圆锥曲线

高中【圆锥曲线】双曲线知识，其第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。第三定义：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

【圆锥曲线】椭圆

• 定义
  • 第一定义：平面内到两个定点距离之和相等的点集
  • 第二定义：平面内到一定点距离与一定线距离之比为定值的点集
  • 注意
    • 第一定义中两个定点为两个焦点
    • 第二定义中定点可以是任一焦点，定线是准线
    • 准线方程：
    • 第二定义中的比值为离心率，离心率
    • 点焦距：
• 弦
  • 弦长公式：
  • 弦的斜率：
  • 通径长度：
• 标准方程
  • 通分式（用于联立）
  • 字母意义
    • a：半长轴
    • b：半短轴
    • c：半焦距
    • 三者关系：
• 极坐标
  • 以一点为原点，取一点与原点的距离为ρ，取这个点与原点的连线和x轴正方向的夹角θ，那么这个点就表示为（ρ，θ）
  • 坐标系横纵坐标与极坐标关系：
  • 椭圆的极坐标表示
    • 以一个焦点为原点
  • p为极半径，即为通径的一半
• 焦点三角形（θ为焦半径夹角）
  • P为短轴端点时θ最大
  • 焦点三角形周长为：2(a+c)
  • 涉及焦半径时常用：
• 性质
  • 性质一
    • 椭圆上一点与椭圆左右顶点连线的斜率之积为定值
  • 中点弦定理
    • 椭圆中的一条弦，他的中点和原点的连线和他本身的斜率之积为定值
  • 切线与切点弦
    • 过点P(x0,y0)（P在椭圆上）的切线方程：
    • 切点弦
      • 定义：过椭圆外一点P(x0,y0)引椭圆的两条切线，切点为AB，那么弦AB就是椭圆的切点弦
      • 切点弦方程：
  • 光学性质
    • 物理表述：从椭圆镜面的一个焦点射出一条光线，经过一次反射后，光线必然经过椭圆的另一个焦点
    • 数学表述：过椭圆上一点P作过这一点的切线的垂线，这条垂线平分P点关于两个焦点的张角

【圆锥曲线】双曲线

• 定义
  • 第一定义：到两焦点距离之差为定值的点的集合
  • 第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线
  • 第三定义：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
  • 标准方程
• 弦
  • 弦长公式：
  • 弦的斜率：
  • 通径长度：
• 参数
  • 左右顶点坐标(-a,0)(a,0)
  • 焦点坐标（-c,0)(c,0)
  • 离心率：
  • a:实半轴长 b:虚半轴长
• 性质
  • 渐近线方程（焦点在x轴上）：
  • 渐近线方程（焦点在y轴上）：
  • 渐近线相同（或离心率相同）：
  • 准线方程：
  • 焦半径长度：
  • 通径长度：
• 焦点三角形（θ为焦半径夹角）
• 特殊双曲线
  • 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线
  • 共轭双曲线：如果一条双曲线的实轴和虚轴是另一条虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线
    • 渐近线相同
    • 四个焦点共圆
    • 离心率倒数平方和等于一
• 主题