导图社区 考研高数
考研和大学复习均适用，简洁明了，也有很多解题思路，很实用。
社区模板帮助中心，点此进入>>
安全教育的重要性
个人日常活动安排思维导图
西游记主要人物性格分析
17种头脑风暴法
马克思主义原理
如何令自己更快乐
头脑风暴法四个原则
思维导图
考研数学重点考点知识总结归纳！
数据结构
高数的枝丫
函数极限连续
函数极限
函数极限的定义及使用方法
定义
使用
是常数
唯一性
局部有界性
局部保号性
等式脱帽法
函数极限的计算
化简先行
等价无穷小的替换
恒等变形
及时提出极限存在且不为0的因式
洛必达法则
泰勒公式
熟记常用公式
展开原则
复合展开(推广的泰勒)
无穷小比阶
函数极限的存在性
具体型(若洛必达失效用夹逼准则)(夹逼准则失效用定积分定义)
抽象型(单调有界准则)
函数极限的应用-连续与间断
研究位置
无定义点
分段函数的分段点
连续
内点处
端点处
间断
第一类间断点
左右极限都存在
左右极限相等
可去间断点
左右极限不相等
跳跃间断点
第二类间断点
左右极限不存在
无穷间断点
要想做定积分，被积函数不能有无穷间断点，要保证有界
振荡间断点
导函数的图像只可以有振荡间断点
数列极限
数列极限的定义及使用
有界性
保号性
收敛的充要条件
数列极限的存在性与计算
归结原则的使用(变量连续化)
直接计算法
定义法，先斩后奏(记得补偿前面)
n趋于无穷，Xn+1 - a的绝对值趋于0
没有单调性时用这个方法
单调有界准则(常用)
证什么
怎么证
用已知不等式
题设给出条件来推证
夹逼准则
用基本放缩方法
综合题
用导数综合
用积分综合
用中值定理综合
用方程综合
用区间综合
用极限综合
导数与微分
导数
背景
导数定义式
左导和右导定义
导数存在（可导
运算
导数与连续
连续不一定可导，可导一定连续 18讲上有个带绝对值函数连续的重要条件
应用
瞬时速度
变限积分求导
微分中
用定义式和公式证明导数存在
洛必达法则中
微分
微分的几何意义
可微与可导
多元函数微分学
复合函数微分
主部带△x
几何应用
极值与最值
单调性与极值判别
极值的必要条件
函数在x=x0处可导，且取极值，则导数为0
极值的充分条件
第一充分条件
函数在一点连续，且在这一点空心邻域可导，一阶导数左右异号
第二充分条件
一阶导数为0，二阶导数不为0，大于0是极小值，小于0是极大值
第三充分条件
凹凸与拐点
凹凸
拐点
拐点左右两边函数凹凸性不同
拐点的必要条件
拐点处二阶导为0
拐点的充分条件
函数在一点连续，在该点的空心邻域二阶导数存在，改点两边二阶导数异号
二阶导数为0，三阶导数不等于0
三种渐近线
水平渐近线
x趋向无穷，看此时极限是多少
铅直渐近线
x趋向一个数，此时极限要为无穷{一般这个点是无定义点}
斜渐近线
x趋向无穷，函数除以x的极限是k，然后还是x趋向无穷，求函数减kx的极限为b
最值或者取值范围问题
作函数图像
先判断定义域，奇偶性
中值定理
f
零点定理
是开区间
介值定理
是闭区间，介值可以推出零点定理
有界与最大最小值定理
离散的平均值定理
用最大最小值定理和介值定理证明
f导数
费马引理
证明需要掌握，用导数定义证明
极值加可导／区间最值加可导－导数为0
导数零点定理
用导数定义证明
如果导数值≠0，则导数恒正或者恒负
导数介值定理
不要求连续导数存在的话，导函数的图像一定不可能有可去，跳跃，无穷间断点，只可能有振荡间断点
介值定理可以推出零点定理，当左右两个导数异号时
罗尔定理
主要在与它的应用
一般证明一个函数的导数等于0
主要难处有两个
①找到两个点，函数值相等
②构造辅助函数
有时需要用两次罗尔定理，画个笑脸
有时会缩小区间进行找点
拉格朗日定理
见到f与f的导数想到拉格朗日
见到f－f想到拉格朗日
0可以替换成f(0)，如果f(x)=0
1可以替换成e的0次方
端点值相等时变成罗尔定理
柯西中值定理
并不是用拉格朗日中值定理比出来的，因为ε并不一样 云深不知处，只在此山中。
柯西中值定理g(x)＝x，变成拉格朗日
f积分
积分中值定理（连续的平均值定理）
用介值定理和最大最小值定理证明
零点问题与微分不等式
零点问题
零点定理(证存在性）
单调性(证唯一性)
罗尔原话
