数理统计事件与概率

下图对《医药数理统计》第一章进行详细全面总结概括，包括概率论基本知识、统计学重要概念与方法等内容。

事件与概率

• 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门科学学科
• 基本概念
  • 现象
    • 必然现象
    • 偶然现象（随机现象）：在个别试验中呈现不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性现象
  • 试验（对各种现象的观察）
    • 随机试验特征
      • 相同条件下，可重复进行
      • 各次试验结果不能确定
      • 所以可能的结果都已知，且必有其中一个结果出现
  • 事件（对现象观察而得的结果）
    • 必然事件Ω，不可能事件Φ，随机现象简称事件，A、B、C表示
    • 样本空间S，只包含一个样本点的随机事件称为基本事件
• 事件之间的关系
  • 包含关系：B∈A，事件B发生必然导致事件A发生
  • 等价：A＝B
  • 并事件A+B(A∪B) A或B中至少有一个发生
  • 交事件:AB（A∩B），A、B同时发生
  • 差事件：A-B（A发生的同时B不能发生）
  • 互不相容事件：AB＝Φ，A.B不能同时发生（n个事件互斥，是指其两两互斥）
  • 互斥完备群：两两互斥，并事件为全集
  • 对立关系：A+B＝Ω AB＝Φ，A.B中必有且只有一个发生
    • 注意：对立为互斥，但互斥不一定对立
• 事件的运算
  • 交换律：A+B＝B+A AB＝BA
  • 结合律：（A+B）+C＝A+（B+C） (AB)C＝A(BC)
  • 等幂律：A+A＝A AA＝A
  • 分配律：A(B+C)＝AB+AC (A+B)(A+C)＝A+BC
  • 补余律：A+Ã＝Ω AÃ＝Φ 同一律：A＋Φ＝A A＋Ω＝Ω
  • 包含律：Φ∈AB∈A或者B∈A+B∈Ω
  • 吸收律：A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A
  • 摩根定律（A∪O）＝Ã∩Õ A∩O＝Ã∪Õ
• 事件的概率
  • 基本概念
    • 频率：统一条件下进行大量重复n次试验，事件A出现m次，则称m为事件A的频数，称比值m╱A为事件的频率，记为：f(A)＝m╱n
    • 概率：在条件相同的n次试验中，事件A发生m次，如果加大n时，A的频率m/n逐渐稳定在一个常数P附近，就把P称为事件A的概率，记为：P(A)＝P
      • 性质：非负性：0≤P(A)≤1 规范性：p(Ω)＝1 P(Φ)＝0 概率是一种客观属性，同时为近似值。A＝Φ→P(A)＝0，而不是双箭头！
    • 等概率基本事件组定义：1.N个事件，每一个事件出现的概率是相等的 2.任一次实验中，N个事件中只能出现N个事件中的一个（互不相容性） 3.任一试验中，N个事件中必然出现一个 等概率基本事件组记为：Ω＝︴A1.A2.....An ︴
    • 古典概型：如果一组等概率基本事件n个，事件A包含其中m个事件，则事件A的概率：P(A)＝m╱n 这种利用等概率基本事件个数计算概率的方法为古典概型
    • 条件概率：在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B╱A) 而P(B╱A)＝P(AB)╱P(A)也具有规范性和非负性
  • 概率的运算
    • 加法定理：互斥事件P(A+B+.....+N)＝P(A)＋P(B)＋.....＋P(N) 一般事件的加法：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB) n个事件，P(A1＋A2＋....＋An)＝∑P(Ai)－∑P(Ai Aj)＋∑P(Ai Aj Ak)＋......＋（－1）︿（n－1）P(A1 A2...An)
      • 加法定理推论：P(AO)+P(AÕ)＝P(A) P(A－O)＝P(AÕ) O∈A→P(A－O)＝P(A)－P(O) P(A)＋P(Ã)＝1 P(O╱A)＋P(Õ╱A)＝1
    • 乘法定理：P(AB)＝P(A)P(B╱A) P(A1 A2 ....An)＝P(A1) P(A2╱A1)....P(An_1╱A1 A2 ......An_2)P(An╱A1 A2 .....An_1)
    • 全概率（求某一事件发生的概率）：P(A)＝∑P(Bi) P(A╱Bi)
    • 贝叶斯公式（某一事件发生的条件下另一事件发生的概率）：P(Bi╱A)＝［P(Bi)P(A╱Bi)］╱P(A)
  • 概率的应用
    • 古典概型：关键是找到n作为分母，分清楚是放回还是不放回，是否可以重复选择，物质是否一样（关系到是C组合还是A全排列）（一般有位置对应为A，没有为C，可以重复选择为X︿y）
      • 随机取球（注意是否放回）
      • 质点入盒（注意盒子是否重复使用，球是否一样）
      • 随机取数
    • 全概率运用：画路径，判断已知条件，找概率填空，进行计算
    • 贝叶斯公式运用：首先判断条件是啥，再用字母表示事件，罗列已知概率，进行计算，往往先计算全概率
• 事件的独立性
  • 若两个事件独立，则P(O)＝P(O╱A)，且A与Õ，Ã与O，Ã与Õ都独立
    • 性质：P(AO)＝P(A)P(O)
  • 证明两个事件不独立：P(AB)≠P(A)P(B) 证明两个事件独立：P(A)＝P(A╱B)
• 总章运用出题方向
  • 用事件运算关系表示事件
    • 理解各事件运算关系的中文含义
  • 解释各事件运算关系的含义
  • 计算概率或者频率
    • 古典类型：等概率，关键找n
    • 全概率运用，画路径，填空，计算
    • 贝叶斯公式：罗列已知，清晰所求，计算全概率
    • 注意：有多种可能性的时候，不要怕麻烦，可以一一列举，或者从反面思考1－P(Ã)