导图社区 逻辑学导论（陈波）
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逻辑学导论（陈波）
已自学完：一阶逻辑和非形式逻辑，逻辑学是关于推理和论证的科学（研究推理的学科）， 这个导图是我的工具库之一，为我所用
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- 逻辑学
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逻辑学导论（陈波）形式逻辑为主
第一章 逻辑是关于推理和论证的科学
第一节 “逻辑”的词源和词义
一、“逻辑”的古希腊词源
最早追溯到希腊词“逻各斯”英语logos
多义词，主要含义
一般的规律、原理、和规则
言语、命题、说明、解释和论证
理性、推理、推理能力、与经验相对的抽象理论以及与直觉相对的有条理的推理
尺度、关系、比例和比率等
二、逻辑学的历史与现状
古希腊的形式逻辑代表（主流）
亚里士多德的词项逻辑
三段论为主
斯多亚派的命题逻辑
围绕“蕴含”把命题分为原子命题和复合命题，给出四个元逻辑规则并用其证明许多定理
有中断，没有进入主流
中国先秦时期的名辩学
墨家逻辑学成就最高
古印度逻辑
因明指推理的学问，佛家逻辑
现状
基本逻辑
经典逻辑和非经典逻辑（形式逻辑和非形式逻辑）
元逻辑和归纳逻辑
应用逻辑
广义逻辑
与各学科的交叉
三、逻辑学的对象:推理和论证
什么是逻辑学？
是关于推理和论证的科学（研究推理的学科）
主要任务
提供识别有效推理、论证、无效推理、论证的标准
教会人们正确进行推理和论证
教会人们识别、揭露和反驳错误的推理和论证
推理
由一个或一些已知命题（前提）得出新命题（结论）的思维过程或思维形式
演绎推理
一般推个别
必然性:真假绝对
有效
无效
归纳推理
个别推一般
或然性:强弱可能
归纳强
归纳弱
论证
用某些理由去支持或反驳某个观点的过程或语言形式
第二节 命题分析和逻辑类型
一、语句、命题、陈述、判断与真值
二、复合命题和命题逻辑
复合命题通过联结词和简单命题（原子命题）构成
各种联结词
符号表示命题
三、直言命题和词项逻辑
直言命题断定对象S具有某种性质P，又称性质命题
四、个体词、谓词和量化逻辑（谓词逻辑）
拥有个体词、谓词、量词、联结词等
五、变异逻辑、扩充逻辑和元逻辑
属于现代逻辑，与传统逻辑有出入
第三节 推理形式及其有效性
一、推理的形式结构
二、推理形式的有效性（是否诉及？不相干？关联？得到结论？）
三、日常思维的推理和论证
第四节 逻辑基本规律
逻辑学是对理性精神的培养和训练
它们构成理性思想最基本的前提和预设，是理性的对话、交谈能够进行下去的最起码前提
遵守不了会怎样？
可能出现逻辑错误，出现感性情绪
可能会吵起来或者无法继续交谈
一、同一律
A是A
在同一思维过程中，一切思想（包括概念和命题）都必须与自身保持同一
同一个表达形式（言语等）或思想除非特别声明，否则不能多义混淆。
违反其就可能会出现的谬误
混淆概念（无意）
偷换概念（有意违反）
转移论题 （）
偷换论题
二、矛盾律（不矛盾律）
并非（A并且非A）
两个矛盾的命题不能同真，也不能同假
派生出词项逻辑:两个相互上反对的命题不能同真，但可以同假
文氏图可直观表示
三、排中律
A或者非A
两个相互矛盾的命题必有一真一假
派生出词项逻辑:两个相互下反对的特称命题不能同假，但可以同真
四、充足理由律（布莱尼茨）
A,A逻辑推出B┣B
如果要证明B是真的，必须先证明A是真的，并且证明从A能够逻辑地推出B
这里“┣”表示“推出”
数学书里“=>”也表示“推出”:A＝＞B表示充分条件，当A成立，则B也成立。
具体要求
1，对所要论证的观点必须给出理由
2，给出的理由必须真实
3，从给出的理由必须能够推出所要论证的论点
达不到要求就会犯“没有理由”“理由虚假”“推不出来”的错误
论证要以周密与细致的思考为前提，检验思考过程，最后决定是否接受（相信）想法、观点
反例:有些想法、观点泛泛而论可能十分动听、有理，却经不起严格精确的分析检验
概要
推理和论证的区别和联系？
区别在推理可以从假前提开始，论证需要真前提或者大家共同接受的前提开始
逻辑学是什么？目的？
逻辑学是关于推理和论证的科学
本书指形式逻辑
目的
识别推理和论证是否有效无效
教会人如何正确推理和论证
识别、揭露、反驳错误的推理和论证
对命题不同角度分析导致逻辑理论的不同
命题逻辑
词项逻辑
谓词逻辑
能用于以上两者，范围更广
第二章 命题逻辑（联结词逻辑，表示命题之间的关系）
第一节 日常联结词和复合命题
一、简单命题和复合命题
简单命题往下就分为不同的词项，不能再分为命题，又称原子命题
复合命题是包含其他命题的命题，它是用一定的联结词连接其他命题而成
如:并非今天下雨
复合命题分类
二、联言命题
并且:断定几种事物情况同时存在的命题
∧（合取）
和，又，而且，然后等
联言命题的支命题叫“联言支”，有时联言支的主项或谓项可省略
省主项的例子
省谓项的例子
三种有效式
合成式
分解式
否定式
三、选言命题
或者:断定几种事物情况至少有一种存在
∨（析取）
或者，要么要么，不是就是等
“选言支”“析取支”
一个选言命题穷尽了所有选言支的话，那么这个选言命题就必定为真
类型与有效式
相容（能够同时为真）
否定肯定式
肯定肯定式
不相容（不能同时为真）
否定肯定式
肯定否定式
四、假言命题
条件命题:断定了前件和后件之间的某种条件关系
→（蕴含）
支命题（前件和后件）一个条件一个结果
充分条件（前件真后件假就假）
如果，则
肯定前件式
否定后件式
必要条件（前件假后件真就假）
只有，才
否定前件式
只有p，才q 非p 所以非q
肯定后件式
充要条件
当且仅当
p和q同真假
五、负命题
并非
┓
第二节 真值联结词 真值形式
一、从日常联结词到真值联结词
命题联结词也叫命题常项（只有固定意义，不会变）
命题联结词联结几个命题就是几元联结词
日常联结词在逻辑学中的问题
不精确
承载了许多非逻辑的内容
如并列、承接、递进、转折、对比等关系
省略括号的规则和约定
（1）公式最外层括号总可以省略
（2）像算数一样没括号时先乘除后加减:优先高到低┓，∧，∨，→，←→
（3）约定（A∧B）∧C可写作A∧B∧C，同理∨也一样，但是A→（B→C）写作A→B→C.
二、真值形式 指派与赋值
┓p、（p∧q）、（p∨q）、（p→q）、（p←→q）分别为否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等值式
令p为真／假，这叫指派真值，真值联结词的意义叫解释（真值函项）
一组真值指派和一个解释（真值函项）构成一个真值赋值。
如p→q令p为真，q为假，则p→q为假
一个公式含n个命题变项就有2ⁿ种可能的真值组合
公式＝真值形式＝真值函数
p和q等同于函数里的x（自变量）和y（因变量）
三、否定
四、合取
p和q都真才真
五、析取
相容:p和q至少有一真则真
不相容:任一选言支真，则其他选言支必假
六、蕴涵
前提真，结论假才假（不能用如果则一概而论）
所以真命题能被任何命题所蕴涵（后件真）
事实能被任何命题蕴含，即不管怎样，事实发生了。
实质蕴涵与日常联结词“如果则”冲突，当出现两个蕴涵符号就拗口，违背直觉
当指责实质蕴涵时，也会逻辑地导致指责对其余┓∨∧真值联结词的理解
不是p就是q
p或者q
非p→q
┓p∨q
┓┓p→q
p→q
两个式子真值表一致的就可以认为是等值的
七、等值
前件和后件同真假，否则等值式为假
八、自然语言中复合命题的符号化
先判断自然语言属于哪种命题
分析意义，等值于哪个命题
如例2“想要（p）”表示想要达到某种结果，属于必要条件假言命题q→p
只有p才q等价于
如果q则p
语言上不太自然、拗口怪异（舍弃意义、内容的原因）
只有p才q
如果非p则非q
如果p则q
只有q才p
如果p则q等值于“只有q才p”
如果p则q等值于“除非q否则非p”，或“非p，除非q”
p→q等值于┓q→┓p
如果p则q否则r
（p→q）∧（┓p→r）
除非p否则q
¬p→q
¬q→p
p，否则q
同上
p，除非q
¬q→p
子主题
第三节 重言式及其判定方法
真值形式
重言式（有效式，可满足式）
真值恒真
矛盾式（非有效式，可满足式）
恒假
偶真式（非有效式）
有真有假
一、重言式
命题逻辑的目的是找出所有重言式的集合
判定程序
1程序的每一步都是由一套事先给定的规则规定好的
2该程序有能在有穷步内结束
3对于所判定的对象能给出唯一确定的结果
常见重言式疑点
皮尔士律
A∨B→(（A→B）→B)
省略了排中律B∨┓B,即能只用蕴涵符号就替代排中律
加强前件式
(A→B)→（A∧C→B）
有争议，如果C的性质能达成非B，可能得不到结果B
A∧┓B→B为偶真式，A真B假时不成立
命题逻辑中的同一律矛盾律排中律:A→A. A∨┓A .┓（A∧┓A）只是逻辑基本三个规律的精神体现，不等同
二、真值表方法
一个公式含n个命题变项就有2ⁿ种可能的真值组合
用列表列出所有命题变项的真值组合，由简单到复杂列出所有子公式的真值，最后得出该公式的所有真值情况
优点:机械，操作简单，直观一目了然，最可靠
缺点:对于命题变项多的公式，工作量太大，花费很多时间
三、归谬赋值法
赋值为假，有矛盾就不是矛盾式
优点:真值表的简化
缺点:可能需要多次赋值，不直观容易错漏
四、树形图方法
同理归谬赋值法
约定规则:五个真值联结词共9个规则
一个树枝代表一个真值组合
