二次型一般为对称矩阵

考研线代总结--二次型一般为对称矩阵，标准型处理：系数>0,规范成1 系数<0,规范成-1 系数=0,规范成0；正负惯性指数：P：规范系数中等于1的个数，Q：规范系数中等于-1的个数。

二次型一般为对称矩阵

• 一般二次型
  • F=X^TAX
  • 正定二次型：X^tAX>o,则f为正定二次型
    • 判定
      • 定义法
      • 特征值法：λ>0/正惯行指数=
      • 顺序主子式均大于0，沿主对角线展开
• 标准型二次型
  • 只包含平方项
    • 二次型化标准型的化法
      • 配方法
        • 配方注意：1.第二项之后不能出现X1，得到的标准型不唯一，系数未必是λ，只体现正负
      • 正交变换法
        • 对A的正交对角化，得到的标准型唯一，系数均为λ
  • 矩阵合同;:P^TAP=B,A B均为实对称矩阵
    • 充要条件
      • 正负惯性指数相同
      • λ相同
      • 秩相同
• 规范型二次型
  • 标准型处理：系数>0,规范成1 系数<0,规范成-1 系数=0,规范成0
  • 正负惯性指数：P：规范系数中等于1的个数，Q：规范系数中等于-1的个数