欧式平面的拓广(1)

欧式平面的拓广，如中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影。是航空摄影的投影方式。齐次坐标是在射影几何中讨论点、直线和平面所使用的基本工具，可以方便地描述无穷远点、平行线和交点等特殊情况。

欧式平面的拓广

• 中心投影与理想元素
  • 中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影。是航空摄影的投影方式。就是指空间任意直线均通过一固定点(投影中心)投射到一平面(承影面)上而形成的透视关系。其特点是每一物点所反射的光线都要通过镜头聚焦在感光胶片上；而且每一光线与底片的焦点，都是在底片上构成负像，晒印后成为正像。中心投影具有成像规律，也称透视规律。
  • 理想元素的引入理想元素或无穷远元素,它是理想点(无穷远点)与理想直线(无穷远直线)的总称。“在无穷远处有公共点的直线叫平行线”或“平行线在无穷远处相交”的说法早先见于德国天文学家、数学家开普勒的著作(1604年),后为笛沙格所采用。笛沙格在利用透视作为研究的一般方法时,不得不研究所谓空间无穷远元素的问题,他认为所有平行线都相交于所谓无限远点,即理想点;所有平行平面都相交于所谓无穷远直线,即理想直线。并将无穷远看为一个数或一个几何点;直线看成是具有无穷大半径的“圆;”平面看成为“球”等。
• 齐次坐标
  • 在欧氏三维空间中的一个三元组(x,y,z)称为齐次坐标，如果其中至少一个不为零，那么它对应的非零倍数(x',y',z')等价于(x,y,z)，即(x':y':z')=(tx:ty:tz)，其中t为任意非零实数。
  • 齐次坐标是在射影几何中讨论点、直线和平面所使用的基本工具，可以方便地描述无穷远点、平行线和交点等特殊情况。
• 对偶原理
  • 点几何
    • 两点决定一直线
    • 含点坐标的一次方程Ax₁+Bx₂+Cx₃=0表示一直线，其坐标为u₁=A，u₂=B，u₃=C。
    • 点a和点b所决定的直线，其坐标为a×b。
    • 三点a（a₁，a₂，a₃），b（b₁，b₂，b₃），c（c₁，c₂，c₃）共线的条件为Ⅰa b cⅠ=0或向量a,b,c线性相关，也就是说有不全为零的三个数λ，μ，ν存在，使λa+μb+νc=0
  • 线几何
    • 两直线决定一点
    • 含线坐标的一次方程Au₁+Bu₂+Cu₃=0表示一点，其坐标为x₁=A，x₂=B，x₃=C。
    • 直线a和直线b所决定的点，其坐标为a×b。
    • 三直线a（a₁，a₂，a₃），b（b₁，b₂，b₃），c（c₁，c₂，c₃）共点的条件为Ⅰa b cⅠ=0或向量a,b,c线性相关，也就是说有不全为零的三个数λ，μ，ν存在，使λa+μb+νc=0
• 复元素
  • 若复点x在复直线u上，则x的共轭复点，x拔也在u的共轭复线，u拔上
  • 一对共轭复点的连线是实直线
  • 一条直直线上有无穷多虚点，通过一个实点有无穷多条虚直线

欧式平面的拓广

• 中心投影与理想元素
  • 中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影。是航空摄影的投影方式。就是指空间任意直线均通过一固定点(投影中心)投射到一平面(承影面)上而形成的透视关系。其特点是每一物点所反射的光线都要通过镜头聚焦在感光胶片上；而且每一光线与底片的焦点，都是在底片上构成负像，晒印后成为正像。中心投影具有成像规律，也称透视规律。
  • 理想元素的引入理想元素或无穷远元素,它是理想点(无穷远点)与理想直线(无穷远直线)的总称。“在无穷远处有公共点的直线叫平行线”或“平行线在无穷远处相交”的说法早先见于德国天文学家、数学家开普勒的著作(1604年),后为笛沙格所采用。笛沙格在利用透视作为研究的一般方法时,不得不研究所谓空间无穷远元素的问题,他认为所有平行线都相交于所谓无限远点,即理想点;所有平行平面都相交于所谓无穷远直线,即理想直线。并将无穷远看为一个数或一个几何点;直线看成是具有无穷大半径的“圆;”平面看成为“球”等。
• 齐次坐标
  • 在欧氏三维空间中的一个三元组(x,y,z)称为齐次坐标，如果其中至少一个不为零，那么它对应的非零倍数(x',y',z')等价于(x,y,z)，即(x':y':z')=(tx:ty:tz)，其中t为任意非零实数。
  • 齐次坐标是在射影几何中讨论点、直线和平面所使用的基本工具，可以方便地描述无穷远点、平行线和交点等特殊情况。
• 对偶原理
  • 点几何
    • 两点决定一直线
    • 含点坐标的一次方程Ax₁+Bx₂+Cx₃=0表示一直线，其坐标为u₁=A，u₂=B，u₃=C。
    • 点a和点b所决定的直线，其坐标为a×b。
    • 三点a（a₁，a₂，a₃），b（b₁，b₂，b₃），c（c₁，c₂，c₃）共线的条件为Ⅰa b cⅠ=0或向量a,b,c线性相关，也就是说有不全为零的三个数λ，μ，ν存在，使λa+μb+νc=0
  • 线几何
    • 两直线决定一点
    • 含线坐标的一次方程Au₁+Bu₂+Cu₃=0表示一点，其坐标为x₁=A，x₂=B，x₃=C。
    • 直线a和直线b所决定的点，其坐标为a×b。
    • 三直线a（a₁，a₂，a₃），b（b₁，b₂，b₃），c（c₁，c₂，c₃）共点的条件为Ⅰa b cⅠ=0或向量a,b,c线性相关，也就是说有不全为零的三个数λ，μ，ν存在，使λa+μb+νc=0
• 复元素
  • 若复点x在复直线u上，则x的共轭复点，x拔也在u的共轭复线，u拔上
  • 一对共轭复点的连线是实直线
  • 一条直直线上有无穷多虚点，通过一个实点有无穷多条虚直线