七上数学 第一章 有理数

总结了七上数学第一章有理数的全部内容，有理数是指整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数。因此，有理数也可以定义为十进制循环小数，本图供复习使用。

第一章 有理数

• 1.1 正数和负数
  • 正数
    • 正数是指比0大的数，也称为正实数。在数学中，正数通常用符号“+”和数字表示，如+3、+1.5、+584等。与负数和零不同，正数不小于零
  • 负数
    • 负数是一种数学术语，表示小于0的实数。在数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小。例如，-3、-1.5、-1/2、-584等都是负数。需要注意的是，0既不是正数也不是负数
  • 数0的认识
    • 在数学中，0有很多重要的性质。它是正数和负数的分界点，既不是正数也不是负数。它是偶数，是自然数，也是整数。在计算中，0的平方根和立方根都是0，任何数和0相乘都等于0，任何数除以0都没有意义
• 1.2 有理数
  • 1.2.1 有理数
    • 有理数的定义
      • 有理数是指整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数。因此，有理数也可以定义为十进制循环小数
    • 有理数的分类
      • 整数
        • 正整数
          • 正整数是指大于0的整数，也是正数与整数的交集。它包括质数、1和合数。在数学中，正整数常常被用来表示物体个数，如1、2、3、4、5等等。相邻的两个正整数之间相差1
        • 0
        • 负整数
          • 负整数是在自然数前面加上负号(-)所得的数，即小于0的整数，用Z⁻表示。例如，-1、-2、-3、-38……都是负整数
      • 分数
        • 正分数
          • 负整数是在自然数前面加上负号(-)所得的数，即小于0的整数，用Z⁻表示。例如，-1、-2、-3、-38……都是负整数
        • 负分数
          • 负分数是指小于0的分数，即分子小于分母的分数。例如，-1/2、-3/4、-5/6等都是负分数。负分数的特点是分子比分母小，而且分子和分母都是负数
  • 1.2.2 数轴
    • 数轴的定义
      • 数轴是一种特定几何图形，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素为原点、单位长度和正方向
    • 有理数与数轴的关系
      • 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。在数轴上，原点表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。对于任何一个有理数，都可以在数轴上找到一个对应的点
  • 1.2.3 相反数
    • 定义
      • 相反数是一个数学术语，指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。具体来说，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，-2与+2互为相反数，0的相反数是0。求一个数的相反数，只要在这个数前添加“-”号即可。例如，求-2的相反数，可以得到-(-2)=2
    • 几何意义
      • 相反数的几何意义在数轴上表示为，到原点两边距离相等的两个点表示的两个数是互为相反数。具体来说，在数轴上，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称
    • 性质
      • 1、任何数都有相反数，且只有一个
      • 2、正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数
      • 3、互为相反数的两个数的和为0
      • 4、零是唯一一个相反数等于它本身的数
    • 求法
      • 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可
  • 1.2.4 绝对值
    • 绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。在数学中，绝对值或模数| x |为非负值，而不考虑其符号，即| x | = x表示正x，| x | = -x表示负x（在这种情况下-x为正），| 0 | = 0。例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。数字的绝对值可以被认为是与零的距离
• 1.3 有理数的加减法
  • 1.3.1有理数的加法
    • 有理数加法法则
      • 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
      • 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0
      • 3、一个数同0相加，仍得这个数
    • 有理数加法运算律
      • 加法交换律
        • a+b=b+a，即两个数相加，交换加数的位置，和不变
      • 加法结合律
        • (a+b)+c=a+(b+c)，即三个数相加，先把前两个数相加，再与第三个数相加，或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，和不变
      • 分配率
        • a(b+c)=ab+ac，即一个数乘以几个数的和，等于把这个数分别乘以这几个数，再相加，和不变
  • 1.3.2有理数的减法
    • 有理数减法法则
      • 1、被减数不变，减法运算变为加法运算，减数变为它的相反数
      • 2、两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数；一不变：被减数不变
      • 3、可以表示成：a-b=a+(-b)
    • 有理数加减混合运算
      • 有理数加减混合运算是指在一个算式中同时存在有理数的加法和减法运算。在有理数加减混合运算中，我们需要根据运算的性质和规则进行运算，最终得出结果
• 1.4 有理数的乘除法
  • 1.4.1有理数的乘法
    • 有理数乘法法则
      • 1、多个有理数相乘，几个不是0的数相乘负因数的个数是偶数时，积为正数，负因数的个数是奇数时，积为负数
      • 2、任何数与0相乘，积为0
      • 3、几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数
      • 4、乘积是1的两个数互为倒数
      • 5、如果有两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数为另一个数的倒数（reciprocal)，也称这两个有理数互为倒数
    • 倒数
      • 倒数是一种数学学科术语，是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为1/x，过程为“乘法逆元”。除了0以外的数都存在倒数，分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数
    • 有理数乘法运算律
      • 乘法交换律
        • ab=ba，即两个数相乘，交换因数的位置，积不变
      • 乘法结合律
        • (ab)c=a(bc)，即三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变
      • 乘法分配率
        • a(b+c)=ab+ac，即一个数乘以几个数的和，等于把这个数分别乘以这几个数，再相加
  • 1.4.2有理数的除法
    • 有理数除法运算法则
      • 1、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
      • 2、除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。（注意：0没有倒数）公式：a÷b=a×1/b(b≠0)
    • 有理数乘除法混合运算
      • 有理数乘除法混合运算是指在计算过程中既有乘法运算又有除法运算。为了保证计算的准确性，需要遵循一定的运算规则
• 1.5 有理数的乘方
  • 1.5.1乘方
    • 乘方的定义
      • 乘方是指求n个相同因数的积的运算，其中a为底数，n为指数。结果称为幂，读作“a的n次方”或“a的n次幂”
    • 运算法则
      • 1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。比如，2的3次方乘以2的4次方，就等于2的7次方。这个法则可以表示为：a的m次方 × a的n次方 = a的(m+n)次方，其中，a表示底数，m和n表示指数
      • 2、正数的任何次幂都是正数
      • 3、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。当n为正奇数时，(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n；当n为正偶数时，(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n
  • 1.5.2科学计数法
    • 定义
      • 科学计数法是一种数学专用术语，它表示一个数字为a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。例如，920000可以表示为9.2*10^5，读作9.2乘10的5次方
  • 1.5.3近似数
    • 近似数的含义
      • 近似数是指与准确数相近的一个数。准确数即这个数的最原始数据，没有经过约分、化简、或者四舍五入等任何运算之前的表达方法。而近似数则是根据四舍五入、五舍六入等规则，或者根据部分数据的特性进行估算得出的数值
    • 精确值
      • 精确值是一个数学术语，指的是一个数能够准确地表示某个量的情况。例如，对于4本书这个量，其精确值就是4；对于6张桌子这个量，其精确值就是6。这些数字都能准确反映各自代表的实物数量，没有多余的误差或不确定性