分叉代表有几种情况
要判定公式A，令A为假，则┓A真然后开始画┓A的树形图
A是重言式，当且仅当┓A的树形图的每一个树枝（真值组合）都是封闭的（打×）
但凡有一个树枝不打×，A不是重言式
遇到分叉和不分叉的子公式，优先画不分叉的，否则重复，工作量大
第四节 重言蕴涵式 重言等值式
一、推理的形式结构 重言蕴涵式
往上找
用于最外层的真值联结词
蕴涵式常见问题
预设条件
循环论证
论上帝是不是万能
二、重言等值式 置换规则
这些规则当工具用
可用于任一联结词，被置换公式等值于置换公式即可
第五节 命题逻辑的自然推理
一、PN（命题逻辑推演规则系统）
定理:是不需要任何前提或假设利用Pᴺ推演规则推出的公式
可直接用作推理不需要证明
同理推演规则不需要证明
当Γ├A（Γ为某公式集或假设），并且Γ＝∮（空集），则A是Pᴺ的一个可证公式，简称定理
Pᴺ推演规则
合取
1～消去规则∧⁻
从A∧B可推出A;从A∧B可推出B
A∧B├A;A∧B├B（化简）
2～引入规则∧⁺
从A,B可推出A∧B
A,B├A∧B（合并）
析取
3消去规则∨⁻
A∨B,A→C,B→C├C（二难推理简单式）
4引入规则∨⁺
A├A∨B;B├A∨B（附加律）
蕴涵
5→⁻
A→B，A├B（肯前）
（推演无前提公理必定用到）6→⁺
若Γ，A├B,则Γ├A→B（引入假设，其本身可用反证法假设为假得出必真）
反证法：一个公式集Γ为假，当且仅当前提真并且结论假
若厨房里啥都不缺，而且有食材，则能做菜
等同：厨房里啥都不缺，如果有食材则能做菜
常用Pᴺ定理蕴涵式
¬A→（A→B），B可以任意公式
用于反证法，引入矛盾公式得到原公式
同理A→（¬A→B）
等值
7←→⁻
A←→B├A→B;A←→B├B→A
8←→⁺
A→B，B←A├A←→B
否定
9 ┓⁻
若Γ，┓A├B,┓B 则Γ├A（反证法）
10 ┓⁺
若Γ，A├B，┓B 则Γ├┓A （归谬法）
自推规则
11 ∈
若Ai∈Γ，则Γ├Ai（假设了一组前提等于每个前提都假设）
从一组假设中可以推出任一假设
Pᴺ定理及其证明或推演方法
书写约定（目的是建立无缝隙或破绽的推理链条）
①一开始就分行列出所有给定的前提，并在每个前提公式的右边标明前提
②如果要引入假设，同理①，最好就一开始列出全部假设，逐个标明假设
③每列出一个假设，就把它向楼上一个公式的右边推移一格
表明这是在上个假设前提下的假设
④每列出一个公式，就在该公式右边注明所依赖的公式和推演规则
⑤在一假设下根据∨⁻∨⁺∧⁻∧⁺→⁻ ←→⁻←→⁺∈得到的公式，都与该假设对齐，表明这些公式全都依赖于该假设及以前的假设
⑥如果一个公式是根据→⁺┓⁻┓⁻得到的，则让它进位，与楼上假设对齐，表明依赖楼上及以前的假设，本楼的假设和公式就解除了不能用
⑦在推演的步骤序号后面画一条垂直线，表示该推演的起止;如果是假设则顶端加个小圆圈
元定理，证明过程很复杂
有缝隙的推理链条
莱布尼茨证明2+2＝4
偷加了未作前提的加法结合律
不按规则书写，耍聪明跳太快
不如踏踏实实慢慢走
严格精确的同时有一定技巧性（左边怎样得到右边，或者右边怎样得到左边）
假设所有分支可能的条件，如数独暴力解法一样
右边是析取的就分别假设，合取的就两个都要得到
已证定理与导出规则的使用（为简化证明过程）
Pᴺ定理都是重言式，同理PR等值置换都是重言式，可直接引用
第三章 词项逻辑（拆分命题，表示命题内部各成分的性质）
一，直言命题
基本结构
（量项）+主项+（联项）+谓项
额外的内容将其纳入结构中，忽略其（命题逻辑）关系
表示肯定的联项可省略，但否定的联项不可省略
根据量项分类命题
全称命题
特称命题
存在命题，至少存在一个个体
所以有S是P不能推出有S不是P
从弱原则
至少有一个，至多全部
单称命题
指专有名词或摹状词，表示“这个，那个”
分类
全称肯定命题SAP（A）
所有S都是P
全称否定SEP（E）
所有S都不是P
特称肯定SIP（I）
有的S是P
特称否定SOP（O）
有的S不是P
单称
单称肯定SaP（a）
a是P
单称否定SeP（e）
a不是P
视为全称命题的特例，易犯混淆概念的谬误
主谓关系
主项谓项都只考虑外延（词项指称的对象或者集合、类别），不研究内涵（词项所表达的内容、意思）
例：人
内涵：能进行思维活动的动物
外延：整个古往今来存在过的人
实质就是两个非空集合间的关系，处理关系要先找出外延
不考虑内涵的理由：人各有理解，不同一，麻烦
外延关系
同一关系
S等于P
包含关系
S包含P
包含于
S包含于P（P里有S）
交叉
有些S是P，有些S不是P
全异
主谓相对于第三概念（三者加起来是全集）的关系可分为
矛盾关系
反对关系
对当关系
反对关系
A和E
不能同真，可以同假
矛盾关系
A和O
E和I
不能同真假，必定一真一假
SAP←→┓SOP
同理以下
差等关系（从属关系）
A和I
E和O
全称真蕴涵特称真，特称假蕴涵全称假
下反对关系
I和O
可以同真，不能同假
周延性
定义
给定的直言命题中是否断定（诉及）了主项或者谓项的所有外延的性质
断定了全部外延就是周延的，否则不周延
4类命题周延情况
A
主周谓不周
如：所有人都是动物，所以所有动物都是人
没有诉及所有的动物，只诉及了所有动物中是人的那一部分动物
E
主周谓也周
I
主不周谓不周
S和P的部分外延都没诉及
O
主不周谓周
有的人不是北大生，则有的北大生不是人
没有诉及北大生是否有人以外的东西，只诉及了所有北大生和部分人
概括
全称主周，特称主不周，肯定谓不周，否定谓周
个人认为重要性
日常语言中反驳对方的理由，有无诉及到
二，直接推理
定义
从一个直言命题出发（前提），推出另一个直言命题作为结论的推理
注意
区分P和┓p
分别为词项和命题
方法
换质法（“换句话说”）
定义：将一个直言命题由肯定变为否定（质），或者否定变为肯定，谓项变其矛盾概念（补集），得到一个等值的直言命题
特点
主项不变，量项（全称、特称、单称）不变
联项（是、不是、都是、都不是）和谓项变为各自的矛盾概念
P变P，即P的集合变为补集
得到的新直言命题与原直言命题真值完全相同
不能简单用AEIO表示了
SAP←→SEP
所有人都是动物←→所有人都不是非动物
SEP←→SAP
所有人都不是动物←→所有人都是非动物
SIP←→SOP
有的S是P←→有的S不是非P
SOP←→SIP
有的S不是P←→有的S是非P
换位法
定义：将一个直言命题的主项和谓项互换位置，质不变，改变量项得到一个新的直言命题（结论）
前提中不周延的项，结论不得周延
特点：前提和结论不一定等值，但前提诉及的（周延性）一定不比结论少，即前提不周延的，结论不能周延
SAP→PIS
所有S是P→有的P是S
SEP→PES
所有S都不是P→所有P都不是S
SIP→PIS
有的S是P→有的P是S
SOP不能换位
有的S不是P→有的P不是S
换了之后说的不是同一个东西，即主谓周延性变互换了
有些人不是大学生→有些大学生不是人×
换质位法
定义：先换质再换位，得到新直言命题
SAP→SEP→PES
SEP→SAP→PIS
SIP不能换质位
SIP→SOP，SOP不能换位
SOP→SIP→PIS
戾换法（不一定等值）
SAP→SEP→PES→PAS
凡有烟处必有火→凡有烟处不无火→凡无火处不有烟→凡无火处必无烟
有生必有死
无死必无生
PAS→PES
SOP不能戾换
PIS→POS
思考从SAP戾换到SOP，前提不周延的谓项，结论却周延了，怎么回事？
对当关系推理
反对关系推理
SAP→┓SEP
SEP→┓SAP
差等关系推理
SAP→SIP
SEP→SOP
┓SIP→┓SAP
┓SOP→┓SEP
矛盾关系推理
SAP→┓SOP
SEP→┓SIP
SIP→┓SEP
SOP→┓SAP
┓SAP→SOP
┓SEP→SIP
┓SIP→SEP
┓SOP→SAP
下反对关系推理
┓SIP→SOP
┓SOP→SIP
关于单称命题的推理
SAP→a是P
注意别搞混概念
所有中国人都是勤劳的（人）
我是中国人
我是勤劳的（人）
中国人（集体概念）是勤劳的
我不一定勤劳
a是P→SIP
三，三段论
定义
三段论是由一个共同词项把两个直言命题连接起来，得出一个新直言命题作为结论的推理
构成（省略联项和量项和格）
大前提
P（大项）+共同词项M（中项）
小前提
S（小项）+中项M
结论
主项S（小项）+谓项P（大项）
通常大前提在三者中诉及的内容最多 有效推理的结论是一定不比前提诉及得多
格
定义：根据中项在前提中不同的位置，以及大前提在上、小前提在下，把三段论分为四种不同的类型
第一格
MP SM SP
小前提必须肯定 大前提必须全称
中间字母只能是A或者I，首个字母只能是A或者E
AAA⁻1,AAI-1,AII-1,EAE-1,EAO-1，EIO-1
第二格
PM SM SP
两前提必有一否 大前提必须全称
M都是谓项，则必有一否，结论否，P周延，大前提必须全称 结论必须否定
AEE-2，AEO-2,AOO-2,EAE-2,EAO-2,EIO-2
第三格
MP MS SP
小前提必须肯定 结论必须特称
假设小前提否，则结论否且P周，则大前提P周，则大前提否，双否，则小前提必须肯定 则结论S不周，必须特称
AAI-3,AII-3,EAO-3,EIO-3,IAI-3,OAO-3
第四格
PM MS SP
如果大前提肯定
则小前提必须全称
如果小前提肯定
则结论必须特称
如果有一前提否定
则大前提必须全称
EAO-4
AEO-4
如果大前提特称
则必须IAI-4
如果小前提特称
