运用技巧注意点
节三 泰勒公式（p125）
一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式（p125）
1.理解和推导泰勒公式
泰勒公式
定理6.9【f(x)=Tn+o(x-x₀)ⁿ】
初学者不用看 考研的话看一下
几种余项
佩亚诺型余项
拉格朗日余项
麦克劳林公式
泰勒公式的特殊形式：就是x₀取0的时候，泰勒公式的化形
（带有拉格朗日余项）
2.运用
常用麦克劳林公式
公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
记忆方法
边推遍背，记住原理
利用泰勒公式求极限
1.适用情况
在等量无穷小替换和直接求导都不可取的时候，可以尝试使用泰勒公式
2.注意事项
①写多项式时，要依据分母次数来确定分子多项式项数。
②代入计算时，只代入某次数以内的项，高于这个次数的项合并于其后的无穷小量，当自变量趋近于某值时，高于某次数的项就可以近似看作前一橡树的无穷小量
③无穷小量不能直接忽略，而要代入计算，最后在求极限的时候再近似等于0就可以
二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式（p128）
三、在近似计算上的应用（p130）
实际工作中运用得比较多，但是考试包括考研用到的不多，因为不好计算，不好出题
节四 函数的极值与最大（小）值（p132）
一、极值判别（p132）
定理6.11（极值的第一充分条件）
定理6.12（极值的第二充分条件）
内容
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。 当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点。
证明
运用泰勒公式证明，有小技巧，需要进阶的时候可以看
应用（例题提炼）
定理6.13（极值的第三充分条件）
用的不太多，更多的是用第二条件。而且这三个条件不是万能的，都是充分条件，不是充要条件，注释中的函数就不符合任意一个条件，但是也存在极值点
应用（例题提炼）
二、最大值与最小值（p134）
求最值的通解通法
图片待添加
主要就是练习，掌握熟练
节五 函数的凸性与拐点（p137）
一、凹凸（p137）
定义1（凹凸的定义）（p137）
几何解释
定理6.14
定理6.15
应用
例2
对定理6.14第三条的运用，有技巧性，但是是证明题，可能不太重要
例3
对原始定义的运用、反证法
延森（Jensen）不等式
内容
背记，可以再搜视频看看几何理解和典型例题
证明：例5
不太重要，不考，已跳过，但是想高阶提升可以看（B站搜视频）
应用
例6 不等式的证明
利用指对同构构造函数，变乘除为加减
Jensen不等式的应用
（三次方的）重要不等式的运用
二、拐点（p142）
定义2（拐点的定义）（p142）
定理6.16
定理6.17
注意：
1.二阶导数=0不一定是拐点，要看左右邻域二阶导数正负是否改变
2.二阶导数不存在的点也可能是拐点，如果左右邻域二阶导数正负是否改变
节六 函数图像的讨论
实际运用应该重要，期末考试要考，但是不会出太难，先跳
节七 方程的近似解
image?w=71&md5sum=89b9070d34196ae28e53079308d55e01&sign=415d2b0ca7&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3&l=webapp&bucketNum=157&ipr=%7B%22c%22%3A%22word%2Fmedia%2Fimage1.png%22%2C%22dataType%22%3A%22gif%22%2C%22h%22%3A35%2C%22t%22%3A%22img%22%2C%22w%22%3A71%7D
第四章
章四 函数的连续性
节一 连续性概念
一、函数在一点的连续性
定义1
内容：
则称f在x₀处连续
①f在x₀处有定义
②f在x₀处有极限
③极限值＝函数值
用增量的表述方式
则称f在x₀处连续
用ε-δ定义表述
若对任意ε，存在δ>0，使|x-x₀|<δ时，有|f(x)-f(x₀)|<ε，则称f在x₀处连续
定义2[左(右)连续]
定理4.1
二、间断点及其分类
定义3（间断点的判断定义）
判断：根据函数连续的定义，在①x₀处有定义②在x₀处有极限③极限值=定义值 三个条件中只要有一个不满足，x₀就是间断点
间断点的分类
第一类（左右极限都存在）
可去间断点
在x₀处有极限： 但无定义 或 在有定义但定义值≠极限值
例子：
跳跃间断点
左右极限都存在但不相等
例子：
第二类（左右极限至少有一个不存在）
震荡间断点
如sin1/x
无穷间断点
如1/x
三、区间上的连续函数
区间上的连续函数 概念
分段连续
任何初等函数在定义区间上都是连续函数
也存在在定义区间上任意点都不连续的函数，如狄利克雷函数
证明（未看）应该有些价值
节二 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质
定理4.2(局部有界性）
定理4.3(局部保号性)
定理4.4(四则运算)
定理4.5(复合函数的连续性)
二、闭区间上连续函数的基本性质
定义1(定义最大值和最小值)
定理4.6(最大、最小值定理)
内容:若函数f在 闭区间 [a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值和最小值
