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初中数学《认识图形》章节（知识点全解）
初中数学《认识图形》章节知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示。
编辑于2023-08-09 16:33:55 山东省- 相似推荐
- 大纲
认识图形
一、几何图形初步
01立体图形
(1)几何图形
①定义
从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.
②分类
a.立体图形
有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.棱柱、棱锥也是常见的立体图形.
b.平面图形
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形
(2)常见的立体图形
①球体：表面是曲面.
②柱体：柱体中又有圆柱和棱柱
a.圆柱
上、下两个底面是两个平行且相同的圆面，侧面是曲面.
b.棱柱
上、下两个底面是两个平行且相同的多边形，侧面是平行四边形.棱柱又可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱、……
③锥体：锥体中又有圆锥和棱锥
a.圆锥
底面是圆，侧面是曲面.
b.棱锥
底面是多边形，侧面是三角形.棱锥又可按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥、……
常见的棱柱、棱锥及旋转体

(3)立体图形的平面展开图
①展开图
有些立体图形是一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.
②多面体与平面展开图的比较

③常见几何体的平面展开图

④正方体的平面展开图
正方体的展开图由6个小正方形组成，它的平面展开图的4种代表图形为

注意
把一个立体图形展开成平面图形，把一个平面图形经过折叠成立体图形，它们是一个互逆的过程.
(4)从不同方向看立体图形

02点、线、面、体
点：线和线相交的地方是点.
线：面和面相交的地方形成线
面：包围着体的是面.面有平的面和曲的面两种
体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体
注意
a.几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素 b.点动成线，线动成面，面动成体
03点和线
(1)点的概念及其表示方法
点通常表示一个物体的位置.一个点一般用一个大写字母表示
(2)直线
①概念
直线是向两方无限延伸的，没有端点不可度量
②表示方法
a.可用一个小写字母表示，直线可记作“直线 l”
b.也可用这条直线上的两点来表示，直线可记作“直线AB"或“直线BA”
③直线的基本性质
a.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
b.两直线相交，只有一个公共点；
c.直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；
d.直线上有无穷多个点；
e.经过一点的直线有无穷多条；
f.两条不同直线至多有一个公共点
④点和直线的位置关系
a.点在直线上，或者说直线经过 这个点
b.点在直线外，或者说直线不经过这个点
(3)射线
①概念
直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫做射线的端点，射线不可度量
②表示方法
一条射线可用它端点的大写字母和射线上另一点大写字母来表示，注意表示端点的字母必须写在前面。也可用一个小写字母表示，记作“射线1”
③射线的性质
a.射线是直线的一部分；
b.射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小；
c.射线上有无穷多个点；
d.两条射线的公共点可能没有、可能有一个、可能有无穷多个
(4)线段
①概念及表示方法
概念
线上两点及其之间的部分叫线段，它有两个端点，可以度量
表示方法
一条线段可以用它的两个端点的两个大写字母表示，记作“线段AB”;也可以用一个小写字母表示，，记作“线段a”
②线段的公理及性质
公理
两点的所有连线中，线段最短.简单说成，两点之间，线段最短
性质
a.线段是直线的一部分；
b.线段上有无穷多个点；
c.线段有两个端点，可度量，可比较大小；
d.两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点
③线段的画法
a.连接AB，就是要画出以A、B为端点的线段，不要向任何一方延伸
b.画一条线段等于已知线段a，可以用圆规在射线AC上截取AB=a，也可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段
④两点的距离
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是个数量，不是线段本身
⑤线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点
⑥线段的延长线
线段的延长线即指线段向一方延伸的部分。延长AB是指按A到B的方向延长；延长BA是指按B到A的方向延长(也可说成反向延长AB)
注意
延长线常画成虚线
⑦线段大小的比较方法
a.叠合法
把要比较的两条线段移到同一条直线上，使一个端点重合，另一个端点落在直线上重合端点的同侧，进行比较。结论：两条线段的大小关系有三种.
b.度量法
比较线段的大小，可以先分别度量出每条线段的长度，再比较两者的大小.
c.圆规截取法
先把圆规的两个针脚落在一条线段的两个端点上，再与另一条线段比较.
(5)直线、射线、线段之间的比较

