（线代）线性代数 第01章 行列式

（线代）线性代数 第01章 行列式的思维导图，行列式主要考点有数字型行列式计算、抽象性(矩阵)行列式计算等。

《线性代数》 第01章 行列式

• 1.1 行列式的基本概念
  • 1. 行列式的由来与目的--克拉默法则
    • 定义
    • 重要结论
    • 计算方法
    • eg1
  • 2. n阶排列
  • 3. 逆序/逆序数
    • 定义
      • 一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。记τ( j1j2…jn)； 排列的逆序总数，称为这个排列的逆序数。
  • 4. 奇/偶排列
    • 定义
      • 如果一个排列的逆序数是偶数，则称偶排列；反之奇排列。
  • eg2
  • 5. n阶行列式
    • 定义
  • 6. 迹
    • 定义
      • 一个矩阵的主对角元素之和。
• 1.2 行列式的性质
  • 转置Aᵀ
    • 定义
      • 经转置行列式值不变
        • eg2
  • 换位
    • 定义
      • 两行/列互换位置，行列式值变号。
    • 重要结论
      • 个人总结： 偶数个行/列 与 奇数个行/列 换位→不变号； 奇数个行/列 与 奇数个行/列 换位→变号； 偶数个行/列 与 偶数个行/列 换位→不变号。
        • 例G1.1
  • 提因
    • 定义
      • 某行/列如有公因子k，可把k提出行列式号外。
        • 注意：每一行所提出的要乘在一起！
    • 重要结论
      • 某行/列元素全0，行列式值为0。
      • 某行/列元素对应成比例，行列式值为0。
        • eg1方法一 例J1.1
  • 拆
    • 定义
      • 如果某行/列为两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。
        • eg1方法二
    • 重要结论
      • • 例J1.2方法二 1.3
  • 倍加
    • 定义
      • 把某行/列的k倍加到另一行/列， 行列式值不变。
• 1.3 行列式的计算
  • 1.3.1 完全展开公式法 /n阶行列式定义法
    • 定义
  • 1.3.1 对角线法 (仅仅适用于二/三阶行列式)
    • 定义
      • • 由完全展开公式提炼而成。
  • 1.3.2 展开公式法 (四阶及以上必用，否则必错)
    • 1. 基本概念
      • (1)余子式(Mij)
        • 定义
          • 去除aij所在的i行jj列元素，剩下元素位置不变的重排一个行列式，称为aij的代数余子式；记Mij。
      • (2)代数余子式(Aij)
        • 定义
      • (3)按行/列展开公式
        • n阶行列式等于它的任何一行/列元素(Mij)的代数余子式(Aij)乘积之和。
      • 例J1.4(1)
    • 2. 重要结论
      • 如果在行列式中的 第i行或者第i列中(任选其一)，除了aij外都为零，那么这个行列式 D=aij*Aij
        • 插入概要
      • 行列式的任意一行/列的元素 与 另一行/列元素的 代数余子式(Aij) 的乘积和为0。
  • 1.3.3 特殊的行列式 (方便求取结果)
    • 1. 主对角线上/下三角型行列式
      • 定义
        • 主对角线以上或下的元素都为0的行列式。
          • 例J1.5(1)
      • 计算方法
        • 行列式值=主对角线乘积。
    • 2. 副对角线上/下三角型行列式
      • 定义
        • 副对角线以上或下的元素都为0的行列式。
      • 计算方法
      • 略
    • 3. 特殊拉普拉斯展开式
      • 计算方法
      • 例J1.4(2) 例G1.1 真1996-2.5
    • 4. 范德蒙行列式
      • 计算方法
      • 例J1.5(2)
    • 5. 爪型行列式
      • 不看主对角线其他都相同
        • 对称矩阵是不看主对角线其他元素对称相等，注意区别。
      • 计算方法
        • 爪形处理
          • 三角化法： 一般是，第一行加至其他行后，凑主对角线三角行列式。 -(1H)加至234H → 234L特殊倍数后加至1L。
        • 加边法-01加边法
      • 例J1.6 例G1.5
    • 6. 含参的行列式 /特征值行列式
      • 行列式含有参数的(特殊型)
      • 计算方法
        • 3+1法
          • 三行加至一行
      • 例G 1.17 1.18
  • 1.3.4 矩阵的行列式 /抽象的行列式
    • 详见“2.22矩阵的行列式”
• 总结(行列式)
  • 主要考点
    • 1. 数字型行列式计算
      • 常规类
        • 行列式性质法： 简单运用行列式性质和特殊行列式进行化简计算。
        • 例G1.1 1.3 1.5 1.6 1.8
      • 证明类
    • 2. 抽象性(矩阵)行列式计算
      • |A+B|类
        • 常规化简法： 普通化简即可解决
          • 例J 例G1.10 1.11 真
        • 乘E法： E = A⁻¹A = B⁻¹B
          • 例G1.12
      • 相似类
        • 例G1.13
    • 3. 反求行列式参数 /特征多项式
      • 详见“含参的行列式”
    • 4. 判断|A|是否为0
    • 5. 克拉默法则
  • 重点易错点
    • 行列式是一个数； 矩阵是一组方程。
    • 行列式性质不要与矩阵性质弄混。
    • 注意区分 对角线行列式，上下三角形行列式和副对角线行列式区别
    • 关于行/列变换
      • 只能行变换的
      • 只能列变换的
      • 行列变换都可以的
        • 求det值
  • 计算方法汇总
    • 技巧算法汇总
      • 拆开法
        • 例J1.6
      • 逐行/列相加法
        • 例G1.3
      • 加边法
        • 加边法-01加边法
          • 道理与爪形处理几乎相同，唯一好处是不需要用分数，计算相对详见抓行行列式
        • 加边法-未知数加边法
    • 特殊的行列式
      • 详见“特殊的行列式”
    • 非特殊行列式
      • 尽可能化为特殊的行列式； 不行在直接展开。
      • 尽可能多化出零，使用展开式重要结论；一般不直接实用展开公式，繁琐。
  • 其他补充
    • 一个数等于自己的相反数，该数为0。
• 浮动主题