考研高数：极限与连续

汤家凤1800题第一章，极限与连续思维导图总结。

第一章 极限与连续

一、函数

一、基本概念

1. 函数

2. 复合函数

3. 反函数

4. 基本初等函数

1. 幂函数

2. 指数函数

3. 对数函数

4. 三角函数

5. 反三角函数

5. 初等函数

基本初等函数+四则/复合

二、函数的初等特性

有界性

单调性

奇偶性

周期性

三、特殊函数

符号函数

狄利克雷函数



取整函数

二、极限

一、基本概念

1. 极限定义

数列极限

函数自变量趋于有限值

函数自变量趋于无穷大

2. 无穷小

无穷小的定义：极限为零的函数

无穷小的比较

高阶无穷小

同阶无穷小

等价无穷小

二、极限性质

（一）极限的一般性质

1. 唯一性

3. 有界性

2. 保号性

（1）第一保号性：函数极限正，则去心领域正；函数极限负，则去心领域负；

（2）第二保号性：函数不负，极限不负；函数不正，极限不正；

（3）第三保号性：函数的大小次序与极限的大小次序一致；



4. 列与子列极限性质

（二）极限运算法则

1. 四则运算

2. 复合运算

（三）极限存在准则

1. 迫敛定理

2. 单调有界准则

（四）无穷小的性质

1. 无穷小的基本性质

（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小，常数与无穷小的积是无穷小

（2）有界函数与无穷小的积是无穷小

（3）limf(x) =A <=> f(x)=A+a (a->0)

2. 等价无穷小的性质

三、两个重要极限

三、连续与间断

一、基本概念

1. f(x)在x=a处连续的定义

2. f(x)在[a, b]上连续的定义

3. 间断点的分类

3.1 左右极限都存在是“第一类间断点”

可去间断点：左右极限存在但与函数值不相等

跳跃间断点：左右极限存在但不相等

3.2 左右极限至少有一个不存在是“第二类间断点”

二、闭区间上连续函数的性质

1. 最值定理

2. 有界定理

3. 零点定理

4. 介值定理