注意
延伸是它本身具有的特性，延长是人为要求做的
04角
(1)角的概念
定义
①定义1；有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边
②定义2；由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
平角和周角的概念
射线0A绕点0旋转，当终止位置0C和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；继续旋转，回到起始位置04时所成的角叫做周角
(2)角的表示方法
①用数字表示，如，∠1，∠2，∠3等
②用希腊字母表示，如∠α，∠β，∠y等
③用一个大写英文字母表示(在一个顶点处只有一个角)，如∠A，∠C等
④用三个大写英文字母表示，如∠BAD
注意：角的表示
a.用数字或小写希腊字母不能表示由几个角合成的角 b.当在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任一个角都不能用一个大写英文字母表示. c.用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧
(3)角的度量单位及换算
度量单位
①把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°. ②把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1'. ③把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1".
换算
1°=60'，1'=60"，1周角=360°，1平角=180°
注意：角的进制
角的度、分、秒是60进制的，和计量时间的时、分、秒一样
(4)角的分类
①锐角：大于0°而小于90°的角叫做锐角. ②直角：90°的角. ③钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角.④平角：180°的角. ⑤周角：360°的角.
注意：角的分类
小于平角的角可以按照大小分为三类：锐角、直角和钝角
(5)余角、补角
余角、补角的概念
余角：如果两个角的和是90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.锐角α的余角为90°-α
余角：如果两个角的和是180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，α的补角是180°-α
余角、补角的性质
余角的性质：同角(等角)的余角相等
补角的性质：同角(等角)的补角相等
(6)角的画法
①使用量角器画小于平角的任一个角，以及画角的和、差、n倍、n分之一.
②使用三角板画某些特殊度数的角.如30°，45°，60°及90°的角等，也可以画出特殊度数的角的和、差、n倍，但画n分之一有局限性
(7)角的比较
①度量法
先分别量出每个角的度数，再按照量出的度数比较大小，这是从“数”的方面比较大小
②叠合法
先将两个角的顶点和一边重合，再比较另外两边的位置，从而确定这两个角的大小，这是从“形”的方面比较大小
(8)角的和、差、倍、分
(9)角的平分线
定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线
性质
 
注意：角的大小和运算
a.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边的长短无关.这是因为角的边是射线而不是线段. b.角可以度量，可比较大小，也可参与运算.
二、相交线与平行线
01相交线
（1） 定义
有唯一公共点的两条直线叫做相交线
（2） 相交线中的角
1. 对顶角
定义
两个角有一个公共顶A、点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角
 对顶角是成对出现的
性质
对顶角相等
2. 邻补角
定义
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为邻补角
 a.邻补角是成对出现的. b.邻补角与补角是两个不同的概念，互补的两个角只有数量关系，没有位置关系，只要这两个角的和等于180°即可.而邻补角不但有数量上的关系，还有位置上的关系，不仅要满足两个角的和等于180°,还要求这两个角有一个公共顶点，有一条公共边，另一条边互为反向延长线.因此，两个角互为邻补角，这两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角.一个角的补角可以有很多个，但一个角的邻补角只能有两个
性质
邻补角互补
3. 同位角、内错角、同旁内角
三线八角
直线AB，CD与直线EF相交(或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，形成八个角，简称“三线八角”
同位角
∠1和∠5，这两个角分别在AB，CD的同一方(上方)，并且在直线EF的同侧(右侧)像具有这种位置关系的一对角叫做同位角
内错角
∠3和∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧.∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF右侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角
同旁内角
∠3和∠6在直线AB，CD之间，并且在直线EF的同一旁(左旁)，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角
注意
a.同位角、内错角、同旁内角是由两直线被第三条直线所截形成的，它们没有公共项点，是成对出现的。 b.同位角特征：截线同旁；被截两线的同方向。 内错角特征：截线两旁；被截两线之间. 同旁内角特征；截线同旁；被截两线之间. c.两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角
（3） 垂线
1. 两条直线垂直的意义
1||| 定义
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足
2||| 表示方法
两条直线垂直的表示法；如图，直线AB，CD互相垂直，记作 “AB⊥CD”(或CD⊥AB)，读作“AB垂直于CD”
3||| 注意：“垂直”与“垂线”
“垂直”与“垂线”是两个彼此相关但又不同的概念，垂直是指两条直线相交成特殊角(90°)的位置关系，而垂线是特殊位置关系(如垂直)下的两条直线的名称
2. 垂线的性质
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
3. 垂线的画法
①三角板画法
过一点画已知直线的垂线，让直角三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线
②量角器画法
“一落”，将量角器的0°刻度线与已知直线重合； “二移”，沿已知直线移动量角器，使90°刻度线经过已知点，作出90°刻度线上的另一点； “三画”，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线.
注意
a.可以过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线，并且只能画出一条垂线来 b.如过一点画射线或线段的垂线时，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线上或在线段的延长线上
4. 点到直线的距离
定义
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
注意
a.垂线是直线，垂线段特指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的(如cm等). b.在图形中确定点到直线的距离，首先要作出这点到直线的垂线段，然后求垂线段的长度，这在今后解题中经常用到
02平行线
（1） 平行线的概念
定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示
位置关系
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行.
平行线定义满足三个条件
a.平行线必在同一平面里；
b.“不相交”就是说两条直线没有交点；
c.平行线指的是“两条直线”，而不是两条射线或线段
（2） 平行线的画法
①把三角板的一边落在AB上(一落); ②紧靠三角板的另一边放一直尺EF(二靠); ③把三角板沿直尺EF 移动，使三角板的一边通过P点(三移); ④沿三角板过点P的一边画直线(四画).则直线CD就是所要画的直线。
（3） 平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
注意：“存在性”和“唯一性”
a.以上结论说的是经过“直线外一点”,若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了. b.这条性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”.
推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即：如果b//a，c//a，那么b//c(平行具有传递性).
（4） 平行线的判定
①判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行
②判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行.
③判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行
④判定方法3
垂直于同一条直线的两条直线平行
（5） 平行线的性质
性质1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等
性质2
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等
性质3
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补
（6） 平行线的判定与平行线的比较
①平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”;
②平行线的判定是以角的相等或互补为前提，推导出两直线平行，是从“数量关系”到“位置关系” 两角间的数量关系⇔ 两直线间的位置关系 由此可知，判定与性质之间的关系是一种互逆关系.
三、投影与视图
01投影
（1） 概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.其中，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面
（2） 平 行 投 影
①平行投影的概念
由平行光线形成的投影
②平行投影的特点
a.等高的物体垂直于地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长
b.等长的物体平行于地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度
（3） 中 心投 影
①中心投影的概念
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影.如：物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.
②中心投影特
a.等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短；离点光源远的物体的影子长
b.等长的物体平行地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度
c.点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置
拓展
中心投影点光源的确定：分别过两个物体及其影子的顶端作两条直线，这两条直线的交点即为点光源的位置
（4） 平行投影与中心投影的比较