则必须EIO-4
AAI-4,AEE-4,AEO-4,EAO-4,EIO-4,IAI-4
每格6个，总共24个有效式，其中9个含存在假设的有效式,6个差等式（结论可以全称的却得出特称）
式
总数量
4*4*4*4个格=256
定义：根据构成三段论的三个直言命题的质和量，把三段论分为不同的类型
有效式
判定方法
规则
图解
文氏图或欧拉图
公理演绎法
根据大前提（大多数情况）小前提（特定情况）推理出结论（新的一小部分情况）
规则
一般规则（足够判定所有三段论）
规则1
在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项
多于三个词项“四概念错误”一词多义
如中国的大学遍布全国各地，北京大学是中国的大学，所以北京大学遍布全国各地
混淆整体（集体）概念和个体概念
少于三个词项“伪装的三段论”
可能没法推理，结论依赖于前提的真值
规则2
中项在前提中至少周延一次
中项作为桥梁、媒介要使大前提与小前提产生某种的关系从而发生必然的结果（结论）， 就必须两前提中有一次关系是全部的（周延，任何情况都产生这种关系），另一次是全部或部分
违反规则2的错误
中项两次不周延
前提真结论也真
凑巧结论真，推理形式无效，不是逻辑保真（过程错结果对）
结论假
规则3
前提中不周延的项，在结论中不得周延
违反规则3的错误
大项周延不当
小项周延不当
规则4
两否定前提推不出任何确定（必然）结论
存在多种不确定的情况
规则5
如果有一个前提是否定的，则结论是否定的 如果结论是否定的，则必有一个前提是否定的
违反规则5的错误
结论和前提对着干 前提一肯一否，结论肯 前提两肯，结论否
推导规则（易认方便起见）
规则6
两个前提不能都是特称
II，IO，OI，OO
规则7
前提有一特称，结论必然特称
根据规则6必一全一特
定理
一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次
一词概括反驳：不一定
日常语言三段论
标准形式
先把所有前提和结论转化成标准形式的直言命题
用矛盾关系处理“并非”
注意双重否定表示肯定“没有……不是”“所有……都是”
区分结论、大小前提、中项
结论不含中项，注意四词项错误
按格式书写
判断该三段论是否是有效式
非标准形式
省略式
省大前提
小前提
结论
补全
复合式
前提中自带三段论需要整理和补充出来
连锁三段论
含多种三段论，前提可能是中间结论省略了的
同义词多的
通过时间地点等参数能够变形的
四，直言命题的存在含义问题
SAP→SEP→PES→PAS→SIP→SOP
违反前提中不周延的项，结论中不得周延的规则
原因：词项逻辑蕴涵“存在假设”成立，即全称肯定可以推出特称肯定，预设了主项存在（非空非全集）
如果去掉存在含义，那么AEIO对当关系不再成立
A和E不再是上反对关系，若不存在S，A则和E可以同真（假前提蕴涵任何结论）
I和O不再下反对，若不存在S，则可同假
A变I涉及的限制换位法、限制换质位法不再成立
三段论中9个由两全称前提得出特称结论的有效式不再成立
词项逻辑直言命题AEIO中都存在S
五，三段论有效性的图解判定
方法
欧拉图判定法
没啥限制
文恩图判定法
不假设主项存在，9个全称得特称的有效式在此无效
若假设主项存在，则画⊕，表示非空
三个圈分别表示主项、谓项、中项，把前提诉及的内容都画出来
优先画全称命题，不含主项的论域画上阴影
特称命题用“+”表示，不确定放线的哪边就在线上画“+”
第四章 谓词逻辑
派生原因
弥补命题逻辑和词项逻辑的局限性，能够处理关系命题及其推理、量词里含联结词的性质命题及其推理（能处理性质和关系）
研究范围
依据联结词进行的推论
依据量词进行的推论
同时依据联结词和量词进行的推论
所有命题都可用谓词逻辑作推理
第一节个体词 性质谓词 量词和公式
谓词逻辑中命题拆分
个体词
表示对象域中的个体的符号
个体变项
xyz等表示某个特定范围内（论域或个体域）的某个不确定的对象
含n个元就是n元函数，表示个体变项之间的关系
如G（x，y）表示x和y有G性质的关系，二元函数
个体常项
abc等～确定的对象
有专有名称的东西
某国的首都F（x） 中国的首都F（xᵃ）
论域（个体域）
一般指全域，即世界上能被想到谈到的事物
日常谈话无处不谈，不是特定的范围
若论域为D，Vx表示为对于x在论域D中所有取值
谓词
一元谓词（性质谓词）
谓词符号，大写字母表示
表示个体的性质，只带有一个项的
二个项及以上就表示它们之间的关系，n元谓词
原子公式
如F（a）、G（x），表示a是F，x是G
多元谓词（关系谓词）
涉及n个对象，n＞1
量词
全称V
VxF（x）读作“对于所有x，x是F”
∀xAx：Ax¹∧Ax²∧……∧Axⁿ∧……
论域中所有具有某种属性（F）的个体
存在∃
∃xF（x）读作“存在x使得x是F”
∃xAx：Ax¹∨Ax²∨……∨Axⁿ∨……
论域中存在具有某种属性的个体
联结词
辖域
量化公式
如Vx(F（x）→G（x）) ∃xF（x）∧VyH（y）
量词管辖的范围
有括号就管括号内的 没括号就管后面挨着的最短公式
如VxF（x）∧G（x）
量词Vx的辖域是F（x）
约束变项
有约束出现的公式
约束出现
一个变项的某一次出现被量词管辖到，即出现在辖域之内
自由变项
有自由出现的公式
开公式
至少含有一个自由变项的公式，真值不能确定
闭公式
没有自由变项的公式，通过给定论域和谓词符号和常项的解释后真值确定
个体变项可以同时约束又可以自由
自然语言中性质命题的符号化
6种直言命题
全称肯定SAP
Vx（S（x）→P（x））
子集关系
SEP
Vx（S（x）→┓P（x））
SIP
彐x（S（x）∧P（x））
存在着这样的x，x是S并且x是P
交集关系
SOP
彐x（S（x）∧┓P（x））
存在x，x是S并且x不是P
a是P
P（a）
例
F（x）：x的父亲 G（x）：x的作者 Q（x）:x是清朝的 P（x，y）:x是y的纺织府官员 a：曹雪芹 b：《红楼梦》 c：江宁
红楼梦的作者是清朝的
Q（G（b））
曹雪芹的祖父是江宁的纺织府官员
P（F（F（a））,c）
a不是P
┓a
┓P（a）
若论域确定为某特定范围，则只在论域范围内谈个体的性质
如所有人都不是植物，论域是人类
Vx┓S（x）
SEP的缩写
对于所有个体，如果个体是人类，则该个体不是植物
第二节 关系谓词 重叠量化 二元关系的性质
关系命题
断定个体之间具有某种关系
要素
个体词
关系谓词
涉及两个以上的个体，二元以上
量词
一阶语言L（一阶谓词逻辑语言）
二阶谓词逻辑
量词辖域影响到谓词，不单是个体
组成
初始符号
个体变项
个体常项
谓词符号
量词
联结词
辅足性符号
形成规则
若A是公式，则A前面可以跟量词 或者A可以是量词（空约束） 或者A含有量词了可以再跟量词（重复约束）
VxA，彐xA，A可以是任一公式
重叠量词
量词辖域里还有量词
重复约束个体词
含重叠量词的公式叫重叠量化式
注意区分重复量化和重叠量化和空约束
重复量化是多个量词约束同一个对象（个体）只有后面那个起作用
如彐xVx彐xF（x）等于彐xF（x）
空约束是量词没有约束对象，等于没有作用
如VxF（y）等于F（y）
Vx彐yA不能改成彐yVxA
辖域变了
自然语言中的关系命题符号化
如，没有最大的自然数（指0，1，2，3……）
翻译成没有否定符号、辖域一目了然的公式最好
可以理解成“总有比任一自然数大的自然数”
对于任一x，如果x是自然数，则存在y，使得y是自然数并且y大于x
字面翻译就是不存在最大的自然数
每个人都有父母
任何人都存在其父母这样的人
任何人都存在父和母
不好的没表达关系的翻译：Vx（Hx→Px）
如果约翰有一头驴，那么约翰喜欢它
对于任一一个体，如果它是驴并且是约翰（a）拥有的，那么a喜欢它
Vx（Dx∧Hax→Lax）
翻译成存在，蕴涵自由变元（可以是论域内任一东西）不妥
翻译成存在蕴涵存在也不妥，表明前件和后件不关联，前件的驴不一定是后件那头驴
注意把谓词的关系表达出来，即把谓词符号展开写
个体数量问题
至少、恰好、至多等数量词
用s≠t表示¬（s＝t）
二元关系的逻辑性质 排序问题
不同关系不同性质
自反的
x与自身x有R关系
对称的
xy位置可换
关系R是对称的，当且仅当，VxVy（R（x,y）→R（y,x））
传递的
xyz之间都能两两有R关系
第三节 模型和赋值 普遍有效式
L通过M和赋值获得意义和真值
模型M
个体域D
给定有一定性质的个体所构成的非空集合
如个体域D为全域，则x为任何东西
D上的一个解释函数I
I把L（一阶语言）中个体常项c解释为D中某个特定个体I（c），谓词符号解释为D中具有某种性质的个体的集合
如σ（F（t1,t2,t3…））中F表示后面括号里个体词的集合
有闭公式（无自由变项的公式）只有的东西（谓词符号、量词、约束变项、个体常项），意义和真值就确定了
赋值σ（只有真假T和F两个值二选一）
指派ρ：一次性给L中所有自由变项指派D中个体
（指定派谁干嘛去）
如李白，李白是什么没指派就没法判断
σ＝<M，ρ>
各种公式在σ下为真时，当且仅当
F（t¹t²…）
在σ下为真，当且仅当t¹t²……确实有F关系（属于集合F）
σ<t¹t²……>∈σ（F）
VxA（把公式A看成集合）
将A中的自由出现的x解释为个体域D中的每个个体词后，A总为真
彐xA
将A中自由出现的x解释为在D中的某个个体词后，能使A为真
┓∧∨→←→真值条件同命题逻辑
普遍有效式（谓词逻辑的规律，也称常真式）
