同余理论

数论部分的同余理论比较难以理解，其定理证明也有难度，希望这份思维导图可以帮助到你们

同余理论

• 闵嗣鹤编写的《初等数论》真是妙，无论是定义定理描述还是证明方法都更加通俗易懂，环环相扣。个人认为是胜过冯克勤和余红兵的《整数与多项式》，值得认真看学。
• 同余的概念及基本性质
  • 概念
    • 模的概念
      • 正整数m称为模
    • 同余的概念以及表示方法
      • m除任意两个整数所得余数相同，则称这两个整数对模m同余
  • 性质
    • 由定义得到的显然的性质
      • 自返性
      • 对称性
      • 传递性
    • 加法运算
      • 其证明都是采用你很熟悉的代数方法 重要的代数式就是a=b+mt
      • 两式加减
      • 一式移项
        • 整数a,b对模m同余的充分必要条件是m|（a-b），即a=b+mt（t是整数）
    • 乘法运算
      • 依然是利用a=b+mt来证明，会灰常好用
    • 约数/倍数型
      • 癸的证明依然利用了a=b+mt（整除部分的定理a与m,b与m的公因式相同）
  • 性质的应用
    • 在本书的第36倒37页，在此不再整理，但是要看课本并且会用
• 完全剩余系和既约剩余系
  • 完全剩余系
    • 剩余系
      • 注意与剩余类区别开来
      • m个整数作成模m的一个完全剩余系的充分必要条件是两两对模m不同余
        • 你不要小看这些显而易见的定理，虽然容易理解，但是要想得心应手地使用它们是很不容易的，况且它们的应用还十分广泛。
    • “变形”剩余系
      • • 注意a,m互素这个条件是必要的，才能约去a
    • 最小非负完全剩余系（尤其记住奇数偶数那个，学校课本上没有）
      • 这几个完全剩余系是完全剩余系中最简单的，以后常常用到
  • 既约剩余系
    • 如果一个模m的剩余类里面的数与m互素，就把它叫做一个与模m互素的剩余类.在与模m互素的全部剩余类中，从每一类各任取一数所作成的数的集合，叫做模m的一个既约剩余系
  • 欧拉函数
    • 欧拉函数
      • 欧拉函数φ(a)是定义在正整数上的函数，它在正整数a上的值等于序列0，1，2，…，a-1中与a互素的数的个数
      • 欧拉函数是积性函数
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      • 计算方法
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• 两个著名定理
  • 欧拉定理
    • 课本证明很巧妙，很简单，可以参照
  • 费马定理
• 注：如果将模m(正整数)的剩余类看成一个元素，剩余类的相等就可以用同余刻画，1课的同余的运算性质就可以转化为剩余类的运算性质，等等.这样，模的剩余类的集合对这些运算就作成一个环，称为剩余类环.如果模是合数，那么就有不等于零的剩余类，相乘后为零，即有零因子.这就为抽象代数提供了一个有零因子的环的具体例子.上述环中所有与模m互素的剩余类(参看下节)对乘法作成一个群.当模m为素数p时，上述的环成一个域，通常记作F，.它有p个元素，这是有限域的一个重要例子.对于多项式的同余也可以有类似的结论.如果读者能加以具体而严格的考察，那么就会对(抽象)代数的某些基本概念和性质有更好的理解.
• 举例子