证明
引证(有界性定理)
证明
定理4.7(介值性定理)
内容:f在[a,b]上连续，f(a)≠f(b)，对任意μ [f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b)]，都至少存在x₀使f(x₀)=μ
推论（根的存在定理，定理4.7的等价命题，高数里也叫零点存在性定理）
若f在[a,b]上连续，f(a)•f(b)<0，则至少存在一个x₀使f(x₀)=0
应用(例题方法提炼)
例3
例4
①分类讨论，把复杂的问题分解开，先把容易得到结果的情况摘出去
②在应用介质性定理证明某些问题时，借用辅助函数（由原本要证的函数变化得到）去使用介值性定理间接得到原函数要求的结果，会更容易
三、反函数的连续性
定理4.8
证明（不是特别重要）
四、一致连续性
定义2
内容：f定义在区间I上，若对任意ε>0，存在δ=δ(ε)>0，在I上任取x'和x''，|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε，则f在I上一致连续
应用（例题提炼）
定义的顺用
例9【证明f(x)在I上 不 一致连续－逆着定义证】
逆定义应表述为：存在ε₀>0，任意δ=δ(ε₀)>0，|x'-x''|<δ，|f(x')-f(x'')|≥ε₀
ε的存在性问题，要找ε。若不知道如何下手，可以直接靠近正确值随意取一个，比如1，再根据取得ε值去找一组g(δ)，常用的有δ和δ/2。使|x'-x''|<δ时，|f(x')-f(x'')|≥ε₀。
例10
充分性的证明里
①反证法：直接证明没有思路的时候，可以考虑反证。假设要证内容不成立，推导出和已知条件相悖的结论，得出要证成立
②函数和数列的相互转化：函数要转化成数列（来运用）就是要从函数里"捞"一个数列出来，及取值，取n组自变量和因变量作为n和An；数列转换成函数（来运用）就要证明任意性，类似归结原则。
例11
方法：要证函数不一致连续，取数列，利用例10结论
很不好懂，没有完全理解。为什么宋浩说是开区间0的问题？为什么是闭区间就可以是一致连续了？这样的话一致连续到底是什么意思？代表着什么呢？
定理4.9
内容：f在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上一致连续
证明：反证法
应用
节三 初等函数的连续性
第三章
章三 函数极限
节一 函数极限的概念
一、x趋向于∞时的极限
定义一
内容：f(x)定义在［a，＋∞)上，A为定数，∀ε，∃M(≥a)，x＞M时，有｜f(x)-A｜＜ε，则limf(x)=A
定义一几何意义
（与 定理3.1 类似）
二、x趋向于x₀时的极限
定义二（函数极限的ε-δ定义）
内容：f(x)在Uᵒ(x;δ')内有定义，A为定数，对任意ε，存在δ使当0＜|x-x₀|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε，则limf(x)=A
证明
应用
利用定义验证函数极限的模型
特别注意：δ的值是怎么确定的？在两个不等式之间找关系
例题提炼
三、单侧极限
定义
内容：f在Uᵒ₊(x₀,δ')有定义，A定数，任意ε＞0，存在δ(δ＜δ'）,当x₀＜x＜x₀+δ时，有|f(x)-A|＜ε，lim（x→x₀）f(x)=A或f(x)→A（x→x₀⁺）或f(x₀+0)=lim（x→x₀)f(x)
例7
节二 函数极限的性质
唯一性
局部有界性
局部保号性
局部保不等式性
迫敛性
节三 函数极限的存在条件
定理3.8（归结原则/海涅定理）
柯西准则
节四 两个重要极限
一、limsinx/x=1，x趋近于0
证明（有很多技巧，不记得就去看）
应用
二、lim（1+1/x）ˣ=e，x趋近于无穷（
证明
很巧妙，含有很多技巧，如果不记得了，去看
应用
变型
技巧
如果1/x前有符号，放进分母。然后锁定分母，只根据分母改动指数。利用好四则运算，特别是乘除法。
节五 无穷小量和无穷大量
一、无穷小量
定义
lim(x→x₀)f(x)=0，则称f是x→x₀时的无穷小量
注意：无穷小量必有界
性质
两个（相同类型）的无穷小量的和差积仍是无穷小量
注意：x逼近过程得一致，不能一个是x趋于零时无穷小，另一个x趋于无穷的时候无穷小
无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小
这条做题的时候用的很多
二、无穷小量阶的比较
高阶与低阶
同阶无穷小量（第一种很难用，要去找K和L；第二种用的更多，只需要c不等于0）
第一种很难用，要去找K和L；第二种用的更多，只需要c不等于0
等价无穷小量（对于做题极其重要）
定义
x趋近于x₀，limf(x)/g(x)=1，则称f(x)为g(x)的等价无穷小量，记作f(x)~g(x)(x→x₀) 这里x可以为任何值₀
定理3.12 只要记住，两个等价无穷小量在乘除时可以替换
应用
1、常用的等价无穷小量
2、计算时应注意的问题
定理3.12只有乘除用，加减不用
有极限存在项要及时提出来
三、无穷大量
四、曲线的渐近线
定义4
其实就是p(x,y)的x趋近于无穷时，距离d趋近于0，d=|f(x)-(kx+b)|,所以d趋近于零这个意思可以用极限去表示
求渐近线
画图
要把定义的意思表达出来，用极限，x趋近于无穷时，距离趋近于零。即lim(x→∞)d=0。d=|f(x)-(kx+b)|cosα=0
结论：k=limf(x)/x,b=lim[f(x)-kx]