第一单元有理数（知识点全解）

初中数学《有理数》知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示，一起来看吧！

有理数

• 一、有理数的意义及相关概念
  • I. 有理数
    • 01正数和负数
      • (1)正数
        • 正数； 像3 ， 1. 8% ， 3 . 5 这样大于0 的数叫 做正数。正数前的符号" + "(正)可以省略
      • (2)负数
        • 负数； 像- 3 ， - 2. 7% ， - 4. 5 这样在正数前 面加上符号"一" ( 负) 的数叫做负数.
      • (3)“0”
        • 既不是正数，也不是负数
      • 注意
        • a.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有相反意义的量 b.0是正数与负数的分界.0的意义不仅是表示“没有”,还可以表示其他意义.如0 ℃是一个确定的温度，海拔0 m表示海平面的海拔高度. c.对于正数和负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数，要看其本质是正还是负。如： 当a>0时，a表示正数，-a表示负数； 当a<0时，a表示负数，-a表示正数； 当a≥0时，a表示非负数。 d.正数前的符号" + "(正)可以省略
    • 02有理数及其分类
      • (1)有理数的定义
        • 正整数、0 、负整数统称为整数； 正分数和负分数统称为分数； 整数和分数统称为有理数。
      • (2)有理数的分类
        • ①按有理数的定义分类
          • 整数
            • 正整数
            • 零
            • 负整数
          • 分数
            • 正分数
            • 负分数
        • ②按正负分类
          • 正有理数
          • 零
          • 负有理数
      • 注意
        • a.无限循环小数可写成分数形式，所以是有理数，但无限不循环小数不是有理数 b.所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的有理数组成有理数集合. c.正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0统称为非负整数，负整数和0统称为非正整数
  • II. 几个重要的概念
    • 01数轴
      • (1)数轴的定义及画法
        • 1. 定义
          • 在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直 线叫做数轴
        • 2. 画法
          • 1、在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
          • 2、通常规定直线上从原点向右(或上)为正方 向，从原点向左(或下)为负方向；
          • 3、选取适当的长度为单位长度。直线上从原点向右， 每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2 ，3 ， …； 从原点向左，用类似方法依次表示- 1， -2，-3....。分数或小数也可以用数轴上的点表示
      • (2)数轴的三要素
        • 原点、正方向和单位长度， 三要素缺一不可。
        • 注意
          • a.原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取，但同一数轴的单位长度要一致. b.确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，如从原点向右，依次表示为2,4,6,…;从原点向左，依次表示为-2,-4,-6,…
      • (3)数轴上的点与有理数的关系
        • 所有有理数都可以用数轴上的一个确定的点来表示
        • 注意
          • 有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的不都是有理数
    • 02相反数
      • (1)相反数的代数定义
        • 像2 和-2 ， - 5 和5 这样，只有符号不同的两个数叫互为相反数。 一般地，由a和-a 互为相反数。 特别地， 0 的相反数是0
      • (2)相反数的几何意义
        • 在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧， 并且到原点的距离相等
      • (3)相反数的性质
        • ①相反数的特性： 若α ， b 互为相反数，则a +b =0； 反之，若a + b = 0 ， 则a ， b 互为相反数
        • ②相反数是成对出现的，不能单独存在，如-1和+ 1 互为相反数，就是说- 1 的相反数是+ 1， + 1的相反数是- 1 ，单个的数不能说是相反数；
        • ③正数的相反数是负数，负数的相反数是正数， 0 的相反数是0.
