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第四单元 方程（组）与不等式（组）
初中数学《方程（组）与不等式（组）》知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示
编辑于2023-08-05 23:02:43 山东省- 相似推荐
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方程（组）与不等式（组）
一、 —元次方程
（1） 方程的有关概念
1. 等式
①等式的含义
用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式
注意
不要将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”,而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。如2x+8,4-x是代数式，而2x-6=5才是等式。
②等式的性质
性质
a. 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。 即：如果a=b，那么a±c=b±c
b. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，那么a/c=b/c(c≠0)
c. 等式除了具有上述两条性质外，还具有以下两个常用的性质： 对称性：如果a=b，那么b=a； 传递性：如果a=b，b=c，那么a=c(也叫等量代换)
拓展
a. 若a±c=b±c，则有a=b
b. 若ac=bc(c≠0)，则有a=b
c. 若ac=bc，则未必有a=b，如3×0=2×0=0，但3≠2
d. 若a/c=b/c(c≠0)，则有a=b
③等式的分类
a. 恒等式：如1+2=3，a+b=b+a，在字母允许的取值范围内不论等式中的字母取何值，等式两边的值相同的等式，我们把它叫做恒等式
b. 条件等式：只有当等式中的字母取某些值时才成立的等式，如4+x=7，只有当x=3时，等式左、右两边的值才相等，这种等式，我们把它叫做条件等式.
c. 矛盾等式：它是指无论等式中的字母取何数值，等式的左、右两边的值都不相等，如a²+4=1，我们把它叫做矛盾等式
2. 方程的定义
含有未知数的等式叫方程： 它有两层含义：一是方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；二是方程中至少含有一个未知数，两者缺一不可。如23-x=7
3. 方程与等式的比较
方程一定是等式，是含有未知数的等式； 而等式却不一定是方程，因为等式不一定含有未知数
4. 方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值是方程的解
注意
一、要判断一个数(或一组数)是不是某一方程的解，只要将其分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它是方程的解，若左边不等于右边，则它不是方程的解。 二、方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。
5. 解方程
求方程解的过程叫做解方程
注意
①一般地，不同的方程有不同的求解过程. ②等式的基本性质是解方程的依据. ③方程的解是结果，而解方程是得到这个结果的一个过程.
6. 拓展：同解方程的概念及原理
概念：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程
方程同解原理1；方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程
方程同解原理2；方程两边都乘以(或除以)同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程
（2） 一元一次方程及其解法
1. 一元一次方程的定义
在一个整式方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程
2. 一元一次方程的一般形式
任何一个一元一次方程均可以整理为ax+b=0的形式，其中a，b为常数，且a≠0。这个形式是一元一次方程的一般形式。如果明确指出方程ax+b=0或ax=b是一元一次方程，就隐含着条件a≠0
3. 移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项
注意
a.所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置。 b.移项时要变号，不变号不能移项。 
4. 解一元一次方程的一般步骤
步骤（见注释）

注意
解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活运用. 对于求解的结果，定要检验是否正确
5. 含字母系数的一元一次方程的解法
①含字母系数的一元一次方程的解法和数字系数的一元一次方程的解法类似，即包括去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等这些基本步骤
②方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式
③将方程化简到ax=b的形式时，要对a的取值有所交代，若已给出条件，则可用已知条件，再求解；若没有给条件，则要对未知数的系数进行讨论

（3） 列方程解应用题
基本过程

列方程解应用题的一般步骤
①审：审题，找出题中的已知量和未知量，并明确各数量之间的关系；
②设：设未知数；
③找：找出题目中所有的数量关系，并用式了表示出来；
④列：根据等量关系列出方程；
⑤解：解所列的方程；
⑥答：检验并写出答案
找等量关系的方法
①分析问题中的不变量，利用不变量找等量关系；
②利用“总量=各个部分之和”寻找等量关系；
③用不同的方式表示同一个量，找等量关系；
④从题目的关键词入手，如“多、少、快、慢、共、提高、增加、超过、减少、倍、几分之几”等，找等量关系
常见列方程解应用题的几种类型

二、 二元一次方程组
01二元一次方程
（1） 二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。其一般形式是ax+by+c=0(a≠0，b≠0).
（2） 构成二元一次方程的条件
①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数
②“未知项的次数是1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1，如3xy的次数是2，所以方程3xy-2=0不是二元一次方程.
