二次函数知识汇总

二次函数知识汇总的思维导图，内容有二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数，欢迎学习。

郭容旭组 二次函数

• 22.1 二次函数的图象和性质
  • 二次函数
    • 概念
      • 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数
      • • a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
        • x是自变量，y是x的函数
        • 等号的右边是一个整式——不是分式
        • 最高次项的次数是二次的，并且保证二次项系数永远不为0
      • • 若b=0
          • 则y=ax²+c
        • 若c=0
          • 则y=ax²+bx
        • 若b=c=0
          • 则y=ax²
        • 二次函数的特殊形式
  • y=ax²和y=a（x-h）²+k的图像与性质
    • y=ax²（a≠0）
      • 它是一条关于y轴左右对称的、平滑的曲线，这样的曲线叫做抛物线
      • 顶点
        • 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点
      • • |a|越大，抛物线的开口越小，图像两边越靠近y轴
        • |a|越小，抛物线的开口越大，图像两边越远离y轴
        • 理解抛物线y＝ax²与y＝－ax²的关系
          • 抛物线y＝ax²与y＝－ax²关于x轴成轴对称，关于原点成中心对称
    • y=ax²+c（a≠0）
    • y=a（x-h）²
    • y=a（x-h）²+k（a≠0）
  • y=ax²+bx+c的图像与性质(a≠0)
  • 用待定系数法求二次函数解析式
    • 方法
      • 待定系数法
    • 二次函数解析式
      • 一般式
        • y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）
        • • 已知抛物线上任意三点坐标
      • 顶点式
        • y=a（x-h）²+k（a,h,k为常数，a≠0）
          • （h,k）是抛物线的顶点
        • • 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值
      • 交点式（两点式）
        • • ，是二次函数与x轴交点的横坐标，a≠0
          • 已知抛物线与x轴的两交点坐标时
    • 步骤
      • ①设
        • 根据题意，设合适的二次函数解析式
      • ②代
        • 把相关已知条件，代入二次函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）
      • ③解
        • 解此方程或方程组，求待定系数
      • ④还原
        • 将求出的待定系数还原到解析式中
  • 二次函数的图像变换
    • 平移
      • 上加下减（括号外）
      • 左加右减（括号内）
        • 解析式化为顶点式
    • 对称
      • 关于x轴对称
        • y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²-k
      • 关于y轴对称
        • y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c
        • y=a（x-h）²+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x+h）²+k
    • 旋转
      • 绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）²-k
      • 绕顶点旋转180°（即关于顶点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-
        • y=a（x-h）²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²+k
  • 求抛物线的顶点、对称轴的方法
    • 公式法
      • y=ax²+bx+c=
        • 顶点坐标：
        • 对称轴是直线
    • 配方法
      • 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式
        • 顶点坐标（h,k）
        • 对称轴是直线x=h
    • 运用抛物线的对称性
      • 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
  • 二次函数图像与a,b,c的关系
• 22.2 二次函数与一元二次方程
  • 关系
    • 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0） ，当y取定值d时，函数转化为一元二次方程ax²+bx+c=d.
    • 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标为，当x=时，函数值为0，因此，x=就是一元二次方程的一个解
  • 利用函数图像求一元二次方程根的近似值
    • 步骤
      • 作出函数的图象，并由图象确定交点个数，即方程解的个数
      • 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围
      • 观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
    • 方法
      • 直接做出函数y=ax²+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根．
      • 先将方程变为ax²+bx=-c，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax²+bx和直线y=-c，图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
      • 先将方程变为ax²=-bx-c，再分别做出抛物线y=ax²和直线y=-bx-c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
  • 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
    • 当∆＞0时，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点为
• 22.3 实际问题与二次函数
  • • 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式
  • 基本思路
    • 审清题意，理解问题
      • 弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)
    • 设出两个变量
      • 注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确
    • 列函数表达式
      • 抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数
    • 用数学方法求解
    • 检验结果的合理性
  • 注意
    • 善于将实际问题转化为数学问题，再转化为函数问题
    • 注意自变量的取值范围，不仅保证函数解析式有意义，还要保证符合实际意义
  • 具体步骤
    • 1.自变量
    • 2.建立函数解析式
    • 3.建立自变量取值范围
    • 4.根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值或其他
    • 5.验证，写答