      • (4)求相反数的方法及多层符号的化简方法
        • ①求一个数的相反数. 只要在这个数的前面加上”-“即可. 若求一个代数式(含和、差形式)的相反数，就是把这个代数式作为一个整体用括号括起来，再在前面加一个”-“，如a-b的相反数是- (a - b) ，即 - a + b ；
        • ②判断两个数是不是相反数，除用定义外，还可以看它们的和是否为零；
        • ③多层符号化简的规律是； 数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正； 若有奇数个， 则结果为负。
    • 03倒数
      • (1)倒数的定义
        • 乘积为1 的两个数互为倒数。 一般地， aX1/a=1 ( a不等于0 ) ， 即当a不等于0时， a 的倒数是1/a
      • (2)倒数的性质
        • ① 土1 的倒数分别是它们本身；
        • ②一个正数的倒数仍是正数。 一个负数的倒数仍是负数， 0 没有倒数；
        • ③若a，b互为倒数(a≠0，b≠0)，则ab=1；反之，若ab=1，则a，b互为倒数。
      • (3)倒数的求法
        • ①求一个非零整数的倒数，可直接写成这个数分之一；
        • ②求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；
        • ③求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数；
        • ④求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数.
    • 04绝对值
      • (1)绝对值的意义
        • 几何意义
          • 绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作lal，读作a的绝对值；
        • 代数意义
          • 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用符号语言表示为Ial=
      • (2)绝对值的性质
        • ①绝对值是a(a> 0) 的数有两个，它们互为相反数， 即；±a.
        • ②绝对值相等的两个数相等或互为相反数.即若|a| =|b| ， 则a= b或a+ b =0.
        • ③任意实数的绝对值是非负数， 即|a|>=0.
        • ④任何数都有绝对值，且只有一个。零是绝对值最小的数。
      • (3)绝对值的求法
        • 绝对值是一种运算，求一个数的绝对值就是想方设法去绝对值符号。必须遵循"先判定数的正负，再去绝对值符号" 的法则。
    • 05科学记数法
      • (1)定义
        • 把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这样的记数方法叫做科学记数法
      • (2)表示方法
        • ①当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10ⁿ，其中1≤lal<10，n为非负整数，其值等于原数中整数部分的位数减去1。
        • ②当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10ⁿ，其中I≤lal<10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数(包括小数点前面的那个零)如0.00203=2.03×10¯³
      • 注意
        • a.用科学记数法表示数时，数的大小不变，只是数的书写形式发生变化。 b.绝对值大于1的负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其他与正数一样。
    • 06近似数与有效数字
      • (1)近似数
        • ①意义
          • 接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数
        • ②表示
          • 常规表示：如π≈3.14; 科学记数法：如31900≈3.2×10⁴.
      • (2)精确度
        • ①意义
          • 近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示.
        • ②语言表达
          • a.精确到某一位； b.保留几位小数。 例如：π≈3.14，精确到0.01，或叫做精确到百分位，保留2位小数。
        • 注意
          • 精确度的确定分三种情况： a.一般数字的精确度的确定：最末一个数字所处数位就是它的精确度. b.用科学记数法表示的近似数的精确度的确定：由a×10ⁿ还原成一般数字后确定。 如：5.34×10³=5340,4位于十位，因此，5.34×10³精确到十位. c.对带有计数单位的近似数的精确度的确定：将该近似数还原成一般数字后确定.如：0.30万精确到百位，而不是百分位.
      • (3)有效数字
        • 从一个近似数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有数字。如0.036有2个有效数字：3，6。
        • 注意
          • a.一般的数字：非零数字都是有效数字；第一个非零数字前面的“0”都不是有效数字，但在非零数字中间的“0”和后面的“0”都是有效数字. b.对用科学记数法表示的数：由a×10ⁿ(1≤lal<10)中的a确定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字，与n无关； c.对带有计数单位的近似数，方法同b,如1.2万，它有两个有效数字1,2,而不是5个有效数字1,2,0,0,0
  • III. 有理数大小的比较
    • (1)数轴比较法
      • 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
    • (2)性质比较法
      • ①正数大于0；0大于负数；正数大于负数。
      • ②两个负数，绝对值大的反而小。
    • 注意
      • 比较有理数的大小时，如果已知数中有括号或绝对值，要先将带有括号和绝对值的数化简，再作比较； 对于一些具有特殊结构的数比较大小，可根据其特殊结构选择方法.
• 二、有理数的运算
  • 01 有理数的加法
    • (1)加法法则
      • ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
      • ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得0。
      • ③一个数同0 相加，仍得这个数
      • 注意
        • a . 互为相反数的两数相加和为零，实质上是异号两数相加，绝对值相等时和为零。 b. 在应用加法法则时，应记住，先符号，后绝对值。
    • (2)加法运算律
      • ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a;
      • ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c).
