连续函数

数学分析的连续函数部分，包含独家知识结构和非独家经典例题（ 思路）

连续函数

• 连续函数的定义
  • 函数在某点连续
    • 连续点的定义
      • 设函数在点x0的某个邻域中有定义，并且成立  则称函数f(x)在点x0连续
    • 符号表述
      • 注意事项：在此处|x-x0|不再要求大于零，而是可以等于零。这源于定义中没有“去心”二字
    • 与函数极限的关系
      • 1、是在|x-x0|的取值范围有区别 2、定义的相关之处在于A为f（x0）
  • 函数连续
    • 在开区间上连续
      • 进而由单侧连续的概念推广到一切区间
    • 子主题
• 连续函数/不连续函数证明
  • 连续函数的证明
    • 必须满足的条件
      • (1）函数f(x)在点x0有定义，即f(x0)为有限值；(2)函数f（x）在点x0有左极限，且f(x0一)=f(x0+)；(3)函数f(r)在点x0有右极限，且f(xo+)=f(x0-)。三者缺一不可。否则，函数f(x)在点x0不连续，亦称f(x)在x0间断，x0是函数的不连续点，亦称间断点。
  • 不连续点的类型
    • 但凡有不连续点，就不是连续函数
    • 在某点的左右极限存在但是不相等
    • 某点的左右极限至少有一个不存在
    • 在某点的左右极限都存在而且相等，但是不等于这点的函数值或在这一点函数无意义
      • But
    • 区间（a,b）上单调函数的不连续点必为第一类不连续点（实际上证明单调函数在任意点的左右极限都存在，即单调函数的任意不连续点都是跳跃点）
  • 方法
    • 定义法
    • 反函数存在性定理（严格单调）/反函数连续性（严格单调而且连续）
      • 注意回顾单射，满射，双射定义
    • 复合函数连续性
      • 反例记住
      • 定理记住（一定要记住表述）
      • 一切初等函数在其定义域区间连续p15
• 连续函数的四则运算
  • 所谓加减乘除
• 经典题目/重要函数
  • 连续函数的定义
    • • 这个题目的一个技巧就是|x-x0|＜x0/2，这跟函数极限题目的取法有相同之处噢
    • • 注意：1、取η的的原因是为了保证x在开区间内；2、在证明左连续的时候如果你想放缩成←，就得让1-x＞x，这样解得x＜1/2，肯定不行，因为在x0＝1处取极限
    • • δ有时依赖x0有时不依赖，而是仅仅
    • • 这一题你需要掌握的点就是：1、0与无穷通过倒数的转化2、在数列极限中看到的模型在函数中出现，可以取整以利用3、极限在0处取，简化证明过程（用已有结论）0-和0+的转化
  • 连续函数的四则运算
  • 复合函数
  • 重要函数
    • sin(1/x) x→0不管是从左取还是从右取，图像都上下摆动无法趋于一个固定的值
    • Riemann函数 1、周期性（与证明有理数集是可列集采用了相似的处理方法）2、函数在无理数点连续3、趋近于x0时，讨论有理数还是无理数，最终极限都是0，有海涅定理那味道
    • Dirichlet函数 在每一点都不连续（证明两步，书上就有记上）
    • 只有一个点连续的函数
  • 巧妙极了
• 部分知识漏洞
  • 三角函数变换
• 所以，总的来说，你只需要考虑：该点函数有定义吗？极限存在吗？相等吗（极限相等吗，极限和函数值是相等吗）
• 所谓多项式和多项式分式的连续性