线性空间

线性空间知识体系，设V是一个非空集合，F是数域，如果在V中定义了两种运算（分别称为加法和数乘），即对V中任意两个元素α，β，存在V中唯一的元素α+β（称为加法封闭），以及对于V中任意一个元素α和F中任意一个数k，存在V中唯一的元素kα（称为数乘封闭），并且这两种运算必须满足8条公理。

线性空间

• 定义
  • 设V是一个非空集合，F是数域，如果在V中定义了两种运算（分别称为加法和数乘），即对V中任意两个元素α，β，存在V中唯一的元素α+β（称为加法封闭），以及对于V中任意一个元素α和F中任意一个数k，存在V中唯一的元素kα（称为数乘封闭），并且这两种运算必须满足8条公理。
    • （1）加法交换律：对V中任意两个元素α，β，α+β=β+α； （2）加法结合律：对V中任意三个元素α，β，γ，（α+β）+γ=α+（β+γ）； （3）零元素：V中存在一个记为0的元素，使得对V中任一元素α，都有α+0=α； （4）负元素：对V中任一元素α，都存在V中的元素β（称为α的负元素），使得α+β=0； (5)对V 中每个元素α，1α=α; (6)对F中任意两个数k，l和V中每个元素α，(kl)α=k(lα)； (7)对F中每个数k和V中任意两个元素α，β，k(α+β)=kα+kβ; (8)对F中任意两个数k，l和V中每个元素α，(k+l)α=kα+lα.
    • 线性空间定义的简单推理
      • （加法的消去律）设V是线性空间，对V中任意三个元素α，β，γ，α+γ=β+γ，则α=β.
      • 在数域F上的线性空间V中，下列结论成立： (1)对V中任何向量α，0α=0(注意左边是数字0，右边是零向量)； (2)对V中任何向量α和F中任何数k，(-k)α=-kα=k(-α)； (3)对F中的任何数k和V的零向量0，k0=0； (4)如果对k∈F和α∈V，有kα=0成立，那么k=0或者α=0.
• 线性相关与线性无关
  • 定义：对于V中的向量组α_1，α_2，······，α_m，如果存在F中m个不全为零的数k1，k2，······，km，使得k1α_1+k2α_1+·+kmα_1=0, 则称向量组α_1，α_2，······，α_m是线性相关的，否则就称α_1，α_2，······，α_m线性无关.
    • V中的向量组α_1，α_2，······，α_m线性相关充要条件：V中的向量组α_1，α_2，······，α_m中一向量α_i，可以由其余的向量表出.
• 基与维数
  • 定义：V 中满足下列两个条件的向量组α_1，α_2，······，α_m称为V的一个基 (1)α_1，α_2，······，α_m 线性无关； (2)V中每个向量都可以由α_1，α_2，······，α_m线性表出. 此时，我们称这个基所含的向量个数m为V的维数，记为dim V..
• 过渡矩阵
  • 设α_1，α_2，······，α_m是n维线性空间V的一个基，并且向量组 β1，β,2,…，βn可由α_1，α_2，······，α_m线性表出： (β1，β,2,…，βn)=(α_1，α_2，······，α_m)A, 则β1，β,2,…，βn是V的一个基的充要条件是A为可逆矩阵.
• 子空间
  • 定义：设W为数域F上线性空间V的一个非空子集，如果W对于V的加法和数乘封闭，那么称W是V的一个子空间。
  • 子空间的交与和
    • 子空间交与和的维度公式：V1与V2都是数域F上线性空间V的有限维子空间，则V1+V2也是V的有限维子空间， dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2)
  • 子空间的直和
    • 设 V1，V2都是数域F上线性空间 V 的有限维子空间，则以下命 题等价： (1)V1+V2是直和； (2) V1+V2中零向量表示法唯一； (3) V1的一个基与V2的一个基合起来是V1+V2的一个基； (4)dim(V1 + V2) = dim V1 + dim V2; (5)V1∩V2={0}.
    • 定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果V1+V2中每个向量α都可以唯一地表示成α=α1+α2，其中α1 ∈ V1，α2 ∈V2， 则称 Vi+V2是直和，