泛函分析

泛函分析，分享了空间理论--度量空间、空间理论--线性赋范空间 内积空间、算子理论的知识，未完成版未修正版。

泛函分析

• 空间理论：度量空间
  • 度量
    • 度量定义
      • 非负性
      • 对称性
      • 三角不等式
    • 对比范数定义
      • 非负性
      • 齐次性
      • 三角不等式
        • 平行四边形法则
          • ？什么范数满足平行四边形法则？
    • 范数可以诱导出度量
  • 收敛——依据度量
    • 柯西列
    • 完备性
      • 定义
        • 所有的柯西列均收敛
      • 完备的例子
        • F and F^n
        • C[a,b]
        • l^ifinity
      • 不完备的例子
        • P[a,b](和C[a,b]的差别主要是度量不一样
        • 同一个空间可能对某一度量不完备而对另外一个度量完备
      • 其他刻画
        • X完备当且仅当X的闭区间套有非空交集
        • baire纲定理
          • 定义：任何非空完备度量空间都是第二纲集
            • 第一纲集：可以被表示成可数个无处稠密集的并
            • 第二纲集：不是第一纲集的集合
          • lemma：完备空间内所有稠密开集的交非空
    • 闭性
      • X，A in X，A完备可推出A闭，但A闭集要推出A完备需要X也完备
    • 其他收敛
      • 弱收敛
        • 对内积
      • 强收敛
        • 对范数
  • 可分性
    • 定义
      • 存在子集D在X中稠密，i.e.D的闭包=X
    • 可分空间的例子
      • C[a,b]
      • D(countable)
    • 不可分空间的例子
      • l^ifinty
  • 紧性
    • 定义
      • 其内的任何序列都有收敛子列
    • 性质
      • 紧性可推完备性，但完备性不能推紧性
      • X，A in X，A紧可以推出A有界闭，但A闭要推出A紧需要X也紧
    • 相对紧
      • 其闭包为紧集
      • Arzela-Ascoli定理
        • C[X](X完备)的子集相对紧当且仅当其内元素均是一致有界和一致连续的
  • 连续
    • 一致连续
      • 定义：泛函的连续与选取的变量无关
    • 紧集上连续一定一致连续
  • 不动点定理
    • 压缩映射
      • 定义
        • d(Tx,Ty)<=cd(x,y) c非负小于1
    • 不动点
      • Tx=x
    • 不动点定理
      • 完备度量空间内的压缩映射有唯一不动点
• 空间理论：线性赋范空间、内积空间
  • 范数
    • 定义
      • 非负性
      • 齐次性
        • ||αx||=|α| ||x||
      • 三角不等式
    • 可诱导出度量
    • 范数等价
      • k1
  • Banach空间
    • 完备的线性赋范空间
      • Banach定理：线性赋范空间完备当且仅当所有绝对收敛的序列收敛
• 算子理论
  • 连续映射
    • 定义
    • 性质
      • 把开集映成开集，把闭集映成闭集
  • 子主题