举例,尝试解释
∀xF（x）→F（y）
F（y）→∃xF（x）
∀x（F（x）∨¬F（x））
¬∃x（F（x）∧¬F（x））
∀xFx↔¬∃x¬Fx
∃xFx↔¬∀¬Fx
∀x（Fx→Gx）→（∀xFx→∀xGx）
为什么不能是↔？
十个人考过了就都请去吃饭（要求更苛刻），推不出谁考过了谁就请去吃饭（要求更宽松）
后者，教练承诺的十个人全考过才会兑现请全部人吃饭承诺 但凡有一个没过就可以不兑现，当然也可以兑现
∀x（Fx∧Gx）↔（∀xFx∧∀xGx）
为什么不能是∨？
如所有人，有男有女推不出这帮人所有是男或所有是女
∃x（Fx∨Gx）↔（∃xFx∨∃xGx）
∧？
有人即是男又是女碰巧推得出有人是男并且有人是女 但有人即是男并且有人是女推不出有人即是男又是女
∃x∀yRxy→∀y∃xRxy
普遍有效式判定问题
谓词逻辑不可判定，没有通用的办法判定所有命题，只能局部判定
原因被量化的某些个体是否具有某些性质，要挨个查清 个体域无穷的话，那查不清了，除非查出一个不是，要是重叠量化更麻烦了
局部判定方法
树形图
命题逻辑9个联结词规则仍有效 |竖杠表示由楼上所有支得到新支
先使用联结词规则，再使用有α要求的量词规则，最后使用无α要求的量词规则 如有α要求的要分叉，必须先分叉
扩充量词规则 （目的消去量词）
∀（不能打勾，不能穷尽例子，所以能反复使用）
： ∀xAx ： | A（x/t），如果t对x代入自由（t不能被任何量词管辖， 如果A里有量词，则t不能被A管辖， 即A里有被管辖的个体y，则t不能是y）
如果∀xAx为真，则A对于个体域中任一个体为真 其个体域中部分一群个体为真，几个个体为真，特定个体也为真
¬∀（可打勾，只能用一次， 可找到个体域中的例子）
： ¬∀xAx ： | ¬A（x/α）如果α是该分支（其他分支可用）先前没出现过（避免同一个体被多个谓词影响）的特指常项（还不知道具体是哪个）
如果¬∀xAx为真，则Ax至少对于个体域中有的个体不成立（SOP）
∃⁻（可打勾……逻辑只能保证有一个例子）
： ∃xAx ： | A（x/α）如果α是先前没有出现过的特指常项
¬∃（不能穷尽例子）
： ¬∃xAx ： | ¬A（x/t）如果t对x代入自由
树形图不封闭的情况
部分分支循环无矛盾（一元谓词）
可预见的可满足式，即原公式不是普遍有效式
不循环但支无限延展（二元以上谓词） 能终结的原公式都是有效式
没法判断有无矛盾，无法终结树形图，即原公式不知道有没有效
解释方法（模型方法）举例子
一个解释就是一个赋值
σ：<<D，I>，ρ> 即一个模型加上指派
证明不是普遍有效式，需要举反例（反模型） 证明可满足式，需要举一个例即可
证明不是普遍有效式，但是可满足式，则要一个反例一个正例
证明普遍有效式，需要所有逻辑上可能的解释都为真
证明不是可满足式，需要所有逻辑上可能的解释都为假
只能反证法（树形图可用）
假设原公式不有效/可满足， 存在一个反例使得原公式不成立 推出不存在这样的反例
注意解释时要说清的点
个体域D
常项符号和谓词符号的意义I
如果涉及开公式，ρ在D中指派什么自由变项
谓词逻辑的自然推演
Qᴺ推理规则
是Pᴺ的扩充
Pᴺ处理不了量词，通过Qᴺ消去量词，然后Pᴺ处理命题联结词，最后根据想要得到的样子用Qᴺ加上量词
增加的4个量词规则
∀⁻
∀xAx┣A（x/t）
如ⱯxƎyRxy ，t代入x不能是y（限制t不被管辖）
t不被约束的情况
t是个体常项
A是原子公式（不含量词）
A含量词，但x不被A管辖到
A含量词，且x被A管辖到
t必须是A管辖的个体变项之外的一个变项 否则t对A中x代入不自由（被约束）
∀+
Ax┣∀xAx（x为任一自由变项）
若不能确保前提中的自由变项x是任意的， 则需要给x加标记，表示不能使用Ɐ+规则
任意的如Rxyz，可以是Rxxx，只要x不加标记
啥是自由变项
没有量词约束的公式里的不确定的个体词
如Rax中的x Fx中的x
需要给自由变项加标记的情况
给定前提的自由变项
假设引入的自由变项
从前提或假设推演得到的自由变项
有特指常项做下标的自由变项
不用标记的情况
由Ɐ⁻得到的自由变项
Ǝ⁻
ƎxAx┣A（x/α），α为先前没出现过的特指常项 若A中有x以外的自由变项y，则标记y（同上）
Ǝ+
A（x/t）┣ƎxAx，t不能被约束
注意：同树形图法，有α要求的量词先推演，没要求的后推演
推演原则
推演过程中每个步骤想得到什么公式，如何从前提得到结论
量词规则只能对最前端且辖域为整个该公式时使用（该规则只能用于整体，同Pᴺ规则）
如A→ⱯxⱯyⱯzB
必须先消去→ 得到后件，才能Ɐ⁻ 而且只能消最外层的Ɐ
若想得到ⱯxⱯzB
先消去→再消去Ɐx再消去Ɐy最后引入Ɐx
具有可靠性和完全性
所有有效式↔所有Qᴺ定理
即Qᴺ推出来的公式都普遍有效，能拿来当导出规则用
等词理论和摹状词分析
一、等词理论
扩充L缘由
“＝”在数学和自然语言中被普遍使用，有重要性
等词的特征性质
自反性
Ɐx（x=x）
对称性
ⱯxⱯy（x=y→y=x）
传递性
ⱯxⱯyⱯz（x=y∧y=z→x=z）
同一者不可分辨原则
ⱯxⱯy（x=y→（Fx→Fy）)
莱布尼茨提出
不可分辨者同一原则
ⱯxⱯy(（Fx↔Fy）→x=y)
同上
等词用途
可以符号化一些自然语言
至少一个x是F
ƎxFx
至少两个x是F
ƎxƎy（Fx∧Fy∧¬（x=y））
有两个个体是F且它们各不相同
至少三个x是F
ƎxƎyƎz（Fx∧Fy∧Fz∧¬（x＝z）∧¬（x＝z）∧¬（y=z））
至多一个x是F
ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x＝y）
若有两个个体，则它们是同一个体
至多两个
ⱯxⱯyⱯz（Fx∧Fy∧Fz→（x＝y）∨（x＝z）∨（y=z））
对于任何的z，不是等于x就是等于y，或者x等于y
若有三个个体，它们至少有两个是同一个体
至多n个
同理，若有n+1个个体，它们至少有两个是同一个体
恰好一个x是F
至多一个并且至少一个
ƎxFx∧ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x=y）
Ǝx（Fx∧Ɐy（Fy→x＝y））简写
恰好n个
至多n个并且至少n个
李倩有一对儿女
李倩：α Sxα：α的儿 Dyα：α的女
ƎxƎy（Sxα∧Dyα∧Ɐz（Szα∨Dzα→（z＝x）∨（z＝y）））
存在这样的个体x个体y，x是α的儿并且y是α的女，并且对于所有z，如果z是α的儿或者女，则z和x是同一个体或者z和y是同一个体
第五章 归纳逻辑
定义
以归纳推理和归纳方法为基本内容的知识体系
对比
演绎推理
保真性、必然性的推理 结论断定的内容不超过前提
有归纳推理的支撑前提
归纳推理
或然性的推理 结论断定的内容超过前提
分类
传统归纳逻辑
个别经验上升到普遍必然性的一般知识
现代归纳逻辑
可信度、概率统计
意义
启发人们从已知大胆向未知探索，创造、发明、发现等离不开归纳逻辑
推理方法
简单枚举法
定义：根据已观察到的那部分对象具有某种属性，并且没有遇到任何反例 从而推出该类对象都具有该种属性的结论
可靠性要求
被考察对象数量要足够多
范围足够广
对象之间差距足够大
很不可靠的简单枚举法被称为
以偏概全、轻率概括
本质上归纳推理都是以偏概全
科学归纳法
观察加上科学研究，是简单枚举法派生出的变形
科学研究与科学研究之间存在个体差异
说难听点也分三六九等，取决于有多科学
表述公式
迄今为止观察到的所有S都是P，且科学研究表明，S和P之间有必然联系 所以，所有S，不论是否已经被观察到，都是P
完全归纳法
把简单枚举法的数量和分布调查到极致
适用范围很小但足够可靠
观察了所有的S 所有S都是P没有反例 所以所有S都是P
排除归纳法
寻求因果关系的方法 （根据因果关系的特点设计）
求同法
一些现象时而出现时而不出现，由于普遍性，因果恒常伴随 这些现象肯定不是被研究现象的原因
公式
场合1有先行现象ABC，有被研究现象a 场合2有ABD，a 3有ACE，a 所以A（可能）是a的原因
优点
为寻找因果关系提供思路，有一定可靠性
缺点
可能错把表象当因，没挖掘背后真正的同是因
如果是失眠，寻因找共同点 找上了每天都洗澡但事情天天不同，却忽略了各种事情造成的兴奋
如何避免失眠 避免或停止兴奋
求异法
场合1 有ABCD和a 场合2有BCD，没有a 所以A是a的原因
常用于对照实验
求同求异法
以上两者结合，两者前提放一起得出结论
正面场合（例如有A）+反面场合（没A）
共变法（控制变量法）
A和a两者跟随其一发生一定程度的变化，则可能有因果关系
剩余法
有ABCDabcd Aa有因果关系 Bb Cc 所以Dd有因果关系
因果关系的特点
普遍性
共存性
先后性
因总在前，果总在后， 但在前不一定是因，可能另有其因 易混淆
如何避免混淆
“真的是这样吗，有没有可能 暂时先这样，但以后不好说”
复杂多样性
有多因一果，一因一果，一因多果等 还有主因次因，远因近因（直接原因、根本原因）
类比推理
A有属性abcd Babc 所以B有d
能使人举一反三，获得启发或灵感
如鲁班发明锯子
很不可靠的类比推理称为
机械类比 荒唐类比
模拟方法
模型，建模
比较方法
对比列表，找同异
常见错误
强行对比，欺骗性对比 假对比，根本没说比啥
假说演绎法
步骤
一、起点：问题和困境
二、形成假说：溯因推理
待解释现象e 如果h，则e 所以h
e 如果h1或者h2或者……hn，则e 并非h2 并非h3 …… 所以h1
