高数_下_第七章常微分方程

这是一篇关于高数_下_第七章常微分方程的思维导图，主要内容有过了很久复习顺序:看思维导图复习知识点，看错题本(上面有错题和标注需要看的书上例题)，刷对应考试题目、定义、几种方程类型及解法。

常微分方程

• 过了很久复习顺序:看思维导图复习知识点，看错题本(上面有错题和标注需要看的书上例题)，刷对应考试题目
• 定义
  • 微分方程
    • 表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程
      • 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分函数。 若为多元，则称为偏微分方程
      • 微分方程中所含未知函数导数的最高阶称为微分方程的阶
  • 通解
    • 若微分方程的解中含有任意常数(C),且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
      • 微分方程的解中不含任何的任意常数,则称该解为微分方程的特解。
        • 一般不讨论特解
      • 通解不是方程的全部解
        • 在求解过程中每一步不一定是同解变形，而且要求C个数
    • 微分方程的通解所确定的曲线,称为方程的积分曲线簇.
  • 初始条件,初值问题
    • 对于n阶微分方程式(7.1.8), 给出条件，当x=x0时，7.1.9式中:y0、y1...是给定的n个常数. 称式(7.1.9)为n阶微分方程式(7.1.8)的初始条件， 将求微分方程式(7.1.8)满足初始条件式(7.1.9)的求解问题称为初值问题.
• 几种方程类型及解法
  • 常见解法
    • 注意处理任意常数C形式(合并，或化为其他形式如lnC)
    • 将某个部分看做一个整体μ
  • 可分离变量的微分方程
    • • P4例7.2.1特解，C形式
    • 逻辑斯蒂方程(感觉现在不怎么考)
      • 增长速度先慢后快后慢,Logistic曲线，限制性增长模式
  • • P9例7.2.8 将x视为未知函数 求解(1+y²)dx = (arctany-x)dy
  • 可降阶的高阶微分方程
    • • 逐次积分P16
    • y"=f(x,y′)
      • 设y′=p,则原方程为p′=f(x,p),再分离变量等
    • y"=f(y,y′)
  • 常系数齐次线性微分方程
    • 高阶线性微分方程解的结构
      • • 线性相关、线性无关
          • P20,不全为0的数......
      • 齐次线性微分方程解的结构
      • 非齐次线性微分方程解的结构
        • • 非齐次线性方程式(7.4.3)的任两个解之差是齐次方程式(7.4.4)的解