③二元一次方程的左边和右边都必须是整式。
例如方程  的左边不是整式, 所以它不是 二元一次方程
（3） 二元一次方程的解
①概念：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解
②特点：二元一次方程的每个解都包括两个末知数的值，是一对数值。
如 x=7 不是方程 x+y=18的一个解, 而 才是方程 x+y=18 的一个解
③一般情况下，一个二元一次方程有无数个解
注意
a.书写方程组的解时，必须用“{”把各个未知数的值连在一起，即写成的形式。 b.一元方程的解也叫做方程的根，但是方程组的解只能叫解，不能叫根。
（4） 二元一次方程的整数解问题
由于二元一次方程的解可以不唯一(无数多个)，所以在实际生活中关于求二元一次方程的整数解的例子可能有多种解
李聪同学拿10元钱去购买圆珠笔和笔记本，已知圆珠笔1元钱一支，笔记本2元钱一本.问李聪同学共有几种不同的购买方法? 可设买圆珠笔x支，笔记本y本. 依题意，得：x+2y=10. 这个问题就是要求x+2y=10的整数解.2y=10-x,即  当x=2时，y=4; 当x=4时，y=3; 当x=6时，y=2; 当x=8时，y=1; 所以，共有四种不同的买法
02二元一次方程组
（1） 二元一次方程组
含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组.其一般形式是
注意
a.方程组中的各方程中，相同字母必须代表同一个量。 b.二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起构成，如 也是二元一次方程组。 c.二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
（2） 二元一次方程组的解
二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
（3） 二元一次方程组解的情况
①A₁/A₂≠B₁/B₂时，方程组有唯一 一组解
②A₁/A₂=B₁/B₂≠C₁/C₂时，方程组无解，即方程组中的两个二元一次方程没有公共解
③A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂时，方程组有无数组解，即方程组中的两个二元一次方程有无穷个解
（4） 检验方程组的解
检验方程组的解的常用方法是：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否则，就不是
03二元一次方程组的解法
（1） 代入消元法
概念
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法
步骤
①选：选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=mx+n或x=my+n的形式；
②代：将y=mx+n或x=my+n代入另一个方程，消去一个y或x，从而得到一个一元一次方程；
③解：解这个一元一次方程，求出x或y的值；
④回代求解：将已求出的x或y的值代入方程组的任一个方程或y=mx+n(或x=my+n)中，求 出另一个未知数；
⑤联：把求得的未知数的值联立写成形式.
注意
a.步骤①中所选取的方程，未知数的系数应尽量简单，其绝对值为1最好 b.步骤②中所得到的式子必须代入另一个方程，不能代回原方程. c.方程组的解是一对数
（2） 加减消元法
概念
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法
步骤
①化：将方程组中的方程化为有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；
③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④代：把求得的那个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值；
⑤联：把求得的未知数的值联立写成形式.
（3） 代入法与加减法的选择
一般地， 当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0 时，用代入法比较简便； 当两个方程中含某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较简便
04列二元一次方程组解应用题
（1） 步骤
(1)审：审题，分析题中的已知量与未知量，找出题中的相等关系；
(2)设：设出两个未知数(一般是求什么就设什么);
(3)列：根据相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
(4)解：解这个方程组，求出未知数的值；
(5)检：检验所求得的解是否符合题意，符合题意即为应用题的解；
(6)答：答出结果(包括单位名称)
（2） 注意
a.在“设”和“答”时，注意写清楚单位名称 b.在列方程组时，要注意等号左、右两边单位的统一 c.在求得方程组的解后，不但要代入方程组中每一个方程进行检验，而且要判断结果是否符合实际
05三元一次方程组
（1） 三元一次方程概念
三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。如x+y-z=1，2a-3b+c=0等都是三元一次方程
（2） 三元一次方程组的概念
一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个相同未知数的方程组，叫做三元一次方程组
（3） 解三元一次方程组的基本思路
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组
（4） 解三元一次方程组的一般步骤
①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值
⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起
（5） 注意
a.要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数； b.原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次。
三、 不等式与不等式组
01不等式的有关概念及其分类
（1） 不等式的有关概念
①不等式
用不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.如：x<3，-1>-2等.
