函数

高中数学函数总结，一般的设AB是非空的实数解，如果对于集合a中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系，f在集合b中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称fa到b为从集合a到集合b的一个函数。

函数

• 概念
  • 定义
    • 一般的设AB是非空的实数解，如果对于集合a中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系，f在集合b中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称fa到b为从集合a到集合b的一个函数
  • 函数的记法
    • • Y=fx ，x属于a
  • 定义域
    • • 在函数y=fx，x属于a中，x叫做自变量x的取值范围，a叫做函数的定义域。
  • 值域
    • • 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fx｜x属于a叫做函数的值域。
  • 构成函数的三要素
    • • 定义域，对应关系，值域。
  • 函数的表示方法
    • 解析法，列表法，图像法
  • 分段函数
    • 定义
      • • 在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。
    • 相关概念
      • • 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但他表示的是一个函数各部分函数的定义域不可以相交。
  • 注意
    • • 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内，各段函数的定义区间端点应不重不漏。
• 基本性质
  • 单调区间的定义
    • • 如果函数y=fx在区间d上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝fx在这一区间具有严格的单调性，区间D叫做y=fx的单调区间。
  • • 函数的最值
• 奇偶性与单调性
  • 奇偶性
    • 奇函数
      • • 设函数fx的定义域为I，如果∀x属于I都有f－x属于I且f-x=-fx，那么函数fx就叫做奇函数。
    • 偶函数
      • • 设函数fx的定义域为I，如果∀x属于I都有－x属于I且f－x=fx，那么函数fx，就叫做偶函数。
  • 周期性
    • 周期函数
      • • 对于函数fx，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx+t=fx，那么就称函数fx为周期函数，称t为这个函数的周期。
    • 最小正周期
      • • 如果在周期函数fx的所在周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期。
• 二次函数与幂函数
  • 二次函数
    • 定义
      • 一般地，把形如fx＝ax平方＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数
    • 三种表现形式
      • 一般式
        • • y=ax²+bx+c(a≠0
      • 顶点式
        • y=a(x-h)²+k(a≠0
      • 零点式
        • y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0
    • 图像和性质
      • 二次函数的图像是抛物线，具有轴对称性。当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x增大而增大
      • 二次函数的性质包括：当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax²+bx+c=0(a≠0)。此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根
      • 二次函数的图像可以通过列表、描点和连线的方式作出，顶点的原点(0,0)是必取的，对称轴一侧的几个点描出后，再根据对称性找出另一侧的几个点，最后用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸
  • 幂函数
    • 定义
      • • 一般的，函数y=x的a叫做幂函数，其中x是自变量，a常数。幂函数的特征①自变量x处在幂底数的位置，幂指数a为常数②xa平方的系数为一③只有一项。
    • 图像和性质
      • α>0时，幂函数y=xα有下列性质： a、图像都经过点（1,1）（0,0）； b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数； c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）； 负值性质 当α<0时，幂函数y=xα有下列性质： a、图像都通过点（1,1）； b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。 c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。 零值性质 当α=0时，幂函数y=xa有下列性质： a、y=x0的`图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
• 指数与指数函数
  • 根式
    • • 如果x的n次方=a，那么x叫做a的N次方
    • • 式子根号a的n次叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
    • • 当n为奇数时，根号a的n次＝a,当n为偶数时，根号An xn^2=a的绝对值a,a大于等于零 负A A小于零。
  • 有理数指数幂
    • 概念
      • 1、有理数幂是整数幂与分数幂的统称。指数幂的意义为数学上把n个相同的因数a相乘的积记做a的n次方。该运算即乘方，乘方结果为幂。其中a为底数，n为指数。 2、整数指数幂：当底数取正整数、零、负整数时，其整体分别称为正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。 3、分数指数幂：即一个数的指数为分数的幂，分数指数幂是根式的另一种表示形式。
    • 运算法则
      • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
      • 同底数幂相除，底数不变，指数相减
      • 幂的乘方，底数不变，指数相乘
      • 积的乘方，等于每一个因式分别乘方
  • 指数函数概念
    • • 函数y=ax a大于零，且a不等于1叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数
  • 指数函数的图像与性质
    • 指数函数是一种以底数为常数的指数幂作为自变量的函数，其定义域为实数集合R 指数函数的性质和图像与底数a的大小有关。 当a>1时，指数函数在整个定义域上是增函数，图像逐渐上升； 当0<a<1时，指数函数在整个定义域上是减函数，图像逐渐下降。 指数函数的值域为(0, +∞)，过点(0,1)。当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1。 指数函数的图像可以通过对底数a进行变换来得到，如平移、伸缩等1。
• 对数与对数函数
  • 对数式
    • 概念
      • • 一般的如果ax=n a大于零，且a不等于一，那么数x叫做以a为底n的对数据做x=1那个，Bad an的对数，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。
    • 基本性质
      • • 如果a大于零，且a不等于0n大于零，那么以a为底一的对数等于0，以 a为底a的对数等于一。
  • 对数的运算
    • 运算法则
      • 指积、商、幂、方根的对数的运算法则 根据指数和对数的互相转化关系 1. 两个正数的积的对数等于同一底数的这两个数的对数的和； 2. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数的差； 3. 一个正数幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂的指数
    • 换底公式及推论
      • 1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N3、log(a) M^n=nlog(a) M4、log(a)b*log(b)a=15、log(a) b=log (c) b÷log (c) a
  • 图像与性质
    • 对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称。 对数函数的定义域为(0,+)，值域为R。同真数的对数值大小关系如图，在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大。 如果两个对数函数的底互为倒数，则它们两个的函数图象关于x轴对称。 通过几何画板的动态演示，可以深刻理解对数函数与指数函数之间的关系，掌握对数函数及其图像和性质。
  • 反函数
    • 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数常用表示。
• 函数的图像
  • 利用描点法做函数图像的步骤
    • 化简
      • • 确定函数的定义域，并化简函数的解析式 讨论函数的性质，如单调性，奇偶性，周期性，对称性。
    • 列表
      • • 除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点与坐标轴的交点，顶点，端点，最高或最低点，对称点等。
    • 描点
      • • 画出直角坐标系，准确描述表中所表示的各个点
    • 连线
      • • 用光滑的曲线，依次连接所描的各个点得到图像。
  • 图像变换
    • • 平移交换 对称变换 翻折变换 伸缩变换
• 函数的应用
  • 函数零点的概念
    • • 对于函数y=fx ，把使fx=0的实数，x叫做函数y=fx的零点。
  • 判定
    • • 一般的如果函数y=fx，在区间ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fx×fb大于零， 那么函数y=fx在区间ab内有零点结存在c属于ab时段，fc=0，这个c也就是方程，fx=0的根， 我们把这一结论称为零点存在定理。
  • 二分法
    • • 对于在区间AB上图像连续不断且f af b大于零的函数y=fx， 通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为20，所得区间的两个端点逐步逼近零点， 而得到零点近似值的方法叫做二分法。