（5） 正 投 影
1. 概 念
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影
2. 性质
①线段的正投影
三种位置
a.平行于投影面
b.倾斜于投影面
c.垂直于投影面
结论
a.当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1;
b.当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB>A2B2;
c.当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A‘
②正方形的正投影
三种位置
a.纸板平行于投影
b.纸板倾斜于投影面
c.纸板垂直于投影面.
结论
a.当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；
b.当纸板P倾斜于投影面Q时，与P的正投影与相比较，形状、大小发生变化；
c.当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段
③正方体的正投影
两张位置
a.正方体的一个面ABCD平行于投影面P(图)
b.正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P(图).
结论
a.如图，正方体的投影为A'B'C'D'，它与正方体的一个面是全等关系；
b.如图，正方体的正投影为矩形F'G'C'D'，这个矩形的长等于正方体底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长，矩形上、下两边中点连线A'B'是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影.
02视图
三 视图
(1)视图的定义
当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.视图也可以看作物体在某一个角度的光线下的投影
(2)三视图的定义
1. 我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面。一个物体在三个投影面内同时进行正投影
2. 三个视图
主视图：在正面得到由前向后观察物体的视图叫做主视图.
俯视图：在水平面得到由上向下观察物体的视图叫做俯视图.
左视图：在侧面得到由左向右观察物体的视图叫做左视图.
3. 关系
图示
（3）位 置关 系
俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，三个视图位置相对固定，不能随意乱放.
（4）常见几何体的三视图

(5)立体图形的三视图的画法
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”;
③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
注意：画三视图
a.画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰
b.画图时规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线
(6)由视图到立体图形
由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形
拓展：三视图的内在联系
三视图之间应保持下面的对应关系： 主视图与俯视图长对正； 主视图与左视图高平齐； 俯视图与左视图宽相等
由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息。 ①主视图反映物体的长和高，主要提供正面的形状。 ②左视图反映物体的高和宽，主要提供左侧面的形状。 ③俯视图反映物体的长和宽，主要提供上面的形状。由俯视图看不出物体的高，这一点很重要。