注意
a.不等号包括“>”“<”、“≥”、“≤”、“≠”等 b.“≥”和“≤”分别读作“大于或等于”和“小于或等于”,且分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义，即x≥a表示x>a或者x=a；x≤a表示x<a或者x=a。 c.有些不等式中不含未知数，有些不等式中含有未知数，如3>2
②不等式的解
使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解
③不等式的解集
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式
④不等式解集的表示方法
用数轴(通常取向右为正方向)表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号(≥或≤)画实心点，无等号(>或<)画空心圆
（2） 不等式的分类
①绝对不等式
在任何条件下都能成立的不等式，如1<2等.
②矛盾不等式
在任何条件下都不能成立的不等式，如3>5等.
③条件不等式
在一定条件下才能成立的不等式，如x-2<6等
02不等式的基本性质
性质
性质1
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.即如果a>b，那么a±c>b±c
性质2
不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，c>0，那么
性质3
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么
注意
同乘或同除以的数一定不能为0,且需要注意符号
不等式的性质与等式的性质的比较（见注释）

03一元一次不等式
（1） 一元一次不等式的概念
一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，这样的不等式叫一元一次不等式.其一般形式是ax+b>0或ax+b<0(a≠0)
（2） 一元一次不等式的解法
①去分母(根据不等式性质2或3);
②去括号(根据整式运算法则);
③移项(根据不等式性质1);
④合并同类项(根据合并同类项法则);⑤系数化为1(根据不等式性质2或3)
注意
当不等式两边有公因式时，不能随意约去公因式，要先确定公因式的符号.若不能确定，要分类讨论
（3） 方程ax=b与不等式ax>b及ax<b解法的比较

04一元一次不等式组
（1） 一元一次不等式组的概念
把含有同一个未知数的两个(或以上)一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组
（2） 一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫不等式组的解集。 如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解。 几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的
解集的四种类型(a，b为实数，且b>a)（见注释）

（3） 一元一次不等式组的解法
①先分别求出不等式组中各个不等式的解集
②利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，也就得到了不等式组的解集
（4） 几种特殊不等式(组)的解集
①关于x的不等式组的解集为x=a
②关于x的不等式组的解集为空集
③关于x的不等式x²+a≥a的解集为全体实数；关于x的不等式x²+a<a的解集为空集
④不等式√x²≥0(或x²≥0)的解集为全体实数；不等式√x²<0(或x²<0)的解集为空集
（5） 不等式(组)的特殊解
不等式(组)的解有无数个，但如果加上一定的条件来限制，如正整数解、非负整数解、偶数解等，其解往往为有限个。 解决这类问题的一般步骤为： 先求出不等式(组)的解集，再从解集中找出所有特殊解.其中要注意特殊解的取值范围不要搞错。
05确定一元一次不等式（组）中字母的取值范围
（1） 已知不等式的解集
①根据不等式的最简形式(ax>b或ax<b)与不等式的解集中不等号的方向是否发生改变，可判断a的符号。若不等号的方向发生了改变，则a<0；若不等号的方向没有发生变化，则a>0
②利用方程知识来确定字母系数。如已知不等式7x+5m>2x-10的解集为x>2，我们可先解这个含有字母系数的不等式，得x>-m-2，而其解集为x>2，故可得出-m-2=2，从而求得m的值
（2） 已知不等式组的解集
首先把不等式组的解集用含有字母的形式表示出来，然后再把它与已知解集联系起来求解，这类问题有时要运用方程知识，有时要用到不等式知识，在求解过程中可以利用数轴进行分析
06列不等式（组）解应用题
（1） 列不等式(组)解决实际问题中的一些关键词语
列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、“超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号.对一些实际问题的分析还要注意结合实际，有些不等关系隐含于生活常识中，如小明用30元去买单价为4.5元的笔记本，设买了x本，求x的取值范围时，其问题中就隐含着所花钱数不能超过30元，由此可得出不等式4.5x≤30.
（2） 列不等式(组)解决实际问题的一般步骤
①审：分清题目中的已知量和未知量，找出已知量和未知量之间的所有的不等关系；
②设；设出适当的未知数；
③列：依据各个不等关系分别列出相应的不等式，从而组成不等式组；
④解：求不等式组的解集；
⑤答：检验解集是否合理，是否符合实际情况，作答
四、 一元二次方程
01一元二次方程的相关概念
一元二次方程的概念
概念
等号两边都是等式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程
同时满足三个条件
①方程的两边都是关于未知数的整式；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2
一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项
在一元二次方程的一般形式中，b,c可以是任意实数，二次项系数a是不等于0的实数；反之，如已知方程是一元二次方程，则已经隐含了“a≠0”这个条件.