郭容旭组 二次函数

• 22.1 二次函数的图象和性质
  • 二次函数
    • 概念
      • 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数
      • • a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
        • x是自变量，y是x的函数
        • 等号的右边是一个整式——不是分式
        • 最高次项的次数是二次的，并且保证二次项系数永远不为0
      • • 若b=0
          • 则y=ax²+c
        • 若c=0
          • 则y=ax²+bx
        • 若b=c=0
          • 则y=ax²
        • 二次函数的特殊形式
  • y=ax²和y=a（x-h）²+k的图像与性质
    • y=ax²（a≠0）
      • 它是一条关于y轴左右对称的、平滑的曲线，这样的曲线叫做抛物线
      • 顶点
        • 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点
      • • |a|越大，抛物线的开口越小，图像两边越靠近y轴
        • |a|越小，抛物线的开口越大，图像两边越远离y轴
        • 理解抛物线y＝ax²与y＝－ax²的关系
          • 抛物线y＝ax²与y＝－ax²关于x轴成轴对称，关于原点成中心对称
    • y=ax²+c（a≠0）
    • y=a（x-h）²
    • y=a（x-h）²+k（a≠0）
  • y=ax²+bx+c的图像与性质(a≠0)
  • 用待定系数法求二次函数解析式
    • 方法
      • 待定系数法
    • 二次函数解析式
      • 一般式
        • y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）
        • • 已知抛物线上任意三点坐标
      • 顶点式
        • y=a（x-h）²+k（a,h,k为常数，a≠0）
          • （h,k）是抛物线的顶点
        • • 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值
      • 交点式（两点式）
        • • ，是二次函数与x轴交点的横坐标，a≠0
          • 已知抛物线与x轴的两交点坐标时
    • 步骤
      • ①设
        • 根据题意，设合适的二次函数解析式
      • ②代
        • 把相关已知条件，代入二次函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）
      • ③解
        • 解此方程或方程组，求待定系数
      • ④还原
        • 将求出的待定系数还原到解析式中
  • 二次函数的图像变换
    • 平移
      • 上加下减（括号外）
      • 左加右减（括号内）
        • 解析式化为顶点式
    • 对称
      • 关于x轴对称
        • y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²-k
      • 关于y轴对称
        • y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c
        • y=a（x-h）²+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x+h）²+k
    • 旋转
      • 绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）²-k
      • 绕顶点旋转180°（即关于顶点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-
        • y=a（x-h）²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²+k
  • 求抛物线的顶点、对称轴的方法
    • 公式法
      • y=ax²+bx+c=
        • 顶点坐标：
        • 对称轴是直线
    • 配方法
      • 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式
        • 顶点坐标（h,k）
        • 对称轴是直线x=h
    • 运用抛物线的对称性
      • 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
  • 二次函数图像与a,b,c的关系
• 22.2 二次函数与一元二次方程
  • 关系
    • 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0） ，当y取定值d时，函数转化为一元二次方程ax²+bx+c=d.
    • 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标为，当x=时，函数值为0，因此，x=就是一元二次方程的一个解
  • 利用函数图像求一元二次方程根的近似值
    • 步骤
      • 作出函数的图象，并由图象确定交点个数，即方程解的个数
      • 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围
      • 观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
    • 方法
      • 直接做出函数y=ax²+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根．
      • 先将方程变为ax²+bx=-c，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax²+bx和直线y=-c，图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
      • 先将方程变为ax²=-bx-c，再分别做出抛物线y=ax²和直线y=-bx-c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
  • 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
    • 当∆＞0时，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点为
• 22.3 实际问题与二次函数
  • • 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式
  • 基本思路
    • 审清题意，理解问题
      • 弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)
    • 设出两个变量
      • 注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确
    • 列函数表达式
      • 抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数
    • 用数学方法求解
    • 检验结果的合理性
  • 注意
    • 善于将实际问题转化为数学问题，再转化为函数问题
    • 注意自变量的取值范围，不仅保证函数解析式有意义，还要保证符合实际意义
  • 具体步骤
    • 1.自变量
    • 2.建立函数解析式
    • 3.建立自变量取值范围
    • 4.根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值或其他
    • 5.验证，写答