数理逻辑

数理逻辑的思维导图，简单命题：不能被分解成更简单的命题.（如 3>2 ）；复杂命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题（因为3>2,所以9>2.）。

数理逻辑

• 命题逻辑的基本概念
  • 命题：陈述句+只有真/假
    • 简单命题：不能被分解成更简单的命题.（如 3>2 ）
    • 复杂命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题（因为3>2,所以9>2.）
  • 联结词：运算顺序：() ¬, 合取, 析取, →(蕴涵),<->（等价）
  • 等价表述：
    • p当且仅当q
    • 若 p 则 q, 反之亦然.
  • 蕴涵表述
    • 若p则q，p仅当q，只要p就q p → q
    • 只有q才p，除非q才p，除非q，否则非p p → q
  • 命题公式及其赋值
    • 命题常项：真值确定的
    • 命题变项：真值不确定
    • 集合论
    • 含n个命题变项的公式共有2^n个不同的赋值
    • 真值表
    • 公式类别：
      • 永真式/重言式：全1
      • 永假式/矛盾式：全0
      • 可满足式：有1
• 命题逻辑的等值演算
  • 基本等值式：（可以用文氏图判断）
    • 蕴涵等值式 A®BÛ¬AÚB
    • 等价等值式 A«BÛ(A®B)Ù(B®A)
    • 假言易位
    • 等价否定
  • 等值演算法（只能证明两个式子等值，不能证明不等值）一般先去掉蕴涵联结词
  • 范式（哑元！！）（按照pqr顺序出现）
    • 析取范式 ：（主析取范式）极小项 成真
    • 合取范式 ：（主合取范式）极大项 成假
    • 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式,并且是惟一的.
• 命题逻辑的推理理论
  • 推理正确/有效：p→q为1
  • 判断是否为重言式的方法/推理正确
    • 真值表法
    • 等值演算法
    • 主析取范式法
    • 1. 前提：A1, A2, … , Ak 2. 结论：B 3.判断(A1ÙA2Ù…ÙAk)→B为1
  • 推理定律
    • 置换原则（把析取换成蕴涵箭头）
    • 拒取式（否定后件，得到前件的否定）
    • 假言推理（条件成立，所以结论成立）
    • 析取三段论（否定一部分得到另一部分肯定）
    • 假言三段论（传递性）
    • 合取引入（合取）
    • 化简（把一个单独拿出来当条件）
  • 自然推理系统 （前提引入，附加前提引入，①②析取三段论，所以...是有效结论）
    • 直接证明法
    • 附加前提证明法（把结论里的前件作为附加前提引入，最后证明出后件）
    • 归谬法（结论的否定式作为附加前提引入，从而推出矛盾式）