    • (3)加法的运算技巧
      • ①凑0，即几个和为0的先加；
      • ②凑10，即几个和为整10或整100的先加；
      • ③凑整，即几个和为整数的先加；
      • ④同号的几个数先加；
      • ⑤同分母的分数先加
  • 02 有理数的减法
    • (1)减法法则
      • 减去一个数，等于加上这个数的相反数
      • 注意
        • a.引入相反数后，有理数的减法运算，可转化为有理数的加法运算；在转化的过程中要同时改变两个符号：一是把减法变成加法；二是把减数变为它的相反数 b.减法是加法的逆运算.
    • (2)有理数的加减混合运算
      • ①运算实质
        • 加法运算用式子表示为a-b+c-d=a+(-b)+c+(-d)
      • ②运算步骤
        • a.用减法法则将减法转化为加法；
        • b.写成省略加号和括号的和的形式；
        • c.进行有理数的加法运算.
  • 03 有理数的乘法
    • (1)乘法法则
      • ①两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘;
      • ②任何数与0相乘，都得0
    • (2)运算步骤
      • ①有理数相乘，首先确定积的符号， 然后把绝对值相乘
      • ②几个数相乘，其中有因数为0，积就为0
      • 注意
        • 几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正.
    • (3)乘法运算律
      • ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab =ba;
      • ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即(ab)c=a(bc);
      • ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即a(b+c)=ab+ac
  • 04 有理数的除法
    • (1)法则一
      • 除以一个不等于0 的数， 等于乘以 这个数的倒数，a÷b=a×(1/b)(b≠0)
    • (2)法则二
      • 两数相除(除数不为0 ) ， 同号得正， 异号得负， 并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于0 的数，都得0。
    • 注意
      • a.0不能做除数。 b.做有理数的除法运算时， 一般地， 不能整除的情况下， 应用法则(1)，能整除肘， 应用法则(2)。 c. 有理数的除法是有理数的乘法的逆运算。
  • 05 有理数的乘方
    • (1)乘方的定义
      • 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
    • (2)乘方的表示方法
      • 一般地， n 个相同的因数α相乘，即a1*a2*……*an，记作aⁿ。读作a 的n次方。当aⁿ看作a 的n次方的结果时，也可读作"a的n 次幂"。在aⁿ 中， a叫做底数，n叫做指数
      • 注意
        • a 一个数可以看作这个数本身的一次方例如5 就是5^1，指数1通常省略不写. b 注意分辨- aⁿ和( -a)ⁿ。( -a)ⁿ 的意义是-a的n 次方。而-a^n的意义是a的n 次方的相反数，两者不 可混淆. 例如: -2^4 = - 16. 而( - 2)^4 =16 C. 当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上. 再在其右上角写指数，指数要写得小些。 和的区别
    • (3)乘方运算的符号法则
      • ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 例如；(-2)^3=-8，(-2)²=4.
      • ②正数的任何次幂都是正数， 0的任何正整数次幂都是0. 例如； 2²=4 ， 2^3 =8 ，0^3 = 0.
      • ③由乘方法则可知 a . 互为相反数的两个数的奇次幕仍然互为相反数， 即； 若a + b =0 ，则。a^(2n+1) +b^(2n+1)=0 ( n 为自然数) 。 b . 互为相反数的两个数的偶次幕相等， 即； 若a + b =0 ， 贝a^(2n) = b^(2n)( n为正整数) 。 c .1的任何次等都是1; - 1 的奇次幂是-1 ， 偶次幂是1。
    • 注意
      • a.乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算),幂是乘方运算的结果.有理数乘方运算，首先确定幂的符号，然后再计算绝对值. b.0的零次幂无意义.
  • 06 有理数的混合运算
    • (1)混合运算的定义
      • 含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算
    • (2)混合运算顺序
      • ①先乘方，再乘除，最后加减；
      • ②同级运算，从左到右进行；
      • ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。