控制系统的数学模型

控制系统的数学模型介绍及求取，具体内容有物理模型（电路模型和机械模型）、线性微分方程、结构框图（信号流图）、求传递函数。

控制系统的数学模型

• 物理模型（电路模型和机械模型）
  • 机械模型
  • 电路模型
    • 无源网络：只有耗电的元件
    • 有源网络：有接入电源
    • 理想运算放大器：工作在线性区—解题关键
      • 虚短
      • 虚断
• 线性微分方程
  • 通过对物理模型的分析构建而成（构建系统微分方程）
    • 机械模型的分析
      • 有质量的物体：对物体运用牛顿第二定理
      • 都是模型结构（无质量的质点）：🐮二和二力平衡都可以分析
      • 步骤：
        • 根据牛顿第二定理和二力平衡列写输入与输出相关的线性常系数微分方程
        • 若引入了中间变量，消除方法不只有在实数域，复数域也可以（即拉式变换之后）
      • 注意：弹簧系统和阻尼器系统的变量都是相对量（它们两个的力都是双向的），合理引入中间变量；由于我们所分析的机械模型为线性常系数微分方程，不能存在常数（mg），故若分析了重力在有关力的方程，得假设存一段初始位移抵消了重力。
    • 电路模型的分析：
      • 无源网络（电阻，电感，电容）
        • 运用kcl或者kvl构建输入输出方程
        • 消除中间变量（比较麻烦）
      • 有源网络（理想运算放大器）
        • 通过输入节点的电流流向进行解题（得合理利用虚短和虚断，特殊情况下还有虚地）
        • 化解中间变量
  • 构建系统微分方程后，就可以进行拉氏变换求出系统的传递函数（传递函数默认在零初始条件下）
    • 补充：针对电路模型还可以利用阻抗法求传递函数
      • 这里分析方法比较多， 简单的可以根据电流电压的关系直接消去中间变量； 复杂的通过输出往输入分析的方式来合理引入中间变量
    • 电阻的阻抗：R
    • 电感的阻抗：Ls
    • 电容的阻抗：1/Cs
• 结构框图（信号流图）
  • 结构框图
    • 绘制方法：分析物理系统，从输出向输入列写各环节的微分方程（该分析思路也适用于电路模型的微分方程构建），然后从输入向输出绘制结构框图
    • 等效变换：
      • • 开环是指的闭环传递函数的开环
    • 等效化简：
      • 方法一：移动分支点
      • 方法二：移动比较点
      • 方法三：交换分支点和比较点（非必须的情况不可以使用）
    • 等效检验：为了保证输入输出信号等效前后不发生改变
      • 方法一：代数方程：列写等效前后输入与输出信号的差别，在移动的位置补充相应差异（缺少或者增多）环节 尤其注意第三种移动方式，小心反馈的正负号
      • 方法二：观察信号流向（适用于框图比较简单的情况）
    • 不断化简写出传递函数
  • 信号流图
    • 框图转化为信号流图注意事项：
      • 可以在框图各个结点进行编号，方便检查是否遗漏了什么结点
      • 比较点和分支点可以合并的原则是：比较点在分支点之前
    • 用mason公式求取传递函数
      • 步骤
        • 1.找出前向通路Pi
        • 2.找出与前向通路Pi为接触的回路，改写特征式（即把与前向通路Pi所接触的任何回路都给删去）
        • 3.找出所有回路（注意有没有互不接触的回路，不要漏）
        • 4.写出特征式
        • 5.套公式
      • 注意事项：用mason公式进行求取传递函数容易漏了（or增加）前向通路或者回路，务必小心
        • 情况1.漏了顺馈产生的回路
        • 情况2.分支点在比较点之前构不成回路
        • 情况3.小回路有重合
• 求传递函数
  • 首一标准型：
    • • 容易看出零极点
  • 尾一标准型
  • 求传递函数
    • 输出信号与输入信号的传递函数C（s）/R（s）
      • 1.微分方程法
      • 2.框图化简
      • 3.信号流图（mason公式）
    • 偏差信号与输入信号的传递函数
      • 1.列写代数方程，消去中间变量
      • 2.框图化简
      • 3.利用C（s）/R（s）进行等效代换
  • 针对开环传递函数的基本环节