注意
a.“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分.因为方程ar2+bx+c=0只有当α≠0 时，才叫做一元二次方程.例如，当α=0,b≠0时，它就是一元一次方程了. b.二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式
一元二次方程的根
使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
注意
由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解，即是否符合实际意义.
02一元二次方程的解法
解法
1、直接开平方法
如果方程能化成x²=p(p≥0)或(mx+n)²=p (m≠0，p≥0)的形式，那么直接开平方可得x=±√p或mx+n=±√p。 它的特征是：左边是一个关于未知数的完全平方式，右边是一个非负数。由于负数是没有平方根的，所以当p<0时，方程无解
2、配方法
①通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法
配方法的理论依据是完全平方公式，一般地，任何一个一元二次方程都可以利用完全平方公式转化成(x+m)2=n的形式，当n≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解
②用配方法解一元二次方程的一般步骤
a.移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，即ax²+bx=c
b.二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数
c.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x+m)²=n的形式
d.用直接开平方法解变形后的方程
3、公式法
①一元二次方程根的判别式
一般地，式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母△表示，即△=b²-4ac
a.当△>0时，一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)有两个不相等实数根
b.当△=0时，一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)有两个相等实数根，即
c.当△<0时，一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)没有实数根
②求根公式
当△≥0，方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为
③用公式法解一元二次方程的一般步骤
a.化方程为一般形式，即ax²+bx+c=0(a≠0);
b.确定a，b，c的值，并计算b²-4ac的值(注意：符号);
c.当b²-4ac≥0时，将a，b，c及b²-4ac的值代入求根公式，得出方程的根 当b²-4ac<0时，原方程无实数解.
注意
在运用公式法解一元二次方程时，一定要先把方程化为一般形式，再确定a,b,c的值，否则，易出现符号错误.
4、因式分解法
①把一元二次方程的一边化为0，而另一边因式分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法.
因式分解法的理论依据是几个数的积为0,那么这几个数中至少有一个为0.即若a·b=0,则a =0或b=0.
②因式分解法解一元二次方程的步骤
a.将已知方程化为一般形式，使方程右端为0;
b.将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积；
c.分别令方程左边的两个因式为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解
注意
解一元二次方程常用的方法有四种，使用时关键是选择适当的方法，一般按照先特殊后一般的顺序选择，考虑的顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法。没有特殊要求，配方法一般不用，因为配方法解方程比较麻烦，但配方的方法要熟练掌握。
03一元二次方程根的判别式的应用
(1)不解方程，由根的判别式的正负性可直接判定根的情况；
(2)根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围；
(3)应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有不相等实根、有相等实根).
注意
a.△=b²-4ac只适用于一元二次方程 b.根的判别式是指△=b²-4ac,而不是√(b²-4ac) c.使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值 d.如果说方程有实数根，那么应该包括有两个不等实根和有两个相等实根两种情况，此时，△=b²-4ac≥0,切勿丢掉等号.
04一元二次方程根与系数的关系
（1） 一元二次方程根与系数的关系
如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x₁，x₂，那么。反过来也成立，即如果实数x₁，x₂满足，那么x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根.
（2） 一元二次方程根与系数的关系的两个推论
推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x²-(x1+x2)x+x1·x2=0
（3） 一元二次方程根与系数关系的应用
①验根，不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根.
②由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数.
③不解方程，可以利用一元二次方程根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值，如
④已知方程两根，求这个一元二次方程.
⑤已知两数的和与积，求这两个数.
⑥根的符号的讨论
△≥0，且x1·x2>0时，两根同号. △≥0，且x1·x2>0，x1+x2>0，两根同为正数. △≥0，且x1·x2>0，x1+x2<0，两根同为负数.
当△>0，且x1·x2<0时，两根异号. 当△>0，且x1·x2<0，x1+x2>0时，两根异号且正根的绝对值较大 当△>0，且x1·x2<0，x1+x2<0时，两根异号且负根的绝对值较大
注意：对称式
如果把含x1，x2的代数式中的x1，x2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于x1，x2的对称式
如果把含x1,x2的代数式中的x1,x2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于x1,x2的对称式，常见对称式 
05二次三项式的因式分解
(1)二次三项式的分解
当我们要分解二次三项式ax²+bx+c时，若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的解为x1，x2，那么其可分解为a(x-x1)·(x-x2)，我们把ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)叫做二次三项式的因式分解公式，其中a≠0，x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根.