阶数降n阶，根增加n个
实系数奇次方程至少有一个实根
含参数问题
导数不含参
过程中不必讨论，结果中讨论参数
导数依然含参
过程中讨论参数，函数性质与参数有关
微分不等式
用函数性态证明不等式
用常数变量化证明不等式
用中值定理证明不等式
一元函数积分学 概念与计算
概念
不定积分
原函数与不定积分
不定积分是函数的所有原函数的表示，我们要写出具体的爸－变上限积分
子孙三代的单调性和周期性关系
子主题
原函数存在定理
函数连续一定有原函数
如果函数存在跳跃，可去，无穷间断点时没有原函数
可以用导数介值定理证明
函数可导意味着函数在区间内处处可导
定积分
定积分概念
有限区间有界函数的面积
定积分存在定理
充分条件：函数连续一定存在，有界且有有限个间断点一定存在(不能有无穷间断点)
必要条件：可积函数必有界
定积分的性质
区间可加性
区间上下限互换添负号
线性
保号性(只有两个函数完全重合，也就是同一个函数时才去得到等号)，可以说是严格不等了
估值定理(在区间长度乘以最大最小值之间)
变限积分
变限积分的概念
变限积分是函数的一个具体的爸
用变限积分还能证出来积分中值定理
取不到的区间端点求极限
变限积分的性质
变限积分只要存在，必然是连续的
变限积分的求导法则
记住变限积分的求导公式，还有端点为复合函数的
反常积分
反常积分概念的通俗理解
无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
反常积分打破了黎曼定(常)积分的两个前提条件
无穷区间上的反常积分的概念与敛散性
无界函数的反常积分的概念和敛散性
判敛
取不到的点处取极限，有极限就收敛
计算
基本积分公式
牢牢记住
凑微分
凑微分和换元法是逆运算，但是实际上做题的时候没联系
换元法
去根式，令最小公倍数的根式为t
三角函数换元
整体令成t，举重若轻
倒代换
分部积分
分部积分用于两种不同的函数求积分
反对幂指三，相对在左边求导，相对在右边积分
推广的分部积分
sinx与cosx的积分求导都是两正两负
有理函数积分
Pn(x)÷Qm(x) n＜m
先对Qm(x)因式分解
然后再拆分，分母为一次，上面是数；分母为两次，上面是ax+b，然后分母整体是几次方，就有几个式子加起来
区间再现
独立于四大积分法之外的神秘方法
不能用四大积分法时选用
令x＝a+b-t可以，也可以直接使用
两式想加再除以二得出
一元函数积分学的应用
平面图形的面积
函数值乘以dx
旋转图形的体积
看成圆柱体积的和，底面积乘以dx
函数的平均值
先求定积分再除以区间长度
多元函数微分
多元函数概念
极限的存在性
连续性
如果不连续，多元函数是不讨论间断点类型的
偏导数
一个不动，另一个变化
可微
全增量＝全微分➕无穷小
偏导数连续
多元函数微分法则
链式求导规则
像走路一样：有几条路就有几项，每条路上有几段就有几项乘 不管f对谁求导，求导后的函数与f有相同的关系图
隐函数存在定理
存在定理1
存在定理2
对谁的偏导不为0，谁就是因变量。 对方程组来说，有几个方程就有几个因变量，其他是自变量。
复合函数求偏导问题
隐函数求偏导问题
直接法（上册）公式法（下册）
先用隐函数定理判断谁是因变量
逆问题
多元函数的极值最值 问题的理论
极值与最值概念
无条件极值
隐函数
显函数
先用必要条件求出可疑点（令偏导为0 用充分条件判别可疑点（△＝b²➖ac＜0极值，＞0非极值，＝0方法失效。a＜0极大值，a＞0极小值）
条件最值与拉氏乘法
最值不必检验，直接比较求出来的数的大小就行
拉格朗日乘法的时候解方程思想消λ方程相比
闭区域边界上的最值
遇到约束条件小于等于或者≥时要分开讨论 化为无条件极值（开区域无边界）和条件极值（等号）
闭区域上的最值
常微分方程
可分离变量的
可化为可分离变量的
齐次
实根
单根
重根
复根
非齐次高阶
对应齐次的通解
特解
两种形式对应两种根的形式
无穷级数
常数项级数
常数项级数的概念和性质
级数敛散的判别方法
正项级数敛散性判别
充要条件部分和数列有界
或者部分和数列有极限
比较判别法
比较判别法的极限形式
比值判别法
根式判别法
交错级数敛散性判别
任意项级数及敛散性判别
绝对收敛
条件收敛
收敛级数的性质
幂级数