控制系统的数学模型

• 物理模型（电路模型和机械模型）
  • 机械模型
  • 电路模型
    • 无源网络：只有耗电的元件
    • 有源网络：有接入电源
    • 理想运算放大器：工作在线性区—解题关键
      • 虚短
      • 虚断
• 线性微分方程
  • 通过对物理模型的分析构建而成（构建系统微分方程）
    • 机械模型的分析
      • 有质量的物体：对物体运用牛顿第二定理
      • 都是模型结构（无质量的质点）：🐮二和二力平衡都可以分析
      • 步骤：
        • 根据牛顿第二定理和二力平衡列写输入与输出相关的线性常系数微分方程
        • 若引入了中间变量，消除方法不只有在实数域，复数域也可以（即拉式变换之后）
      • 注意：弹簧系统和阻尼器系统的变量都是相对量（它们两个的力都是双向的），合理引入中间变量；由于我们所分析的机械模型为线性常系数微分方程，不能存在常数（mg），故若分析了重力在有关力的方程，得假设存一段初始位移抵消了重力。
    • 电路模型的分析：
      • 无源网络（电阻，电感，电容）
        • 运用kcl或者kvl构建输入输出方程
        • 消除中间变量（比较麻烦）
      • 有源网络（理想运算放大器）
        • 通过输入节点的电流流向进行解题（得合理利用虚短和虚断，特殊情况下还有虚地）
        • 化解中间变量
  • 构建系统微分方程后，就可以进行拉氏变换求出系统的传递函数（传递函数默认在零初始条件下）
    • 补充：针对电路模型还可以利用阻抗法求传递函数
      • 这里分析方法比较多， 简单的可以根据电流电压的关系直接消去中间变量； 复杂的通过输出往输入分析的方式来合理引入中间变量
    • 电阻的阻抗：R
    • 电感的阻抗：Ls
    • 电容的阻抗：1/Cs
• 结构框图（信号流图）
  • 结构框图
    • 绘制方法：分析物理系统，从输出向输入列写各环节的微分方程（该分析思路也适用于电路模型的微分方程构建），然后从输入向输出绘制结构框图
    • 等效变换：
      • • 开环是指的闭环传递函数的开环
    • 等效化简：
      • 方法一：移动分支点
      • 方法二：移动比较点
      • 方法三：交换分支点和比较点（非必须的情况不可以使用）
    • 等效检验：为了保证输入输出信号等效前后不发生改变
      • 方法一：代数方程：列写等效前后输入与输出信号的差别，在移动的位置补充相应差异（缺少或者增多）环节 尤其注意第三种移动方式，小心反馈的正负号
      • 方法二：观察信号流向（适用于框图比较简单的情况）
    • 不断化简写出传递函数
  • 信号流图
    • 框图转化为信号流图注意事项：
      • 可以在框图各个结点进行编号，方便检查是否遗漏了什么结点
      • 比较点和分支点可以合并的原则是：比较点在分支点之前
    • 用mason公式求取传递函数
      • 步骤
        • 1.找出前向通路Pi
        • 2.找出与前向通路Pi为接触的回路，改写特征式（即把与前向通路Pi所接触的任何回路都给删去）
        • 3.找出所有回路（注意有没有互不接触的回路，不要漏）
        • 4.写出特征式
        • 5.套公式
      • 注意事项：用mason公式进行求取传递函数容易漏了（or增加）前向通路或者回路，务必小心
        • 情况1.漏了顺馈产生的回路
        • 情况2.分支点在比较点之前构不成回路
        • 情况3.小回路有重合
• 求传递函数
  • 首一标准型：
    • • 容易看出零极点
  • 尾一标准型
  • 求传递函数
    • 输出信号与输入信号的传递函数C（s）/R（s）
      • 1.微分方程法
      • 2.框图化简
      • 3.信号流图（mason公式）
    • 偏差信号与输入信号的传递函数
      • 1.列写代数方程，消去中间变量
      • 2.框图化简
      • 3.利用C（s）/R（s）进行等效代换
  • 针对开环传递函数的基本环节