第七章：平面直角坐标系

人教版初中数学第七章《平面直角坐标系》知识点梳理。包含①平面直角坐标系（有序数对、平面直角坐标系、坐标系内点的坐标的特点）②坐标方法的简单应用（表示地理位置的方法、用坐标表示平移）

平面直角坐标系

• 平面直角坐标系
  • 有序数对
    • 定义
      • 把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)
      • • 由两个数组成
        • 两数有顺序性
          • 即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同
          • 如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号
        • 成对出现
    • 记法
      • 两个数a,b组成的有序数对记作（a，b）
      • • a和b要用逗号分开，表示它们是独立有序的两个数
        • 同时要用括号括起来，表示它们是一个整体
  • 平面直角坐标系
    • 坐标
      • 数轴上的点与实数是一一对应的。数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标
    • 平面直角坐标系
      • 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系
        • 
          • 水平数轴称为X轴或横轴，习惯上取向右为正方向
          • 竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向
          • 两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点
        • 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的
        • • 在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化
    • 点的坐标
      • 
        • 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)
      • • ①表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开
          • 先横后纵再括号，中间隔开用逗号
        • ②点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如P（a,b）,Q(m,n)
        • ③点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离
        • ④对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应
          • 坐标平面内的点与有序数对是一一对应的
    • 象限
      • 定义
        • 坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分成为象限
          • 
            • 第一象限
              • （+，+）
              • 在右上方
            • 第三象限
              • （-，-）
              • 在左下方
            • 第四象限
              • （+，-）
              • 在右下方
        • 特殊
          • 坐标轴上的点不属于任何象限
            • x轴
              • 在正半轴上
                • （+，0）
              • 在负半轴上
                • （-，0）
            • y轴
              • 在正半轴上
                • （0，+）
              • 在负半轴上
                • （0，-）
          • 原点
            • （0,0）
  • 点的坐标的特点
    • 点的坐标符号规律
      • 
      • • x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0
    • 两坐标轴夹角平分线上点的坐标特点
      • 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)
      • 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)
    • 点关于坐标轴对称
      • 点P（x,y）
        • 关于x轴对称
          • （x,-y）
        • 关于y轴对称
          • （-x,y）
        • 关于原点
          • （-x,-y）
        • 关于第一，三象限角平分线对称
          • （y,x）
        • 关于第二，四象限角平分线对称
          • （-y,-x）
    • 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
      • 平行于x轴的直线上的任意两点，纵坐标相等
      • 平行于y轴的直线上的任意两点，横坐标相等
  • 用坐标表示距离
    • 点P（x,y）的几何意义
      • 点P（x,y）到x轴的距离为lyl
      • 点P（x,y）到y轴的距离为lxl
      • 点P（x,y）到坐标原点的距离为
    • 两点之间的距离
      • X轴上两点为
      • y轴上两点为
      • 已知
    • 中点坐标公式
• 坐标方法的简单应用
  • 表示地理位置的方法
    • 用坐标表示物体位置
      • 根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起
      • 过程
        • ①建立直角坐标系
          • 选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向
        • ②确定比例尺
          • 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度
        • ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称
      • • 习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向
        • 建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置
          • 一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法
        • 建立平面直角坐标系的方法是不唯一的．所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同
    • 用方位角和距离表示物体位置
      • 方位角
        • 从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的夹角
      • 方法
        • ①选取一个适当的参照点
        • ②测量出方位角和两点之间的距离
    • 用经度和纬度确定物体位置
  • 用坐标表示平移
    • 点的平移
      • 点P（x,y）
        • 向右平移a个单位长度
          • （x+a,y）
        • 向左平移a个单位长度
          • （x-a,y）
        • 向上平移b个单位长度
          • （x,y+b）
        • 向下平移b个单位长度
          • （x,y-b）
        • 右加左减，上加下减
      • 沿x轴平移纵坐标不变，沿y轴平移横坐标不变
    • 图形的平移
      • • 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度
        • 如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度
        • • 平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化
            • 图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决
          • 平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化
      • 平移作图
        • ①找出图形中的关键点
        • ②作出这些关键点的对应点
        • ③连接对应点即得变换后的图形
• 第二象限
  • （-，+）
  • 在左上方