三、从假说推出观察结论
四、验证假说：证实和证伪
评价标准
保守性
普遍性
简单性
可反驳性
要有经验证据，与世界接轨
形而上学无经验证据
谦和性
精确性
经过不断证实或证伪，抛弃或者修改
可信度越来越高
休谟的归纳问题
归纳推理是合理的吗
逻辑学导论（陈波）形式逻辑为主
第一章 逻辑是关于推理和论证的科学
第一节 “逻辑”的词源和词义
一、“逻辑”的古希腊词源
最早追溯到希腊词“逻各斯”英语logos
多义词，主要含义
一般的规律、原理、和规则
言语、命题、说明、解释和论证
理性、推理、推理能力、与经验相对的抽象理论以及与直觉相对的有条理的推理
尺度、关系、比例和比率等
二、逻辑学的历史与现状
古希腊的形式逻辑代表（主流）
亚里士多德的词项逻辑
三段论为主
斯多亚派的命题逻辑
围绕“蕴含”把命题分为原子命题和复合命题，给出四个元逻辑规则并用其证明许多定理
有中断，没有进入主流
中国先秦时期的名辩学
墨家逻辑学成就最高
古印度逻辑
因明指推理的学问，佛家逻辑
现状
基本逻辑
经典逻辑和非经典逻辑（形式逻辑和非形式逻辑）
元逻辑和归纳逻辑
应用逻辑
广义逻辑
与各学科的交叉
三、逻辑学的对象:推理和论证
什么是逻辑学？
是关于推理和论证的科学（研究推理的学科）
主要任务
提供识别有效推理、论证、无效推理、论证的标准
教会人们正确进行推理和论证
教会人们识别、揭露和反驳错误的推理和论证
推理
由一个或一些已知命题（前提）得出新命题（结论）的思维过程或思维形式
演绎推理
一般推个别
必然性:真假绝对
有效
无效
归纳推理
个别推一般
或然性:强弱可能
归纳强
归纳弱
论证
用某些理由去支持或反驳某个观点的过程或语言形式
第二节 命题分析和逻辑类型
一、语句、命题、陈述、判断与真值
二、复合命题和命题逻辑
复合命题通过联结词和简单命题（原子命题）构成
各种联结词
符号表示命题
三、直言命题和词项逻辑
直言命题断定对象S具有某种性质P，又称性质命题
四、个体词、谓词和量化逻辑（谓词逻辑）
拥有个体词、谓词、量词、联结词等
五、变异逻辑、扩充逻辑和元逻辑
属于现代逻辑，与传统逻辑有出入
第三节 推理形式及其有效性
一、推理的形式结构
二、推理形式的有效性（是否诉及？不相干？关联？得到结论？）
三、日常思维的推理和论证
第四节 逻辑基本规律
逻辑学是对理性精神的培养和训练
它们构成理性思想最基本的前提和预设，是理性的对话、交谈能够进行下去的最起码前提
遵守不了会怎样？
可能出现逻辑错误，出现感性情绪
可能会吵起来或者无法继续交谈
一、同一律
A是A
在同一思维过程中，一切思想（包括概念和命题）都必须与自身保持同一
同一个表达形式（言语等）或思想除非特别声明，否则不能多义混淆。
违反其就可能会出现的谬误
混淆概念（无意）
偷换概念（有意违反）
转移论题 （）
偷换论题
二、矛盾律（不矛盾律）
并非（A并且非A）
两个矛盾的命题不能同真，也不能同假
派生出词项逻辑:两个相互上反对的命题不能同真，但可以同假
文氏图可直观表示
三、排中律
A或者非A
两个相互矛盾的命题必有一真一假
派生出词项逻辑:两个相互下反对的特称命题不能同假，但可以同真
四、充足理由律（布莱尼茨）
A,A逻辑推出B┣B
如果要证明B是真的，必须先证明A是真的，并且证明从A能够逻辑地推出B
这里“┣”表示“推出”
数学书里“=>”也表示“推出”:A＝＞B表示充分条件，当A成立，则B也成立。
具体要求
1，对所要论证的观点必须给出理由
2，给出的理由必须真实
3，从给出的理由必须能够推出所要论证的论点
达不到要求就会犯“没有理由”“理由虚假”“推不出来”的错误
论证要以周密与细致的思考为前提，检验思考过程，最后决定是否接受（相信）想法、观点
反例:有些想法、观点泛泛而论可能十分动听、有理，却经不起严格精确的分析检验
概要
推理和论证的区别和联系？
区别在推理可以从假前提开始，论证需要真前提或者大家共同接受的前提开始
逻辑学是什么？目的？
逻辑学是关于推理和论证的科学
本书指形式逻辑
目的
识别推理和论证是否有效无效
教会人如何正确推理和论证
识别、揭露、反驳错误的推理和论证
对命题不同角度分析导致逻辑理论的不同
命题逻辑
词项逻辑
谓词逻辑
能用于以上两者，范围更广
第二章 命题逻辑（联结词逻辑，表示命题之间的关系）
第一节 日常联结词和复合命题
一、简单命题和复合命题
简单命题往下就分为不同的词项，不能再分为命题，又称原子命题
复合命题是包含其他命题的命题，它是用一定的联结词连接其他命题而成
如:并非今天下雨
复合命题分类
二、联言命题
并且:断定几种事物情况同时存在的命题
∧（合取）
和，又，而且，然后等
联言命题的支命题叫“联言支”，有时联言支的主项或谓项可省略
省主项的例子
省谓项的例子
三种有效式
合成式
分解式
否定式
三、选言命题
或者:断定几种事物情况至少有一种存在
∨（析取）
或者，要么要么，不是就是等
“选言支”“析取支”
一个选言命题穷尽了所有选言支的话，那么这个选言命题就必定为真
类型与有效式
相容（能够同时为真）
否定肯定式
肯定肯定式
不相容（不能同时为真）
否定肯定式
肯定否定式
四、假言命题
条件命题:断定了前件和后件之间的某种条件关系
→（蕴含）
支命题（前件和后件）一个条件一个结果
充分条件（前件真后件假就假）
如果，则
肯定前件式
否定后件式
必要条件（前件假后件真就假）
只有，才
否定前件式
只有p，才q 非p 所以非q
肯定后件式
充要条件
当且仅当
p和q同真假
五、负命题
并非
┓
第二节 真值联结词 真值形式
一、从日常联结词到真值联结词
命题联结词也叫命题常项（只有固定意义，不会变）
命题联结词联结几个命题就是几元联结词
日常联结词在逻辑学中的问题
不精确
承载了许多非逻辑的内容
如并列、承接、递进、转折、对比等关系
省略括号的规则和约定
（1）公式最外层括号总可以省略
（2）像算数一样没括号时先乘除后加减:优先高到低┓，∧，∨，→，←→
（3）约定（A∧B）∧C可写作A∧B∧C，同理∨也一样，但是A→（B→C）写作A→B→C.
二、真值形式 指派与赋值
┓p、（p∧q）、（p∨q）、（p→q）、（p←→q）分别为否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等值式
令p为真／假，这叫指派真值，真值联结词的意义叫解释（真值函项）
一组真值指派和一个解释（真值函项）构成一个真值赋值。
如p→q令p为真，q为假，则p→q为假
一个公式含n个命题变项就有2ⁿ种可能的真值组合
公式＝真值形式＝真值函数
p和q等同于函数里的x（自变量）和y（因变量）
三、否定
四、合取
p和q都真才真
五、析取
相容:p和q至少有一真则真
不相容:任一选言支真，则其他选言支必假
六、蕴涵
前提真，结论假才假（不能用如果则一概而论）
所以真命题能被任何命题所蕴涵（后件真）
事实能被任何命题蕴含，即不管怎样，事实发生了。
实质蕴涵与日常联结词“如果则”冲突，当出现两个蕴涵符号就拗口，违背直觉
当指责实质蕴涵时，也会逻辑地导致指责对其余┓∨∧真值联结词的理解
不是p就是q
p或者q
非p→q
┓p∨q
┓┓p→q
p→q
两个式子真值表一致的就可以认为是等值的
七、等值
前件和后件同真假，否则等值式为假
八、自然语言中复合命题的符号化
先判断自然语言属于哪种命题
分析意义，等值于哪个命题
如例2“想要（p）”表示想要达到某种结果，属于必要条件假言命题q→p
只有p才q等价于
如果q则p
语言上不太自然、拗口怪异（舍弃意义、内容的原因）
只有p才q
如果非p则非q
如果p则q
只有q才p
如果p则q等值于“只有q才p”
如果p则q等值于“除非q否则非p”，或“非p，除非q”
p→q等值于┓q→┓p
如果p则q否则r
（p→q）∧（┓p→r）
除非p否则q
¬p→q
¬q→p
p，否则q
同上
p，除非q
¬q→p
子主题
第三节 重言式及其判定方法
真值形式
重言式（有效式，可满足式）
真值恒真
矛盾式（非有效式，可满足式）
恒假
偶真式（非有效式）
有真有假
一、重言式
命题逻辑的目的是找出所有重言式的集合
判定程序
1程序的每一步都是由一套事先给定的规则规定好的
2该程序有能在有穷步内结束
3对于所判定的对象能给出唯一确定的结果
常见重言式疑点
皮尔士律
A∨B→(（A→B）→B)
省略了排中律B∨┓B,即能只用蕴涵符号就替代排中律
加强前件式
(A→B)→（A∧C→B）
有争议，如果C的性质能达成非B，可能得不到结果B
A∧┓B→B为偶真式，A真B假时不成立
命题逻辑中的同一律矛盾律排中律:A→A. A∨┓A .┓（A∧┓A）只是逻辑基本三个规律的精神体现，不等同
二、真值表方法
一个公式含n个命题变项就有2ⁿ种可能的真值组合
用列表列出所有命题变项的真值组合，由简单到复杂列出所有子公式的真值，最后得出该公式的所有真值情况
优点:机械，操作简单，直观一目了然，最可靠
缺点:对于命题变项多的公式，工作量太大，花费很多时间
三、归谬赋值法
赋值为假，有矛盾就不是矛盾式
优点:真值表的简化
缺点:可能需要多次赋值，不直观容易错漏
四、树形图方法
同理归谬赋值法
约定规则:五个真值联结词共9个规则
一个树枝代表一个真值组合
分叉代表有几种情况
要判定公式A，令A为假，则┓A真然后开始画┓A的树形图
A是重言式，当且仅当┓A的树形图的每一个树枝（真值组合）都是封闭的（打×）
但凡有一个树枝不打×，A不是重言式
遇到分叉和不分叉的子公式，优先画不分叉的，否则重复，工作量大
