高中数学概率统计

高考数学概率统计知识点总结，多选题常考的概念也有。内容详实、条理清晰、易于理解，是你不可或缺的学习助手。

概率统计

• 分层随机抽样
  • 抽取人数之比等于总人数之比
• 频率分布直方图
  • 纵坐标是频率¸组距，所以纵坐标之和不一定等于1
  • 一组具体的数据，百分位数就是 数据个数×百分位数=
    • 整数：该位与下一位的平均数
    • 小数：进一位的数据
  • 第25百分位数Û第1四分位数Û下四分位数
  • 对称状态：中=平均 右拖尾：中<平均 左拖尾：中>平均
  • 平均数=小矩形底边中点的横坐标×小矩形的面积 再求和
• 两组数据合并
  • 第一组数据：m个，平均数a，方差A。第二组数据：n个，平均数b，方差B。 两组数据合并：平均数c=(m×a+n×b)¸(m+n)，方差C=[m¸(m+n)]×[A-(c-a)^2]+[n¸(m+n)]×[B-(c-b)^2]
• 枚举法
  • 枚举是考试时较为好用的方法。当我们无法用“排列组合”的知识解释问题时，不妨将全部情况枚举出来。 大题建议书写格式：样本空间Ω={……}。就是集合的意思。
• 概率
  • 这是古典概型最常用的公式。我们做题时，先弄清“本题究竟在做一件什么事？” 然后弄清“题目需要我们做的是什么结果的概率”。
  • 概率中的字母：
    • 一个字母最好表示一件事。比如A表示事件“摸出来的球是红球”
    • 对于相同一件事的不同结果，我们要善于用字母加下标。比如A1表示事件“从第一个袋子里面摸出的是红球”，A2表示事件“从第一个袋子中摸出的是白球”
    • 在没有字母的时候，我们要自己设字母。然后将题干中的数据用相应的字母表示出来，然后再将问题用字母表示。
    • 一定要翻译清楚字母对应的事件！
  • 条件概率：
  • 全概率公式：
    • 理解成：B事件可以切碎放到一个个Ai事件中。这样 B=A1B+A2B+A3B+···+AiB,同时这些AiB彼此互斥。
    • 利用和事件公式：P(B)=P(A1B)+P(A2B)+···+P(AiB)
    • P(AiB)的计算需要利用条件概率公式：P(B|Ai)×P(Ai)
  • 马尔科夫链：
    • 第 n 天吃米饭的概率可以利用 第 n-1 天的情况计算。即：Pn=a×Pn-1 + b×(1-Pn-1)
  • 必理解的公式
    • P(AB)=
      • P(A)×P(B)只有在题目说独立的时候才能用
      • P(A|B)×P(B)=P(B|A)×P(A).这是条件概率中的一个常见转化
    • P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
    • 想想这个公式怎么用Veen图去解释？
  • 离散型随机变量
    • 我们的实验结果可以用具体数字X表示，将每一个X的概率算出，列表就是分布列
    • 期望：E(X)=x×p再求和。
      • E(aX+b)=aE(X)+b
    • 方差：D(X)=p × [x-E(X)]^2=E(X^2)-(E(X))^2
      • D(aX+b)=a^2 D(X)
  • 三个重要的分布：
    • 二项分布
      • 投篮！中or不中
      • X~B(n,p) n是投篮总次数，p是命中率。不要忘记投不中也是有概率的！
      • E(X)=np，D(X)=np(1-p)
      • 一个补充性质：x<(n+1)*p时，概率在逐渐增大。 即：例如命中率为0.7，投99次篮。那么研究命中次数在70次之前时，概率在增大。
    • 超几何分布
      • 取次品！N件产品，M件次品，取n件，研究其中的次品数m
      • X~H(N,M,n)。概率计算就是利用 (想要的)¸(总的)
      • E(X)=(M¸N)×n
    • 正态分布
      • X~N(m,s^2)
      • m是期望，s^2是方差
      • m是图像的对称轴，概率的计算用图像。
• 成对数据
  • 就是在统计两个变量，然后研究他们之间的关系。
  • 散点图：把统计出来的成对数据描在坐标系中。
  • 正相关，负相关，线性相关，不相关
  • 样本相关系数r。|r|越接近1时，线性相关程度越强。
  • 一元线性回归模型
    • • x和y的平均数必在回归直线上！
    • 残差=观测值-预测值=统计的-计算的=真实的-计算的
    • 残差图：将所有的残差计算出来后，统计发现残差比较均匀地分布在以取值为0地横轴为对称轴的水平带状区域内，这个才满足一元线性回归模型。
    • 用两个标准来判断拟合效果：①残差的平方和越小，拟合效果越好； 　　　　　　　　　　　　　②决定系数R^2越大，拟合效果越好。最大是1
  • 非线性回归：
    • 换元法：
    • 指对互换法：
  • 列联表和独立性检验
    • 这是在解决一定范围内的两种现象或者性质之间是否存在关联或相互影响
    • a b c d 的位置要记牢
    • 三步走：零假设为H0：变量1与变量2相互独立，即[题目的问题不相关] 　　　　计算K^2 　　　　根据小概率值a=xx的独立性检测，推断H0成立/不成立，因此[题目问题不相关/相关]
• 二项式定理
  • 一个重要思想：n次方指的是有n个括号相乘。那么根据乘法分配律，在相乘的时候每个括号需提供一个字母出来进行乘法。
  • 这个就表示有n-k个括号提供a，有k个括号提供b。系数指的是提供的方案。
  • 两个系数
    • 二项式系数：
    • 项的系数：除变量外的所有数字
    • 系数的计算要用第二行的公式去计算。注意a是降次，b是升次。C和b的次数一致。
  • 系数和问题
    • 二项式系数和：
    • 项的系数和：赋值法
  • 括号乘括号的展开：
  • 对展开式求导，会发现每一项的系数开始规律成1~n
• 排列组合
  • 相邻：捆绑
  • 不相邻：插空
  • 定序问题：消序，用除法
  • 分组问题：本质是“拿取”，所以用C。
    • 一般分组：多次分步骤拿取
    • 平均分组：要用除法消重复
  • 分配问题：两步走，先在家分好组，再把小组派送到目的地。
  • 相同元素分组：挡板法。
  • 圆排问题：先线排，再除以总个数。
  • 街道问题：本质是分组。弄清m次必向右，n次必向上，那么接下来用“C”进行组合即可
  • 组合数有两个公式：