高考数学知识点总结

高考复习是一件十分耗费精神的事，尤其高中数学涉及的知识点众多，将知识点梳理后，有计划地复习将会事半功倍。本导图总结了高考数学重点考察的点，并针对重点考察的函数等内容进行了详细的知识点梳理，希望在你的高考复习中有所帮助。

高考数学知识点总结

• 高考数学知识点
  • 函数与导数
    • 主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数
  • 平面向量与三角函数、三角变换及其应用
    • 这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题
  • 数列及其应用
    • 这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题
  • 不等式
    • 主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点
  • 概率和统计
    • 这部分和我们的生活联系比较大，属应用题
  • 空间位置关系的定性与定量分析
    • 主要是证明平行或垂直，求角和距离
  • 解析几何
    • 高考的难点，运算量大，一般含参数
• 七大复习要点
  • 函数和导数
    • 考察要点
      • 函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性
      • 函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题
  • 平面向量和三角函数
    • 考察要点
      • 划减与求值，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式
      • 三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质
      • 正弦定理和余弦定理来解三角形，难度比较小
  • 数列
    • 考察要点
      • 通项
      • 求和
  • 空间向量和立体几何
    • 考察要点
      • 证明
      • 计算
  • 概率和统计
    • 考察要点
      • 等可能的概率
      • 独立事件
      • 独立重复事件发生的概率
  • 解析几何
    • 考察要点
      • 直线和曲线的位置关系
      • 动点问题
      • 弦长问题
      • 对称问题
  • 压轴题
    • 分部得分整个试卷不要留空白
• 参数方程
  • 坐标系与参数方程
    • 坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单
    • 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变
  • 参数方程定义
    • 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)
    • 对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数
  • 参数方程
    • 圆
      • x=a+rcosθy=b+rsinθ
      • a,b为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数
    • 椭圆
      • x=acosθy=bsinθ
      • a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数
    • 双曲线
      • x=asecθ(正割)y=btanθ
      • a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数
• 函数
  • 判断函数值域的方法
    • 配方法
      • 利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围
    • 换元法
      • 常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解
    • 判别式法
      • 若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△≥0，确定y的范围，即原函数的值域
    • 不等式法
      • 利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”
    • 反函数法
      • 若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法
    • 单调性法
      • 首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)
    • 数形结合法
      • 分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域
  • 求函数单调性的基本方法
    • 把握好函数单调性的定义
      • 证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证)，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]
    • 熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间
      • 理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减
    • 高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的
    • 应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题
• 三角函数
  • 三角函数
    • 周期函数
      • 一般地，对于函数f(x),如果存在一个不为0的常数T使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期三角函数属于高中数学中的重点内容，在高考理科数学中更是占据很重要的位置
    • 三角函数的图像
      • 可以利用三角函数线用几何法作出，在精确度要求不高的情况下，常用五点法作图，要特别注意“五点”的取法
    • 三角函数的定义域
      • 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用
  • 反三角函数
    • y=arcsin(x)
      • 定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条
    • y=arccos(x)
      • 定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用蓝色线条
    • y=arctan(x)
      • 定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条
    • sin(arcsin x)=x
      • 定义域[-1,1],值域 [-1,1]
  • 三角函数其他公式
    • arcsin(-x)=-arcsinx
    • arccos(-x)=π-arccosx
    • arctan(-x)=-arctanx
    • arccot(-x)=π-arccotx
    • arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
    • sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
    • 当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x
    • 当x∈[0,π],arccos(cosx)=x
    • x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
    • x∈(0，π),arccot(cotx)=x
    • x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
    • 若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
  • 三角函数与平面向量的综合问题
    • 巧妙“转化”--把以“向量的数量积、平面向量共线、平面向量垂直”“向量的线性运算”形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”
    • 巧挖“条件”--利用隐含条件”正弦函数、余弦函数、的有界性“，把不等式的恒成立问题转化为含参数ψ的方程，求出参数ψ的值，从而可求函数的解析式
    • 活用”性质“--活用正弦函数与余弦函数的单调性、对称性、周期性、奇偶性，以及整体换元思想，即可求其对称轴与单调区间
  • 三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)
    • 函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称
    • 函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称
    • 利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质