第四节 重言蕴涵式 重言等值式
一、推理的形式结构 重言蕴涵式
往上找
用于最外层的真值联结词
蕴涵式常见问题
预设条件
循环论证
论上帝是不是万能
二、重言等值式 置换规则
这些规则当工具用
可用于任一联结词，被置换公式等值于置换公式即可
第五节 命题逻辑的自然推理
一、PN（命题逻辑推演规则系统）
定理:是不需要任何前提或假设利用Pᴺ推演规则推出的公式
可直接用作推理不需要证明
同理推演规则不需要证明
当Γ├A（Γ为某公式集或假设），并且Γ＝∮（空集），则A是Pᴺ的一个可证公式，简称定理
Pᴺ推演规则
合取
1～消去规则∧⁻
从A∧B可推出A;从A∧B可推出B
A∧B├A;A∧B├B（化简）
2～引入规则∧⁺
从A,B可推出A∧B
A,B├A∧B（合并）
析取
3消去规则∨⁻
A∨B,A→C,B→C├C（二难推理简单式）
4引入规则∨⁺
A├A∨B;B├A∨B（附加律）
蕴涵
5→⁻
A→B，A├B（肯前）
（推演无前提公理必定用到）6→⁺
若Γ，A├B,则Γ├A→B（引入假设，其本身可用反证法假设为假得出必真）
反证法：一个公式集Γ为假，当且仅当前提真并且结论假
若厨房里啥都不缺，而且有食材，则能做菜
等同：厨房里啥都不缺，如果有食材则能做菜
常用Pᴺ定理蕴涵式
¬A→（A→B），B可以任意公式
用于反证法，引入矛盾公式得到原公式
同理A→（¬A→B）
等值
7←→⁻
A←→B├A→B;A←→B├B→A
8←→⁺
A→B，B←A├A←→B
否定
9 ┓⁻
若Γ，┓A├B,┓B 则Γ├A（反证法）
10 ┓⁺
若Γ，A├B，┓B 则Γ├┓A （归谬法）
自推规则
11 ∈
若Ai∈Γ，则Γ├Ai（假设了一组前提等于每个前提都假设）
从一组假设中可以推出任一假设
Pᴺ定理及其证明或推演方法
书写约定（目的是建立无缝隙或破绽的推理链条）
①一开始就分行列出所有给定的前提，并在每个前提公式的右边标明前提
②如果要引入假设，同理①，最好就一开始列出全部假设，逐个标明假设
③每列出一个假设，就把它向楼上一个公式的右边推移一格
表明这是在上个假设前提下的假设
④每列出一个公式，就在该公式右边注明所依赖的公式和推演规则
⑤在一假设下根据∨⁻∨⁺∧⁻∧⁺→⁻ ←→⁻←→⁺∈得到的公式，都与该假设对齐，表明这些公式全都依赖于该假设及以前的假设
⑥如果一个公式是根据→⁺┓⁻┓⁻得到的，则让它进位，与楼上假设对齐，表明依赖楼上及以前的假设，本楼的假设和公式就解除了不能用
⑦在推演的步骤序号后面画一条垂直线，表示该推演的起止;如果是假设则顶端加个小圆圈
元定理，证明过程很复杂
有缝隙的推理链条
莱布尼茨证明2+2＝4
偷加了未作前提的加法结合律
不按规则书写，耍聪明跳太快
不如踏踏实实慢慢走
严格精确的同时有一定技巧性（左边怎样得到右边，或者右边怎样得到左边）
假设所有分支可能的条件，如数独暴力解法一样
右边是析取的就分别假设，合取的就两个都要得到
已证定理与导出规则的使用（为简化证明过程）
Pᴺ定理都是重言式，同理PR等值置换都是重言式，可直接引用
第三章 词项逻辑（拆分命题，表示命题内部各成分的性质）
一，直言命题
基本结构
（量项）+主项+（联项）+谓项
额外的内容将其纳入结构中，忽略其（命题逻辑）关系
表示肯定的联项可省略，但否定的联项不可省略
根据量项分类命题
全称命题
特称命题
存在命题，至少存在一个个体
所以有S是P不能推出有S不是P
从弱原则
至少有一个，至多全部
单称命题
指专有名词或摹状词，表示“这个，那个”
分类
全称肯定命题SAP（A）
所有S都是P
全称否定SEP（E）
所有S都不是P
特称肯定SIP（I）
有的S是P
特称否定SOP（O）
有的S不是P
单称
单称肯定SaP（a）
a是P
单称否定SeP（e）
a不是P
视为全称命题的特例，易犯混淆概念的谬误
主谓关系
主项谓项都只考虑外延（词项指称的对象或者集合、类别），不研究内涵（词项所表达的内容、意思）
例：人
内涵：能进行思维活动的动物
外延：整个古往今来存在过的人
实质就是两个非空集合间的关系，处理关系要先找出外延
不考虑内涵的理由：人各有理解，不同一，麻烦
外延关系
同一关系
S等于P
包含关系
S包含P
包含于
S包含于P（P里有S）
交叉
有些S是P，有些S不是P
全异
主谓相对于第三概念（三者加起来是全集）的关系可分为
矛盾关系
反对关系
对当关系
反对关系
A和E
不能同真，可以同假
矛盾关系
A和O
E和I
不能同真假，必定一真一假
SAP←→┓SOP
同理以下
差等关系（从属关系）
A和I
E和O
全称真蕴涵特称真，特称假蕴涵全称假
下反对关系
I和O
可以同真，不能同假
周延性
定义
给定的直言命题中是否断定（诉及）了主项或者谓项的所有外延的性质
断定了全部外延就是周延的，否则不周延
4类命题周延情况
A
主周谓不周
如：所有人都是动物，所以所有动物都是人
没有诉及所有的动物，只诉及了所有动物中是人的那一部分动物
E
主周谓也周
I
主不周谓不周
S和P的部分外延都没诉及
O
主不周谓周
有的人不是北大生，则有的北大生不是人
没有诉及北大生是否有人以外的东西，只诉及了所有北大生和部分人
概括
全称主周，特称主不周，肯定谓不周，否定谓周
个人认为重要性
日常语言中反驳对方的理由，有无诉及到
二，直接推理
定义
从一个直言命题出发（前提），推出另一个直言命题作为结论的推理
注意
区分P和┓p
分别为词项和命题
方法
换质法（“换句话说”）
定义：将一个直言命题由肯定变为否定（质），或者否定变为肯定，谓项变其矛盾概念（补集），得到一个等值的直言命题
特点
主项不变，量项（全称、特称、单称）不变
联项（是、不是、都是、都不是）和谓项变为各自的矛盾概念
P变P，即P的集合变为补集
得到的新直言命题与原直言命题真值完全相同
不能简单用AEIO表示了
SAP←→SEP
所有人都是动物←→所有人都不是非动物
SEP←→SAP
所有人都不是动物←→所有人都是非动物
SIP←→SOP
有的S是P←→有的S不是非P
SOP←→SIP
有的S不是P←→有的S是非P
换位法
定义：将一个直言命题的主项和谓项互换位置，质不变，改变量项得到一个新的直言命题（结论）
前提中不周延的项，结论不得周延
特点：前提和结论不一定等值，但前提诉及的（周延性）一定不比结论少，即前提不周延的，结论不能周延
SAP→PIS
所有S是P→有的P是S
SEP→PES
所有S都不是P→所有P都不是S
SIP→PIS
有的S是P→有的P是S
SOP不能换位
有的S不是P→有的P不是S
换了之后说的不是同一个东西，即主谓周延性变互换了
有些人不是大学生→有些大学生不是人×
换质位法
定义：先换质再换位，得到新直言命题
SAP→SEP→PES
SEP→SAP→PIS
SIP不能换质位
SIP→SOP，SOP不能换位
SOP→SIP→PIS
戾换法（不一定等值）
SAP→SEP→PES→PAS
凡有烟处必有火→凡有烟处不无火→凡无火处不有烟→凡无火处必无烟
有生必有死
无死必无生
PAS→PES
SOP不能戾换
PIS→POS
思考从SAP戾换到SOP，前提不周延的谓项，结论却周延了，怎么回事？
对当关系推理
反对关系推理
SAP→┓SEP
SEP→┓SAP
差等关系推理
SAP→SIP
SEP→SOP
┓SIP→┓SAP
┓SOP→┓SEP
矛盾关系推理
SAP→┓SOP
SEP→┓SIP
SIP→┓SEP
SOP→┓SAP
┓SAP→SOP
┓SEP→SIP
┓SIP→SEP
┓SOP→SAP
下反对关系推理
┓SIP→SOP
┓SOP→SIP
关于单称命题的推理
SAP→a是P
注意别搞混概念
所有中国人都是勤劳的（人）
我是中国人
我是勤劳的（人）
中国人（集体概念）是勤劳的
我不一定勤劳
a是P→SIP
三，三段论
定义
三段论是由一个共同词项把两个直言命题连接起来，得出一个新直言命题作为结论的推理
构成（省略联项和量项和格）
大前提
P（大项）+共同词项M（中项）
小前提
S（小项）+中项M
结论
主项S（小项）+谓项P（大项）
通常大前提在三者中诉及的内容最多 有效推理的结论是一定不比前提诉及得多
格
定义：根据中项在前提中不同的位置，以及大前提在上、小前提在下，把三段论分为四种不同的类型
第一格
MP SM SP
小前提必须肯定 大前提必须全称
中间字母只能是A或者I，首个字母只能是A或者E
AAA⁻1,AAI-1,AII-1,EAE-1,EAO-1，EIO-1
第二格
PM SM SP
两前提必有一否 大前提必须全称
M都是谓项，则必有一否，结论否，P周延，大前提必须全称 结论必须否定
AEE-2，AEO-2,AOO-2,EAE-2,EAO-2,EIO-2
第三格
MP MS SP
小前提必须肯定 结论必须特称
假设小前提否，则结论否且P周，则大前提P周，则大前提否，双否，则小前提必须肯定 则结论S不周，必须特称
AAI-3,AII-3,EAO-3,EIO-3,IAI-3,OAO-3
第四格
PM MS SP
如果大前提肯定
则小前提必须全称
如果小前提肯定
则结论必须特称
如果有一前提否定
则大前提必须全称
EAO-4
AEO-4
如果大前提特称
则必须IAI-4
如果小前提特称
则必须EIO-4
AAI-4,AEE-4,AEO-4,EAO-4,EIO-4,IAI-4
每格6个，总共24个有效式，其中9个含存在假设的有效式,6个差等式（结论可以全称的却得出特称）
式
总数量
4*4*4*4个格=256
