7.9 整式乘法和因式分解

苏教版数学七年级下册第9章《整式乘法和因式分解》知识点梳理，包含①单项式乘单项式②单项式乘多项式③多项式乘多项式④乘法公式⑤多项式的因式分解。

整式乘法和因式分解

• 单项式乘单项式
  • 法则
    • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
    • • 实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用
      • 运算的结果仍为单项式
      • 三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则
  • 步骤
    • 1.把它们的系数相乘，包括符号的计算
    • 2.相同字母相乘，是同底数幂的乘法
    • 3.只在一个单项式里含有的字母及其指数不变
    • 4.将这三部分的乘积作为计算的结果
• 单项式乘多项式
  • 法则
    • 先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
    • • 实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题
      • 积为一个多项式，其项数与多项式的项数相同，不要漏乘项
      • 计算的过程中要注意符号问题
        • 多项式中的每一项包括它前面的符号
        • 还要注意单项式的符号
      • 对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果
• 多项式乘多项式
  • 法则
    • 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
    • 
    • • 多项式与多项式相乘，仍得多项式
      • 在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积
      • 多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并
      • 特殊的二项式相乘
        • 
• 乘法公式
  • 完全平方公式
    • 公式
      • （a+b）²=a²+2ab+b²
      • （a-b）²=a²-2ab+b²
      • 两个数的和（或差）的平分，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
    • 常见类型
      • 
      • 
  • 平方差公式
    • 公式
      • 
      • 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
      • a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式
    • 常见类型
      • 位置变化
        • 
      • 系数变化
        • 
      • 指数变化
        • 
      • 符号变化
        • 
      • 增项变化
        • 
      • 增因式变化
        • 
  • 补充公式
    • 
    • 
    • 
    • 
• 多项式的因式分解
  • 公因式
    • 定义
      • 多项式的各项都含有的因式，称为这个多项式的公因式
      • • 公因式必须是每一项中都含有的因式
        • 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式
    • 确定方法
      • 系数
        • 当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数
      • 字母
        • 字母应取各项相同的字母，且各字母的指数均取次数最低的
  • 因式分解
    • 定义
      • 把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫作多项式的因式分解
    • 方法
      • 提公因式法
        • 确定公因式，逆用乘法分配律
        • 
        • • 多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号
          • 若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误
      • 公式法
        • 平方差公式
          • 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积
          • a²-b²=（a+b）*（a-b）
        • 完全平方公式
          • 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方
          • 
          • 
          • a²±2ab+b²=（a±b）²
      • 十字相乘法
        • 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
        • 对于二次三项式x²+bx+c，若存在
          • 
        • • 在对x²+bx+c分解因式时
            • 先从常数项 的正、负入手
              • 若c＞0，则p,q同号
              • 若c＜0，则p,q异号
            • 然后依据一次项系数b的正负,再确定p、q的符号
            • 若b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止
        • 首项系数不为1的十字相乘法
          • 在二次三项式 ( a≠0)中
            • 二次项系数a可以分解成两个因数之积
              • 
            • 常数项c可以分解成两个因数之积
              • 
            • 
              • 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于b
              • 即
          • • 次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上
      • 分组分解法
        • 把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解
        • 先对题目进行分组，然后再分解因式
      • 添、拆项法
        • 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解
        • 必须在与原多项式相等的原则下进行变形