必修一第一章第一节

高中数学一轮复习思维导图，分享了集合的概念与运算的基础知识、题型总结、解题方法，有兴趣的可以看看哟。

集合

• 集合的概念与运算
  • 基础知识
    • 集合的基本定义和表示方法
      • 1.集合的三大特性
        • ①确定性
        • ②互异性
        • ③无序性
      • 2.集合的表达方式(属于)
        • ①属于:∈
        • ②不属于:∉
      • 3.常用集合
        • ①实数集:R
          • ②有理数集:Q(只要一个数能表示为分式)
            • ④整数集:Z
              • ⑥正整数集N+或N*⃣️
              • ⑦:N(自然数集)(包含0)
            • ⑤纯分数
          • ③:无理数集
      • 4.集合的三种表示方式
        • ①列举法:{1，2，3，4}
        • ②描述法(左边是元素，右边是元素所应满足的共同特征)
          • 例如:x＜5
            • {x/x＜5，x∈R}
        • ③区间法(最常用，配合数轴理解)
          • 例如x＜5，画完数轴表示为: (-∞，5)
      • 5.区间符号
        • ①开区间:( )
        • ②闭区间:[ ]
    • 集合之间关系
      • 1.子集:⊆或⊂(属于)
        • 例如:A⊆B(集合A中的元素集合B中都有，称之为A是B的子集)
      • 2.真子集:⫋
        • • 例如:若A⊆B，且存在x∈B，且x∉A，称为A是B的真子集
      • 3.空集:∅
        • • 注意:∅是任何集合的子集
      • 4.交集:∩
      • 5.并集:∪
      • 6:补集CuA(集合A在集合U中的补集)
      • 7.集合个数
        • ①子集个数:一个集合中有多少元素，那么他的子集共有2的n次幂个
        • ②非空子集个数为:2的n次幂-1个
        • ③真子集(除了集合本身以外的子集):个数为2的n次幂-1个
        • ④非空真子集个数为:2的n次幂-2个
  • 题型总结
    • 1.集合的并集运算
    • 2.根据集合的子集个数求参数
    • 3 .判断两个集合的关系
    • 4.集合的新定义
    • 5.Venn图的应用
    • 6.根据集合的交集(等)结果求参数
    • 7.一单方向不等式于两头闭合不等式的并集运算(特殊题型针对本人)
    • 8.根据集合间的关系求集合的个数
    • 9.坐标形式，内容为方程的两个集合的交并补运算的子集/真子集/非空子集/非空真子集个数
    • 10，集合的补集运算(题型较为特殊:集合为x{x/x＝一个带参数的式子，参数∈R)
    • 11.根据集合交集的结果求参数的取值范围
      • 已知集合A＝{x/-1＜x≤4}，B＝{x/(x-2a)(x-a²-1)＜0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为
  • 解题方法
    • 1.解不等式时，例如解lnx≤1时可以同时给两边取e底 ②必须注意定义域，例如lnx的x必须＞0
    • 2.若集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2的n次幂个
    • 3.真子集:存在M⊆M，但存在x∈M，且x∉N，则称集合N是集合M的真子集，记作N⫋M
    • 4.充分了解新定义的含义进行解答
    • 5.根据题目描述画出Venn图标上人数(或者其他变量)，具体观察问题后做答
    • 6.两个集合的不等式，一个不等式全部信息已知，另一个集合的不等式带有参数，将带有参数的不等式的两个解(通常两个解)求出来，此时讨论两个解的大小 ①X1＝X2 ②X1＞X2 ③X1＜X2 三种情况分别求出参数值分别带回原不等式，三种情况分别按题目要求与已知集合进行交并补运算，符合题意留下，不符合舍去 ②带入选项于含有参数的不等式中进行排除
    • 7.画数轴完成解答 ②待完成(问老师)
    • 8.已知两个集合并根据题目要求写出满足题目要求的集合，最后观察数量
    • 9.联立两个方程＝取∩(交集) ②子集/真子集/非空子集/非空真子集个数公式在上方，这里不再赘述
    • 10.转化集合所表达的意思
      • 例如:整理式子后得到: x＝(2n+1)×¼ :集合表示的是¼的奇数倍
      • 例如:整理式子后得到: x＝¼×n :表示的是¼的整数倍
      • 例如:整理式子后得到: x＝¼×2n :表示的是¼的偶数倍
    • 11.易错警示:忽略对空集的讨论而致误 当两个集合的交集为空集时，需考虑其中含参数的集合是否为空集，本题求解的易错之处在于忽略a²+1＝2a，即B＝∅的情况
      • 本题中解出含有参数的不等式方程，并根据函数类型判断出为二次函数，紧接着需要比较两根谁大谁小，利用错差法比较两根大小后发现X2-X1≥0，也就是说除了X2＞X1的情况，还有X2-X1＝(a-1)²＝0的情况
        • ①a＝1时，(a-1)²＝0，所以X1＝X2，二次函数图像仅与X轴有一个交点，由于要求解B集合＜0的部分 而此时发现没有＜0的部分，所以不等式无解，也就代表着B＝∅，所以A∩B＝∅，符合题意
        • ②a≠1时，X2-X1＞0，所以X1＜X2，也就是2a＜a²+1，又因为要求B集合的小于0的部分，所以2a＜x＜a²+1，所以此时{B/2a＜x＜a+1}，所以此时开始取A∩B，画数轴，由于A已知，B含有参数，因此B在A集合的左侧和右侧时情况不同，因此分类讨论
          • ①当B集合在A集合的左侧时，由于a²+1一定大于-1，所以B集合不可能出现在A集合的左侧，因此不成立
          • ②当B集合在A集合的右侧时，先假设2a＝4，所以B={x/4＜x＜5}，此时满足A∩B＝∅，所以4≤2a成立
        • ③综上所述，a＝1与a≥2符合题意，所以实数a的取值范围为{a/a＝1或a≥2}
• 集合的逻辑用语