定积分(1)

如果和式的极限存在时，其极限I仅与f(x)跟【a，b】有关！ 如果积分存在时，则积分等于极限形式，且极限形式与ξ跟【a，b】分法，无关

定积分概念

• 知识点
  • 如果和式的极限存在时，其极限I仅与f(x)跟【a，b】有关！
    • 把x换成其他字母，结果不变
  • 如果积分存在时，则积分等于极限形式，且极限形式与ξ跟【a，b】分法，无关
    • 积分存在，可将【】分成n等分，长度为1/n，ξ＝i/n
• 定积分引导
  • • 矩形面积＝高x底
• 定积分定义
  • 整个面积S
  • 极限形式
    • 当λ→0，和的极限总存在，且与闭区间【a，b】的分法以及点ξ的取法无关 那么称这个极限I为函数f(x)在区间【a，b】上的定积分
• 定积分存在的充分必要条件
  • 定理
    • f(x)z【a，b】上连续，定积分必定存在
    • f(x)在【a，b】上有界，且只有有限个间断点，不定积分必定存在
    • f(x)在【a，b】上只有有限个第一类间断点，不定积分必定存在
• 定积分几何意义
  • 定积分＝图形面积
  • f(x)＜0，在坐标下方！定积分为负常数
  • f(x)可正可负，为正的减负的
  • 当由几何意义可知当a＞0时
• 题型
  • 可爱因子1/n
  • 求极限用夹逼还是定积分概念
    • • 夹逼与定积分定义终极如何选择:先用夹逼试试水，夹逼做不出在用定积分！
  • 定积分几何意义
    • 定积分几何意义是在下限小于上限基础上出现的
    • 同样也可画图
      • 画图是解定积分题很简单的方法
        • 见到f(x)，f(x)一导，f(x)二导
          • f(x)是坐标上具体的点
          • f(x)一导＜0，为极大值点(开口向下) f(x)一导＞0，为极小值点(开口向上)
          • f(x)二导＞0，图形为凹 f(x)二导＜0，图形为凸
  • 无敌综合题
    • • 知识点(1)lnx单调增！！！ (2)π/4时cosx＞sinx
    • 无敌换元加三角平方关系加无敌三角公式转化
      • • 反对幂三指了，谁在前谁做U
          • 幂:x为底 指:x在上面 对:log形式
    • 无敌代换之神秘的已有公式
      • • • 一定要好生理解
    • 分部＋几何
      • • 将分子上的x方给分开！分成俩个式子
  • 定积分的计算
  • 独特计算公式
    • • • 该题运用基本公式化成已有公式标准模式！并利用已有公式进行解答
• 积分上限的函数
  • 概念
    • 如果上限x在区间【a，b】上任意变动，那么对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值
  • 定理
    • 如果f(x)在【a，b】上连续，则积分上限函数在【a，b】上可导，且导数＝f(x)
      • 连续积分上限函数必有原函数
    • 函数f(x)在【-L，L】上连续
      • 如果f(x)为奇函数，那么积分上限函数必为偶函数
      • 如果f(x)为偶函数，那么积分上限函数必为奇函数
  • 定积分的计算
    • 牛顿－莱布尼茨公式
      • 只要连续，那么就等于f(x)在上限这点与下限这点的差。
    • 换元积分法
    • 分部积分法
    • 利用奇偶性和周期性
      • • 奇0偶2
          • • 奇偶性
              • 奇函数
                • sinx，tanx，arcsinx，arctanx，
              • 偶函数
                • x方，｜x｜，cosx，sin方x
              • 奇偶公式
                • 奇＋奇＝奇 偶＋偶＝偶 奇X奇＝偶 偶X偶＝偶 奇X偶＝奇
    • 利用已有公式
• 定积分性质
  • 不等式性质
    • 区间【a，b】f(x)＜g(x)，则f(x)不定积分≤g(x)不定积分
    • M跟m分别是f(x)在【a，b】上的最大值和最小值，则
    • 积分的绝对值不超过绝对值的积分
    • 使用情况:1积分不定式 2与定积分有关的极限问题(夹逼)
  • 中值定理
    • 若f(x)在【a，b】上连续
    • 若f(x)，g(x)在【a，b】上连续，g(x)不变号
    • 1证明题 2变上限极限