数学分析：极限

数学分析第四版极限部分知识点总结，详见下图。

极限

• 第二章 数列极限
  • 数列极限的概念
    • ε-N定义
    • 增加或减少有限项
    • 无穷小数列
    • 无穷大数列
    • {an}收敛于a﹤==﹥子列收敛都收敛于a
    • {an}为无穷小数列，{bn}为无界数列==﹥{anbn}为无穷小数列
    • 常用极限
  • 收敛数列的性质
    • 唯一性
    • 有界性
    • 保号性
    • 保不等式性
    • 迫敛性
    • 四则运算
  • 极限存在的条件
    • 单调有界定理
    • 致密性定理
    • 柯西收敛准则
  • 常用不等式
    • 不等式（平＞算＞几＞调）
    • logaN＜n^α＜a^n＜n!＜n^n
    • 伯努利不等式a^n=(1+h)^n≥1+nh
• 第三章 函数极限
  • 函数极限的概念
    • x→∞
    • X→a
  • 函数极限的性质
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 局部保号性
    • 保不等式性
    • 迫敛性
    • 四则运算性质
  • 极限的存在条件
    • 海涅定理
    • 单侧极限单调 海涅定理
    • 单侧单调有界定理
  • 两个重要极限
  • 无穷大量与无穷小量
    • 无穷小量
      • 性质
        • 两个无穷小量和差积仍为无穷小量
        • 无穷小量✖️有界量=无穷小量
    • 无穷小量 阶的比较
      • 低阶无穷小量
      • 同阶无穷小量
      • 等价无穷小量
    • 无穷大量
• 第十六章 多元函数的极限与连续
  • 平面点集与多元函数
    • 定义平面点集
      • 平面点集
      • 领域
      • 内点、外点、界点
      • 聚点孤立点
      • 开集、闭集
      • 开域、闭域
      • 有界点集
    • R²上的完备性定理
      • 平面点列收敛定义
      • （平面点列收敛）柯西准则
      • 闭域套定理
      • 聚点定理
      • 有限覆盖定理
    • 二元函数、n元函数
  • 二元函数的极限
    • 二元函数的极限
      • 定义
      • 性质极限存在充要条件
        • 推论1（聚点相关）
        • 推论2（聚点相关）
        • 推论3（类似海涅）
      • 性质
        • 四则运算
        • 唯一性
        • 局部有界性
        • 局部保号性
    • 累次极限、重极限
      • 定义
      • 累次极限与重极限关系
  • 二元函数的连续性
    • 定义
      • 在点连续
      • 在区域连续
    • 性质
      • 四则运算
      • 保号性
      • 有界性
      • 最值性
      • 介值性
    • 复合函数连续性
• 第四章 函数的连续
  • 连续性概念
    • 在某一点连续
      • 左间断点
      • 右间断点
    • 间断点
      • 第一类间断点
        • 可去间断点
        • 跳跃间断点
      • 第二类间断点
    • 区间上的连续函数
    • 分段连续
  • 连续函数的性质
    • 连续函数的局部性质
      • 局部有界性
      • 局部保号性
      • 四则运算
      • 复合函数连续性
    • 闭区间连续函数的性质
      • 有界性
      • 最值性
      • 介值性
      • 零点定理（根的存在性定理）
    • 反函数的连续性
    • 一致连续性
      • 定义
      • 闭区间连续则一致连续
  • 初等函数的连续性
    • 基本初等函数在其定义域连续
    • 初等函数
      • 定义
      • 定义域上连续
• 三角函数公式
  • 差积公式
  • 积化和差