定义：根据构成三段论的三个直言命题的质和量，把三段论分为不同的类型
有效式
判定方法
规则
图解
文氏图或欧拉图
公理演绎法
根据大前提（大多数情况）小前提（特定情况）推理出结论（新的一小部分情况）
规则
一般规则（足够判定所有三段论）
规则1
在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项
多于三个词项“四概念错误”一词多义
如中国的大学遍布全国各地，北京大学是中国的大学，所以北京大学遍布全国各地
混淆整体（集体）概念和个体概念
少于三个词项“伪装的三段论”
可能没法推理，结论依赖于前提的真值
规则2
中项在前提中至少周延一次
中项作为桥梁、媒介要使大前提与小前提产生某种的关系从而发生必然的结果（结论）， 就必须两前提中有一次关系是全部的（周延，任何情况都产生这种关系），另一次是全部或部分
违反规则2的错误
中项两次不周延
前提真结论也真
凑巧结论真，推理形式无效，不是逻辑保真（过程错结果对）
结论假
规则3
前提中不周延的项，在结论中不得周延
违反规则3的错误
大项周延不当
小项周延不当
规则4
两否定前提推不出任何确定（必然）结论
存在多种不确定的情况
规则5
如果有一个前提是否定的，则结论是否定的 如果结论是否定的，则必有一个前提是否定的
违反规则5的错误
结论和前提对着干 前提一肯一否，结论肯 前提两肯，结论否
推导规则（易认方便起见）
规则6
两个前提不能都是特称
II，IO，OI，OO
规则7
前提有一特称，结论必然特称
根据规则6必一全一特
定理
一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次
一词概括反驳：不一定
日常语言三段论
标准形式
先把所有前提和结论转化成标准形式的直言命题
用矛盾关系处理“并非”
注意双重否定表示肯定“没有……不是”“所有……都是”
区分结论、大小前提、中项
结论不含中项，注意四词项错误
按格式书写
判断该三段论是否是有效式
非标准形式
省略式
省大前提
小前提
结论
补全
复合式
前提中自带三段论需要整理和补充出来
连锁三段论
含多种三段论，前提可能是中间结论省略了的
同义词多的
通过时间地点等参数能够变形的
四，直言命题的存在含义问题
SAP→SEP→PES→PAS→SIP→SOP
违反前提中不周延的项，结论中不得周延的规则
原因：词项逻辑蕴涵“存在假设”成立，即全称肯定可以推出特称肯定，预设了主项存在（非空非全集）
如果去掉存在含义，那么AEIO对当关系不再成立
A和E不再是上反对关系，若不存在S，A则和E可以同真（假前提蕴涵任何结论）
I和O不再下反对，若不存在S，则可同假
A变I涉及的限制换位法、限制换质位法不再成立
三段论中9个由两全称前提得出特称结论的有效式不再成立
词项逻辑直言命题AEIO中都存在S
五，三段论有效性的图解判定
方法
欧拉图判定法
没啥限制
文恩图判定法
不假设主项存在，9个全称得特称的有效式在此无效
若假设主项存在，则画⊕，表示非空
三个圈分别表示主项、谓项、中项，把前提诉及的内容都画出来
优先画全称命题，不含主项的论域画上阴影
特称命题用“+”表示，不确定放线的哪边就在线上画“+”
第四章 谓词逻辑
派生原因
弥补命题逻辑和词项逻辑的局限性，能够处理关系命题及其推理、量词里含联结词的性质命题及其推理（能处理性质和关系）
研究范围
依据联结词进行的推论
依据量词进行的推论
同时依据联结词和量词进行的推论
所有命题都可用谓词逻辑作推理
第一节个体词 性质谓词 量词和公式
谓词逻辑中命题拆分
个体词
表示对象域中的个体的符号
个体变项
xyz等表示某个特定范围内（论域或个体域）的某个不确定的对象
含n个元就是n元函数，表示个体变项之间的关系
如G（x，y）表示x和y有G性质的关系，二元函数
个体常项
abc等～确定的对象
有专有名称的东西
某国的首都F（x） 中国的首都F（xᵃ）
论域（个体域）
一般指全域，即世界上能被想到谈到的事物
日常谈话无处不谈，不是特定的范围
若论域为D，Vx表示为对于x在论域D中所有取值
谓词
一元谓词（性质谓词）
谓词符号，大写字母表示
表示个体的性质，只带有一个项的
二个项及以上就表示它们之间的关系，n元谓词
原子公式
如F（a）、G（x），表示a是F，x是G
多元谓词（关系谓词）
涉及n个对象，n＞1
量词
全称V
VxF（x）读作“对于所有x，x是F”
∀xAx：Ax¹∧Ax²∧……∧Axⁿ∧……
论域中所有具有某种属性（F）的个体
存在∃
∃xF（x）读作“存在x使得x是F”
∃xAx：Ax¹∨Ax²∨……∨Axⁿ∨……
论域中存在具有某种属性的个体
联结词
辖域
量化公式
如Vx(F（x）→G（x）) ∃xF（x）∧VyH（y）
量词管辖的范围
有括号就管括号内的 没括号就管后面挨着的最短公式
如VxF（x）∧G（x）
量词Vx的辖域是F（x）
约束变项
有约束出现的公式
约束出现
一个变项的某一次出现被量词管辖到，即出现在辖域之内
自由变项
有自由出现的公式
开公式
至少含有一个自由变项的公式，真值不能确定
闭公式
没有自由变项的公式，通过给定论域和谓词符号和常项的解释后真值确定
个体变项可以同时约束又可以自由
自然语言中性质命题的符号化
6种直言命题
全称肯定SAP
Vx（S（x）→P（x））
子集关系
SEP
Vx（S（x）→┓P（x））
SIP
彐x（S（x）∧P（x））
存在着这样的x，x是S并且x是P
交集关系
SOP
彐x（S（x）∧┓P（x））
存在x，x是S并且x不是P
a是P
P（a）
例
F（x）：x的父亲 G（x）：x的作者 Q（x）:x是清朝的 P（x，y）:x是y的纺织府官员 a：曹雪芹 b：《红楼梦》 c：江宁
红楼梦的作者是清朝的
Q（G（b））
曹雪芹的祖父是江宁的纺织府官员
P（F（F（a））,c）
a不是P
┓a
┓P（a）
若论域确定为某特定范围，则只在论域范围内谈个体的性质
如所有人都不是植物，论域是人类
Vx┓S（x）
SEP的缩写
对于所有个体，如果个体是人类，则该个体不是植物
第二节 关系谓词 重叠量化 二元关系的性质
关系命题
断定个体之间具有某种关系
要素
个体词
关系谓词
涉及两个以上的个体，二元以上
量词
一阶语言L（一阶谓词逻辑语言）
二阶谓词逻辑
量词辖域影响到谓词，不单是个体
组成
初始符号
个体变项
个体常项
谓词符号
量词
联结词
辅足性符号
形成规则
若A是公式，则A前面可以跟量词 或者A可以是量词（空约束） 或者A含有量词了可以再跟量词（重复约束）
VxA，彐xA，A可以是任一公式
重叠量词
量词辖域里还有量词
重复约束个体词
含重叠量词的公式叫重叠量化式
注意区分重复量化和重叠量化和空约束
重复量化是多个量词约束同一个对象（个体）只有后面那个起作用
如彐xVx彐xF（x）等于彐xF（x）
空约束是量词没有约束对象，等于没有作用
如VxF（y）等于F（y）
Vx彐yA不能改成彐yVxA
辖域变了
自然语言中的关系命题符号化
如，没有最大的自然数（指0，1，2，3……）
翻译成没有否定符号、辖域一目了然的公式最好
可以理解成“总有比任一自然数大的自然数”
对于任一x，如果x是自然数，则存在y，使得y是自然数并且y大于x
字面翻译就是不存在最大的自然数
每个人都有父母
任何人都存在其父母这样的人
任何人都存在父和母
不好的没表达关系的翻译：Vx（Hx→Px）
如果约翰有一头驴，那么约翰喜欢它
对于任一一个体，如果它是驴并且是约翰（a）拥有的，那么a喜欢它
Vx（Dx∧Hax→Lax）
翻译成存在，蕴涵自由变元（可以是论域内任一东西）不妥
翻译成存在蕴涵存在也不妥，表明前件和后件不关联，前件的驴不一定是后件那头驴
注意把谓词的关系表达出来，即把谓词符号展开写
个体数量问题
至少、恰好、至多等数量词
用s≠t表示¬（s＝t）
二元关系的逻辑性质 排序问题
不同关系不同性质
自反的
x与自身x有R关系
对称的
xy位置可换
关系R是对称的，当且仅当，VxVy（R（x,y）→R（y,x））
传递的
xyz之间都能两两有R关系
第三节 模型和赋值 普遍有效式
L通过M和赋值获得意义和真值
模型M
个体域D
给定有一定性质的个体所构成的非空集合
如个体域D为全域，则x为任何东西
D上的一个解释函数I
I把L（一阶语言）中个体常项c解释为D中某个特定个体I（c），谓词符号解释为D中具有某种性质的个体的集合
如σ（F（t1,t2,t3…））中F表示后面括号里个体词的集合
有闭公式（无自由变项的公式）只有的东西（谓词符号、量词、约束变项、个体常项），意义和真值就确定了
赋值σ（只有真假T和F两个值二选一）
指派ρ：一次性给L中所有自由变项指派D中个体
（指定派谁干嘛去）
如李白，李白是什么没指派就没法判断
σ＝<M，ρ>
各种公式在σ下为真时，当且仅当
F（t¹t²…）
在σ下为真，当且仅当t¹t²……确实有F关系（属于集合F）
σ<t¹t²……>∈σ（F）
VxA（把公式A看成集合）
将A中的自由出现的x解释为个体域D中的每个个体词后，A总为真
彐xA
将A中自由出现的x解释为在D中的某个个体词后，能使A为真
┓∧∨→←→真值条件同命题逻辑
普遍有效式（谓词逻辑的规律，也称常真式）
举例,尝试解释
∀xF（x）→F（y）
F（y）→∃xF（x）
∀x（F（x）∨¬F（x））
¬∃x（F（x）∧¬F（x））
∀xFx↔¬∃x¬Fx
∃xFx↔¬∀¬Fx
∀x（Fx→Gx）→（∀xFx→∀xGx）
为什么不能是↔？
