数学必修一第一章

第一章整体概念梳理，有集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、全称量词与存在量词、充分条件与必要条件。

第一章 集合与常用逻辑用语

• 集合的概念
  • 集合与元素
    • 关系
      • 属于∈与不属于∉
        • 方法
          • 直接法
          • 配凑法
          • 推理法
    • 元素特性
      • 确定性
      • 互异性
      • 无序性
  • 集合的表示方法
    • 自然语言描述
    • 列举法
    • 描述法
    • 常用数集的表示
      • 非负整数集（或自然数集） 全体非负整数组成的集合 N
      • 正整数集 全体正整数组成的集合 N+或N*
      • 整数集 全体整数组成的集合 Z
      • 有理数集 全体有理数组成的集合 Q
      • 实数集 全体实数组成的集合 R
  • 数集与点集
    • 数集{x|....}
    • 点集{(x,y)|.....}
• 集合间的基本关系
  • Venn图示法
    • A⊆B,A≠B↔A⫋B
    • B⊆A,B≠A↔B⫋A
    • A⊆B,B⊆A↔A=B
    • A⊄B,B⊄A
    • A⫋B⫋C
  • 包含
    • 子集
      • 符号语言
        • 任意x∈A，必有x∈B，则A⊆B，（或B⊇A) 不包含：⊄
      • 图形语言
      • • 性质
          • 反身性
            • 对于任何一个集合是它本身的子集 即A⊆A
          • 传递性
            • 对于集合A,B,C，如A⊆B且B⊆C,那么A⊆C
    • 空集
      • 记为∅
      • 规定
        • 空集是任何集合的子集
        • 空集只有一个子集，即它本身
        • ∅⊆∅，若A≠∅，则∅⫋A
        • ∅，0，{0},{∅}
          • 0∈{0}
          • 0∉∅
          • 0∉{∅}
          • ∅⫋{0}
          • ∅⫋{∅}
    • 真子集
      • 符号语言
        • 如果A⊆B,但存在x∈B且x∉A，则A⫋B（或B⊋A）
        • ⫋
          • ⊋
      • 图形语言
      • 性质
        • 对于集合A,B，若A⊆B,且A≠B，则A⫋B
        • 传递性：对于集合A,B,C，如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C
  • 相等
    • 互为子集
      • 图形语言
    • 符号语言
      • 若A⊆B且B⊆A，则A=B
  • 例题
• 集合的基本运算
  • 并集
    • 符号语言：AUB={x|x∈A，或x∈B｝
    • 图形语言
      • （1）A⫋B，则AUB=B
      • （2）B⫋A，则AUB=A
      • （3)A=B，则AUB=B=A
      • （4）集合A与B有公共元素，相互不包含
      • （5）集合A与B无公共元素
  • 交集
    • 符号语言
      • AnB={x|x∈A，且x∈B｝
    • 图形语言
      • （1）A与B相交（有公共元素，相互不包含）
      • （2）A与B相离（没有公共元素，A∩B=Ø)
      • （3）A⫋B，则A∩B=A
      • （4）B⫋A，则A∩B=B
      • (5)A=B，则A∩B=B=A
    • 性质
      • A∩B=B∩A
        • 满足交换律
      • A∩∅=∅
        • 空集与任何集合的交集都为空集
      • A∩A=A
        • 集合与其本身的交集等于集合本身
      • A∩B=A↔A⊆B
        • 任何集合与它子集的交集等于它的子集，反之亦然
      • （A∩B）⊆A,(A∩B）⊆B
        • 两个集合的交集是其中任一集合的子集
  • 全集
    • U
  • 补集
    • 符号语言
      • CuA＝｛x｜x∈U，且x∈A｝
    • 图形语言
  • 集合中的元素个数的计算（容斥原理）
    • 有限集
      • 含有限个元素的集合用card（A）来表示，有限集合A中元素的个数
    • 图形语言
  • 例题
• 充分条件与必要条件
  • 充分条件p→q
  • 必要条件q→p
  • 充要条件p↹q/p=q
  • 例题
• 全称量词与存在量词
  • 全称量词∀
    • 全称量词命题
      • 一般形式：对M中的任意一个x，p（x）成立
      • 符号表示：∀∈M，P（x）
      • 判定全称量词命题为真命题，需要对集合M中每个元素x证明P（x）成立。
      • 判定全称量词命题是假命题，只需要举出一个反例。即如果在计划M中找到一个元素X0，使得P（x0）不成立。
  • 存在量词ョ
    • 存在量词命题
      • 一般形式：存在M中的元素x，p（x）成立
      • 符号表示：ョx∈M，p（x）
      • 要判定存在量词命题是真命题，只需要在计划M中找到一个元素x 使P （x）成立即可。
      • 要判定一个存在量词命题是假命题，需要对集合M中的任意一个元素x证明p（x）都不成立。
  • 全称量词命题和存在量词命题的否定
    • P与ㄱP
    • 全称量词命题p：∀x∈M，P（x），它的否定ㄱP：ョx∈M，ㄱP（x）其中“ㄱP（x）”表示“P（x）不成立。”
    • 存在量词命题p：ョx∈M，p（X），它的否定ㄱP：∀x∈M，ㄱP（x）
  • 例题