如何唤醒数学脑

作者是日本数学名师兼乐团指挥家永野裕之。全篇引用贴切的比喻和实例,娓娓道来“七个方面的数学式思考”包括:1、 整理。2、顺序概念。3、转换。4、抽象化。5、具体化。6、逆向思维。7、对数学的美感。

如何唤醒数学脑

• 唤醒数学力
  • 数学式的阅读理解法
    • 逻辑分析
  • 发现自己的数学力
    • 意识到过去在无意识中使用的数学力，就能更切实、迅速地解析出最终的答案
• 什么是数学力？
  • 算术≠数学
    • 数学能力≠ 计算能力->计算器
    • 数学能力≠ 快速解答应用题、将已知的题型分门别类并加以解析的能力->计算机
    • 数学能力≠ 能够快速解答数学谜题的能力
    • 算术：一门磨炼你如何“迅速且正确解答已知问题能力”的科目
    • 数学：一门“培养你解答未知问题能力”的科目
  • 数学力
    • 对尚未建立算法（处理方式）的未知问题提出解答方案；
    • 即使无法解答也要找出解答的方向；
  • 提升数学力
    • 思考“为什么”
    • 切勿死记硬背
• 数理性思维的七个方面
  • 第①方面 整理
    • 目的：
      • 获得新信息，把隐藏的信息推理出来
    • 方法：
      • 通过明确的规则加以分类、运用算数方法等原则加以整理、检查的行为
    • 通过分类推理出隐藏性质
      • 重点：
        • 思考该以什么作为分类的基准，才能推理出隐藏的性质。
      • MECE原则（相互独立，完全穷尽） Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive
      • 实例
        • 图形分类
        • 星座血型
        • 葡萄酒
        • 元素周期表
    • 乘法式整理
      • “和”与“积”的信息量差异
        • 积提供的信息量比和多，信息越多，能圈定的范围就越小
        • 乘法运算本质
          • 使用不同性质的东西进行计算->全新性质的东西
        • 加法运算的本质
          • 相同性质的计算->相同性质的东西
      • 次元增加，世界就会急剧扩张
      • 实例
        • 意愿-能力（Will-Skill）矩阵
    • 高效率检查表
      • 碰到被大量信息，只考虑最低限度的必要信息，然后决定下一步行动
      • 实例
        • 全等三角形判定
        • ECRS检查表（改善四原则）
          • eliminate（取消）
            • 能否省略工程、作业、动作？
          • combine（合并）
            • 能否同时进行多组工程？
          • rearrange（重组）
            • 能否调换顺序？
          • simplify（简化）
            • 能否简化作业？
  • 第②方面 顺序概念
    • 选择时由大到小
      • 选择东西时的正确顺序
        • 利用必要条件进行筛选→确认是否符合充分条件。
    • 证明时由小到大
      • 证实某件事的正确性
        • 以充分条件（小范围）为假设，以必要条件（大范围）为结论来进行思考。
  • 第③方面 转换
    • ·换句话说
      • 充分必要条件，等价变换
    • ·运用因果关系
      • 理解函数
        • 一对一
          • 每个原因都对应特定的结果，且每个结果也都对应特定的原因。
        • 多对一
          • 每个原因都对应特定的结果，但每个结果并不一定对应特定的原因
        • 一对多
          • 每个原因不一定对应特定的结果，但每个结果都对应特定的原因。
            • 结果不确定
        • 多对多
          • 每个原因不一定对应特定的结果，且每个结果也不一定对应特定的原因。
            • 没有因果关系
      • 运用函数
        • ① 设想的原因是否为自变量
          • 注意识别假原因：一个乍看之下貌似原因的假原因，其实只是真正的原因的结果
        • ② “原因”是否只对应一种结果
  • 第④方面 抽象化
    • ·归纳出共同的性质
    • 抽象化
      • 用字母代替数字
      • 分类、命名的行为基本上都是抽象化
        • 双刃剑：无法看清事物的本质
    • ·模型化
      • 把复杂的现实简化成单纯的模型
        • 图论
        • 柯尼斯堡问题
  • 第⑤方面 具体化
    • ·成为说明高手
      • 提出具体实例
        • 通过一些具体的实例扩大想象的范围，再进行整体的抽象化
      • 活用比喻
        • 较近的具体例子→抽象化后的概念→较远的具体例子（比喻）
    • ·分别使用“演绎”和“归纳”
      • 演绎法
        • 从适用于全体的理论（假说）推导出个别的情况 把抽象化后的情况，套用在具体实例上
        • 缺点：
          • 原始的理论（假说）有误，或是只能套用在受限的范围内时，就有可能“把理论（假说）套用在不适用的情况上
      • 归纳法
        • 从个别的情况推导出适用于全体的理论 从多组具体实例当中找出共同的性质，再加以抽象化
        • 缺点
          • 在无法验证所有事例或提出同等的逻辑证明的前提下，最后得到的抽象结论不见得是无法动摇的真理
  • 第⑥方面 逆向思维
    • ·迈向多元视角的第一步
      • 逆向思维
      • ABC理论
        • A（Activating Event：诱发或导致坏情绪的事件）
        • B（Belief：信仰、信念）
          • RB（Rational Belief：理性的思考方式）
          • IB（Irrational Belief：非理性的思考方式）
            • 凡事太绝对
            • 不知变通
        • C（Consequence：结果）
        • D（Dispute：反论、辩驳、反驳）
      • 逆、否、对偶命题
        • 原命题
        • 逆命题
        • 否命题
        • 逆否命题
        • 当原命题的真伪难以判断时，通过其逆否命题来思考
      • 反证法
        • ① 假设欲证明的某命题成立。
        • ② 导出矛盾结果。
        • 二律背反
          • 互相矛盾的两个命题同时成立
          • 二律背反成立时，反证法就毫无用武之地
        • 尝试思考“别种可能性”
    • ·避开麻烦
  • 第⑦方面 对数学的美感
    • 与古典音乐对比
      • 乐谱也有逻辑性，和声部分
      • 两者皆为美丽的逻辑
    • ·讲求合理性
    • ·利用对称性
      • 利用图
      • 利用式子的对称
      • 设定对称的条件
    • ·追求一致性