十个人考过了就都请去吃饭（要求更苛刻），推不出谁考过了谁就请去吃饭（要求更宽松）
后者，教练承诺的十个人全考过才会兑现请全部人吃饭承诺 但凡有一个没过就可以不兑现，当然也可以兑现
∀x（Fx∧Gx）↔（∀xFx∧∀xGx）
为什么不能是∨？
如所有人，有男有女推不出这帮人所有是男或所有是女
∃x（Fx∨Gx）↔（∃xFx∨∃xGx）
∧？
有人即是男又是女碰巧推得出有人是男并且有人是女 但有人即是男并且有人是女推不出有人即是男又是女
∃x∀yRxy→∀y∃xRxy
普遍有效式判定问题
谓词逻辑不可判定，没有通用的办法判定所有命题，只能局部判定
原因被量化的某些个体是否具有某些性质，要挨个查清 个体域无穷的话，那查不清了，除非查出一个不是，要是重叠量化更麻烦了
局部判定方法
树形图
命题逻辑9个联结词规则仍有效 |竖杠表示由楼上所有支得到新支
先使用联结词规则，再使用有α要求的量词规则，最后使用无α要求的量词规则 如有α要求的要分叉，必须先分叉
扩充量词规则 （目的消去量词）
∀（不能打勾，不能穷尽例子，所以能反复使用）
： ∀xAx ： | A（x/t），如果t对x代入自由（t不能被任何量词管辖， 如果A里有量词，则t不能被A管辖， 即A里有被管辖的个体y，则t不能是y）
如果∀xAx为真，则A对于个体域中任一个体为真 其个体域中部分一群个体为真，几个个体为真，特定个体也为真
¬∀（可打勾，只能用一次， 可找到个体域中的例子）
： ¬∀xAx ： | ¬A（x/α）如果α是该分支（其他分支可用）先前没出现过（避免同一个体被多个谓词影响）的特指常项（还不知道具体是哪个）
如果¬∀xAx为真，则Ax至少对于个体域中有的个体不成立（SOP）
∃⁻（可打勾……逻辑只能保证有一个例子）
： ∃xAx ： | A（x/α）如果α是先前没有出现过的特指常项
¬∃（不能穷尽例子）
： ¬∃xAx ： | ¬A（x/t）如果t对x代入自由
树形图不封闭的情况
部分分支循环无矛盾（一元谓词）
可预见的可满足式，即原公式不是普遍有效式
不循环但支无限延展（二元以上谓词） 能终结的原公式都是有效式
没法判断有无矛盾，无法终结树形图，即原公式不知道有没有效
解释方法（模型方法）举例子
一个解释就是一个赋值
σ：<<D，I>，ρ> 即一个模型加上指派
证明不是普遍有效式，需要举反例（反模型） 证明可满足式，需要举一个例即可
证明不是普遍有效式，但是可满足式，则要一个反例一个正例
证明普遍有效式，需要所有逻辑上可能的解释都为真
证明不是可满足式，需要所有逻辑上可能的解释都为假
只能反证法（树形图可用）
假设原公式不有效/可满足， 存在一个反例使得原公式不成立 推出不存在这样的反例
注意解释时要说清的点
个体域D
常项符号和谓词符号的意义I
如果涉及开公式，ρ在D中指派什么自由变项
谓词逻辑的自然推演
Qᴺ推理规则
是Pᴺ的扩充
Pᴺ处理不了量词，通过Qᴺ消去量词，然后Pᴺ处理命题联结词，最后根据想要得到的样子用Qᴺ加上量词
增加的4个量词规则
∀⁻
∀xAx┣A（x/t）
如ⱯxƎyRxy ，t代入x不能是y（限制t不被管辖）
t不被约束的情况
t是个体常项
A是原子公式（不含量词）
A含量词，但x不被A管辖到
A含量词，且x被A管辖到
t必须是A管辖的个体变项之外的一个变项 否则t对A中x代入不自由（被约束）
∀+
Ax┣∀xAx（x为任一自由变项）
若不能确保前提中的自由变项x是任意的， 则需要给x加标记，表示不能使用Ɐ+规则
任意的如Rxyz，可以是Rxxx，只要x不加标记
啥是自由变项
没有量词约束的公式里的不确定的个体词
如Rax中的x Fx中的x
需要给自由变项加标记的情况
给定前提的自由变项
假设引入的自由变项
从前提或假设推演得到的自由变项
有特指常项做下标的自由变项
不用标记的情况
由Ɐ⁻得到的自由变项
Ǝ⁻
ƎxAx┣A（x/α），α为先前没出现过的特指常项 若A中有x以外的自由变项y，则标记y（同上）
Ǝ+
A（x/t）┣ƎxAx，t不能被约束
注意：同树形图法，有α要求的量词先推演，没要求的后推演
推演原则
推演过程中每个步骤想得到什么公式，如何从前提得到结论
量词规则只能对最前端且辖域为整个该公式时使用（该规则只能用于整体，同Pᴺ规则）
如A→ⱯxⱯyⱯzB
必须先消去→ 得到后件，才能Ɐ⁻ 而且只能消最外层的Ɐ
若想得到ⱯxⱯzB
先消去→再消去Ɐx再消去Ɐy最后引入Ɐx
具有可靠性和完全性
所有有效式↔所有Qᴺ定理
即Qᴺ推出来的公式都普遍有效，能拿来当导出规则用
等词理论和摹状词分析
一、等词理论
扩充L缘由
“＝”在数学和自然语言中被普遍使用，有重要性
等词的特征性质
自反性
Ɐx（x=x）
对称性
ⱯxⱯy（x=y→y=x）
传递性
ⱯxⱯyⱯz（x=y∧y=z→x=z）
同一者不可分辨原则
ⱯxⱯy（x=y→（Fx→Fy）)
莱布尼茨提出
不可分辨者同一原则
ⱯxⱯy(（Fx↔Fy）→x=y)
同上
等词用途
可以符号化一些自然语言
至少一个x是F
ƎxFx
至少两个x是F
ƎxƎy（Fx∧Fy∧¬（x=y））
有两个个体是F且它们各不相同
至少三个x是F
ƎxƎyƎz（Fx∧Fy∧Fz∧¬（x＝z）∧¬（x＝z）∧¬（y=z））
至多一个x是F
ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x＝y）
若有两个个体，则它们是同一个体
至多两个
ⱯxⱯyⱯz（Fx∧Fy∧Fz→（x＝y）∨（x＝z）∨（y=z））
对于任何的z，不是等于x就是等于y，或者x等于y
若有三个个体，它们至少有两个是同一个体
至多n个
同理，若有n+1个个体，它们至少有两个是同一个体
恰好一个x是F
至多一个并且至少一个
ƎxFx∧ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x=y）
Ǝx（Fx∧Ɐy（Fy→x＝y））简写
恰好n个
至多n个并且至少n个
李倩有一对儿女
李倩：α Sxα：α的儿 Dyα：α的女
ƎxƎy（Sxα∧Dyα∧Ɐz（Szα∨Dzα→（z＝x）∨（z＝y）））
存在这样的个体x个体y，x是α的儿并且y是α的女，并且对于所有z，如果z是α的儿或者女，则z和x是同一个体或者z和y是同一个体
第五章 归纳逻辑
定义
以归纳推理和归纳方法为基本内容的知识体系
对比
演绎推理
保真性、必然性的推理 结论断定的内容不超过前提
有归纳推理的支撑前提
归纳推理
或然性的推理 结论断定的内容超过前提
分类
传统归纳逻辑
个别经验上升到普遍必然性的一般知识
现代归纳逻辑
可信度、概率统计
意义
启发人们从已知大胆向未知探索，创造、发明、发现等离不开归纳逻辑
推理方法
简单枚举法
定义：根据已观察到的那部分对象具有某种属性，并且没有遇到任何反例 从而推出该类对象都具有该种属性的结论
可靠性要求
被考察对象数量要足够多
范围足够广
对象之间差距足够大
很不可靠的简单枚举法被称为
以偏概全、轻率概括
本质上归纳推理都是以偏概全
科学归纳法
观察加上科学研究，是简单枚举法派生出的变形
科学研究与科学研究之间存在个体差异
说难听点也分三六九等，取决于有多科学
表述公式
迄今为止观察到的所有S都是P，且科学研究表明，S和P之间有必然联系 所以，所有S，不论是否已经被观察到，都是P
完全归纳法
把简单枚举法的数量和分布调查到极致
适用范围很小但足够可靠
观察了所有的S 所有S都是P没有反例 所以所有S都是P
排除归纳法
寻求因果关系的方法 （根据因果关系的特点设计）
求同法
一些现象时而出现时而不出现，由于普遍性，因果恒常伴随 这些现象肯定不是被研究现象的原因
公式
场合1有先行现象ABC，有被研究现象a 场合2有ABD，a 3有ACE，a 所以A（可能）是a的原因
优点
为寻找因果关系提供思路，有一定可靠性
缺点
可能错把表象当因，没挖掘背后真正的同是因
如果是失眠，寻因找共同点 找上了每天都洗澡但事情天天不同，却忽略了各种事情造成的兴奋
如何避免失眠 避免或停止兴奋
求异法
场合1 有ABCD和a 场合2有BCD，没有a 所以A是a的原因
常用于对照实验
求同求异法
以上两者结合，两者前提放一起得出结论
正面场合（例如有A）+反面场合（没A）
共变法（控制变量法）
A和a两者跟随其一发生一定程度的变化，则可能有因果关系
剩余法
有ABCDabcd Aa有因果关系 Bb Cc 所以Dd有因果关系
因果关系的特点
普遍性
共存性
先后性
因总在前，果总在后， 但在前不一定是因，可能另有其因 易混淆
如何避免混淆
“真的是这样吗，有没有可能 暂时先这样，但以后不好说”
复杂多样性
有多因一果，一因一果，一因多果等 还有主因次因，远因近因（直接原因、根本原因）
类比推理
A有属性abcd Babc 所以B有d
能使人举一反三，获得启发或灵感
如鲁班发明锯子
很不可靠的类比推理称为
机械类比 荒唐类比
模拟方法
模型，建模
比较方法
对比列表，找同异
常见错误
强行对比，欺骗性对比 假对比，根本没说比啥
假说演绎法
步骤
一、起点：问题和困境
二、形成假说：溯因推理
待解释现象e 如果h，则e 所以h
e 如果h1或者h2或者……hn，则e 并非h2 并非h3 …… 所以h1
三、从假说推出观察结论
四、验证假说：证实和证伪
评价标准
保守性
普遍性
简单性
可反驳性
要有经验证据，与世界接轨
形而上学无经验证据
谦和性
精确性
经过不断证实或证伪，抛弃或者修改
可信度越来越高
休谟的归纳问题
归纳推理是合理的吗