(2)用公式法分解因式(二次三项式)的一般步骤
①用求根公式求出二次三项式ax²+bx+c对应的方程ax²+bx+c=0的两个实数根x1，x2
②将a，x1，x2的值代入二次三项式的因式分解公式，写出分解式ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
(3)如何判定二次三项式在实数范围内能否因式分解
对于二次三项式ax²+bx+c，当△=b²-4ac≥0时，能在实数范围内分解因式；当△=b²-4ac<0 时，不能在实数范围内分解因式.
06列一元二次方程解应用题
(1)列一元二次方程解应用题的一般步骤
步骤
①审：即审题，分析题意，了解已知量、未知量以及它们之间的数量关系
②设：设未知数，根据不同问题确定直接设未知数还是间接设未知数
③列：根据确定的相等关系列出方程
④解：解出所列方程，
⑤检验：检验求出的方程的根是否符合实际要求，不合要求的舍去.
⑥答：答题，不要漏掉该有的单位
注意
凡求出的方程的解一定要检验，检验包括两个方面： 一是代入原方程检验， 二是是否符合实际
(2)常见的一元二次方程的应用
①增长率(降低率)问题
公式为A=a(1±x)ⁿ，其中a是增长(或降低)的基础量，x是平均增长(或降低)率，n是增长(或降低)的次数，增长为a(1+x)ⁿ，降低为a(1-x)ⁿ
②利润等量关系
利润=出售价-进货价，利润率=(利润/进货价)×100%
③利率等量关系
a.本息和=本金+利息； b.利息=本金×利率×期数； c.利息税总额=利息总额×利息税率
④数字问题的解题方法
a.两位数=十位数字×10+个位数字 三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字
b.三个连续整数可设为x-1，x，x+1;三个连续奇数(或偶数)可设为x-2，x，x+2等
⑤有关面积问题
S长方形=长×宽，S正形=边长²，S圆=π×半径²，等等
五、 分式方程
01分式方程的概念
概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程与整式方程的区别在于分母是否含有未知数
注意
分式方程有两个重要特征： a.必须是方程； b.分母中必须含有未知数
02分式方程的解法
（1） 基本思路
解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程(即一元一次方程或一元二次方程)进而求解.
（2） 方法
1. 去分母法
步骤
①找：找出各分母的最简公分母，
②化：方程两边同时乘以各分母的最简公分母，约去分母，化成整式方程.
③解：解这个整式方程
④验：把求出的整式方程的根代入最简公分母检验.若使最简公分母等于0，则是原方程的增根，增根必须舍去；若使最简公分母不等于0，则是原方程的根.
注意：验根方法
验根还有一种方法：把整式方程的根代入原分式方程，若使原方程的分母不为零，就不是增根；若为零，就是增根.
2. 换元法
概念
在解代数问题时，对于某些难度较大的问题，可通过添设辅助元素来解决.辅助元素的添设是将原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法
步骤
①找：找元。换元法是一种特殊方法，它仅在特殊情况下才能使用： 第一种情况是“倒数型”； 第二种情况是“平方型”；
②换：换元，注意整体代换，换元的目的是把分式方程化成整式方程
③解：解这个整式方程，将求出的解代入换的“元”中再求解.
④验：将求出的解代入各分母的最简公分母检验，若使最简公分母等于0，则是原方程的增根，舍去；若使最简公分母不等于0，则是原方程的根
注意
a.换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法，它的基本思想是通过换元把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程. b.分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法 c.无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤. 
03分式方程的增根
(1)方程的增根
使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根
(2)分式方程产生增根的原因
解分式方程，总是将方程两边同乘以含未知数的整式(即最简公分母)，将分式方程化为整式方程。这就是解分式方程会产生增根的原因，因此，解分式方程必须验根，以便舍去增根
04列分式方程解应用题
其步骤类似于列一元一次方程解应用题，即审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验并写出答案。不同的是，因为学习了分式后，表示量与量关系的代数式就可以不受整式的限制，也可以用分式表示
注意
列分式方程解应用题的检验要分两步： 第一步，检验它是否是原方程的根； 第二步，检验它是否符合实际问题.