高考数学-数列的知识

本导图详细整理了高考数学中有关数列的知识并作出了相应扩展，包括数列性质、数列通项求法、数列求和、数列放缩等内容，希望对同学们有所帮助！

数列

• 1. 数列性质的运用
  • 单调性
    • 1、临相比较
      • 显然，提供的解法并不是等价变形，变换后的内容是条件的必要不充分条件，因此逻辑上并不是十分严谨的
    • 2、单调性判定方法
    • 3、背景函数判断
      • 如果出现分式线性函数、幂函数等初等函数，可以运用已知的单调性或求导得到数列的单调性，注意定义域为正整数，因而函数最值点不一定是数列最值点
  • 对称性
    • 等差数列的对称性
      • 1、等差数列和的一般形式
        • • 绝对不可能加上常数，否则第一项与其后的不构成等差数列！
      • 2、等差数列的类二次函数对称性
      • 3、
      • 4、
    • 等比数列的对称性
• 2. 数列：通项公式求法
  • 公式法
    • 等差数列
    • 等比数列
  • 叠加法、累乘法
    • 叠加法（逐差法）
      • 表述：
    • 累乘法
      • 表述：
  • 作差法
  • 构造新数列
    • • i. f(n)=C
        • 方法：将C分配到两边,构造新等比数列
          • Step 1
          • Step 2
          • Step 3
      • ii. f(n)=an+b
        • 方法：将f(n)=mn+b分配到两边构造等比数列
          • Step 1
          • Step 2
          • Step 3
      • iii. f(n)=aⁿ
        • 一般形式：
          • a. 一般情况下，同除qⁿ，然后运用叠加法
          • b. 特别的，当p≠q时，还可以同上，比较系数
            • Step 1
            • Step 2
            • Step 3
    • 三项递推公式
      • 一般来说，三项递推的题目会给出明确的提示，只要跟着信息走就行了
      • 形式：
        • • 证明过程
    • 分式型
      • 1.
      • 2.
        • 设，满足递推关系，初值条件 （1）若f(x)=x有两个相异的不动点p、q，则 （这里） （2）若f(x)=x只有唯一不动点p，则 （这里） （3）若f(x)=x没有不动点，则为周期数列.
• 3. 数列求和
  • （一）、公式法
    • 1. 书本公式
      • 等差数列求和公式
      • 等比数列求和公式
    • 2. 分组求和
      • 例如
    • 3. 倒序求和（高斯法）
      • 在组合中的应用：
      • 函数背景：对称性
    • 4. 累加法与叠乘法
  • （二）、裂项求和
    • 原理：
      • 裂项后使用累加法
      • 基本裂项公式
        • 最基本形式：
        • 二次式形式：
        • 指数在分母：则原函数分母有相同指数； 指数在分子：则原函数分子有相同指数。
        • 含根式形式：
        • 阶乘形式：
      • 变式（组合、创新形式）
  • （三）、错位相减法
    • 原理：等比数列求和公式的推导过程
      • 一般情况的写法【模板推导】（过程如此，结果可能有问题）
    • 例如：
  • （四）、其他类问题
    • 已知
      • 解：由题意知：奇数项为首相为1公差为4的等差数列，偶数项为首项为9公比为9的等比数列。 (ⅰ)n为偶数时 S=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an) =(1+5+9+…+(2n-3))+(9+81+…+3^n) =0.5n(n-1)+(9/8)(3^n-1) (ⅱ)n为奇数时 S=Sn+1-an-1 =0.5n(n+1)+(3/8)+(9/8)(3^n-1)
    • 周期数列问题
      • 通项写不出来的，一定是周期数列
• 4. 数列放缩
  • 选择查看（近十年未考，且难度很大）
    • 考察形式
  • I. 拆项放缩
    • a. 类等差情况
      • 思想：显然使用求和记号的可以看做一个根本求不数出来的数列和（某些方法中可用微积分放缩），则应把右边看做数列的前n项和，于是运用求通项的方法求出右边的通项公式，构造差函数或商函数，讨论单调性（可能要求导），在最值处论证满足，然后累合法证明该不等式成立。
      • 举例:
    • b. 类等比情况
      • 思想：同上，利用等比数列的方法证明每一项都成立，最后累乘
    • c. 综合情况
  • II. 代数变形